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MACROECONOMÍA I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Ayudante: Raimundo Pino (rpino2@uc.cl)
PROBLEM SET 2
El ejercicio 1 es obligatorio.
Fecha de entrega: Fecha de Entrega: Viernes 10 de Septiembre antes de las 3 pm v́ıa Canvas (en tareas)
1. Limitación al Almacenamiento
Suponga un individuo representativo que se encuentra en páıs que sólo dura dos peŕıodos t = 1 y t = 2, y
que se puede consumir el bien X. La dotación inicial de este individuo es Y unidades del bien, X y además este
individuo no puede trabajar por lo que esa es su única fuente de ingreso. El individuo tiene que decidir cuánto
de su dotación inicial va a destinar para consumir en t = 1 y cuanto para t = 2.
También debe considerar que el páıs en el que vive el individuo no hay suficientes bodegas para que todos
los individuos almacenen consumo para el peŕıodo t = 2 y que todas las bodagas tienen distintos tamaños.
Por lo tanto, el presidente de dicho páıs indico que cada individuo podrá ahorrar θis̄, donde s̄ es el máxi-
mo almacenamiento que puede tener un individuo y θi es un parametro que se asigna aleatoriamente a cada
individuo que indica el tamaño de la bodega a la que tendrá acceso el individuo (donde θi U [0; 1]). El presi-
dente fue muy insistente en que los individuos no pueden compartir su bodega para que otros puedan almacenar.
Finalmente, suponga que no hay tasa de interés, que el bien X es perfectamente divisible y que la tasa de interés
del individuo representativo es:
U(c1; c2) = ln c1 + ln c2
a) Calcule el consumo óptimo y el almacenamieto que escogeŕıa el individuo en ausencia de estas restricciones.
¿Qué busca el individuo a través del almacenamiento?
El individuo resulve el siguiente problema de maximización:
máx
c1,c2
U(c1; c2)
sa : c1 + c2 = Y
El lagrangeanos es: L = ln c1 + ln c2 + λ(Y − c1 − c2)
De las CPO obtenemos:
[c1] :
1
c1
− λ = 0
[c2] :
1
c2
− λ = 0
De las condiciones obtenemos c1 = c2, y reemplazando en las CPO obtenemos:
c1 =
Y
2
c2 =
Y
2
De este modo el ahorro seŕıa S1 = Y − c1 → S1 =
Y
2
El individuo busca suavizar su consumo a través del ahorro.
1
b) Suponga que s̄ > Y ¿Qué porcentaje de la población se veŕıa afectado negativamente por la restricción?
Cómo todos los ciudadanos son iguales, el último individuo que no se veŕıa afectado por la restricción será
aquel que lo que le gustaŕıa ahorrar en el óptimo es equivalente a lo que puede almacenar. Dicho de otro
modo, el individuo que compla con S1 = θis̄. Entonces:
θis̄ =
Y
2
θi =
Y
2s̄
Ahora como θi U [0, 1] entonces todos aquellos ciudadanos a los que se le asignó un θi <
Y
2s̄
estarán
afectados negativamente. De este modo, un
Y
2s̄
% estarán afectados negativamente.
A partir de ahora considere que Y = 1000 y que s̄ = 1200
c) Estime la pérdida de utilidad que implica la restricción impuesta para el presidente para los siguientes
escenarios. ¿Qué genera esa pérdida?:
i) Individuo con θ = 0, 7
La utilidad del individuo sin la restricción es:
U = ln 500 + ln s500 = 12, 43
Ahora, el individuo con restricción en el óptimo quiere almacenar Y2 = 500, y puede almacenar
0, 7s̄ = 840, por lo tanto la restricción no lo afecta la utilidad de este individuo.
ii) Individuo con θ = 0, 3
La utilidad sin restricción sigue siendo 12,43.
Nuevamente el individuo quiere almacenar 500, pero sólo puede almacenar 0, 3s̄ = 360. Por lo tan-
to su patrón de consumo cambiará. Ahora c1 = 640 y c2 = 360 y la utilidad del individuo será:
U = ln 640 + ln 360 = 12, 35
Ahora, la utilidad dle individuo cae en 0,08 y esto se explica porque ahora el individuo ya no puede
suavizar su consumo por las restricciones de almacenamiento.
Los ciudadanos del páıs no están de acuerdo con las decisiones que ha tomado su presidente porque sienten
que no esta tomando decisiones de forma sensata. Algunos ciudadanos más ilustrados han comenzado a
esbozar algunas propuestas para mejorar la situación del páıs.
La propuesta que ha ganado más popularidad consiste en que el presidente asegure a todos los ciudadanos
almacenar Y4 de su dotación inicial para devolversela en t = 2. El presidente considera que es una opción
bien razonable, pero les advierte que el costo de dicha propuesta es que el almacenamiento máximo se
ĺımite a 3s̄4 .
d) Evalue si la propuesta de los ciudadanos ilustrados mejora el bienestar de los habitantes del páıs. Piense
bien cómo comparar las propuestas.Debe justificar su respuesta con cálculos numéricos.
Notemos que mientras menor sea el porcentaje de ciudadanos que afectados negativamente por la res-
tricción, mejor estarán los individuos. Esto se produce por dos mecanismos: (1) menos individuos ven
una disminución en su utilidad por no poder suavizar consumo y (2) los individuos que siguen estando
afectados verán una cáıda menos drástica en su utilidad por no poder suavizar su consumo.
De este modo, debemos comparar el porcentaje de individuos afectados negativamente por la restricción
en ambos escenarios.
En el escenario original el porcentaje de individuos afectados era Y2s̄ % = 41, 7 %
Notemos que con la nueva propuesta el porcentaje de individuos afectados negativamente cambia. Ahora,
Y1 = 750 y Y2 = 250, y es importante notar que esto no afectará las decisiones de consumo, pero śı tendrá
2
efectos en el almacenamiento.
Ahora, el almacenamiento óptimo será: S1 = Y1 − c1 = 3Y4 −
Y
2 =
Y
4 = 250. A continuación debemos
buscar el porcentaje de ciudadanos que se ven afectados:
S1 = θi
3s̄
4
→ θi = 27, 8 %
Ahora, como el porcentaje de personas afectadas por la restricción es menor con la propuesta de los
ciudadanos (cae de 41,7 % a 27,8 %) , entonces claramente podrá mejorar el bienestar de los ciudadanos.
e) En base a lo discutido en este ejercicio ¿Cree que aumentar la contribución al pilar solidario es una buena
medida para mejorar el bienestar de las familias en tiempos de pandemia? Discuta bajo que condiciones
seŕıa favorable y cuáles no. Haga todos los supuestos necesarios. (Hint: si no esta familiarizado con
el pilar solidario, se le recomienda investigar en internet)
Esta respuesta tiene múltiples soluciones
Si consideramos que hay personas que tienen problemas para ahorrar, entonces como vimos en el ejercicio,
aumentar la contribución al pilar solidario permitiŕıa a las personas mejorar su bienestar, porque podŕıan
suavizar mejor su consumo y no se veŕıan obligadas a gastar sus recursos por unidades de consumo con
muy baja utilidad marginal.
Ahora, todo este análisis se sostiene si las personas tienen unas preferencias tal que quieren suavizar el
consumo en el tiempo (cómo las que vimos en el consumo) y en que hay personas que tienen problemas
para ahorrar. Sin embargo, si introducimos al modelo inconsistencias temporales como la mioṕıa o el
descuento hiperbólico, este resultado podŕıa no sostenerse.
Ahora,
2. Consumo en dos peŕıodos
Suponga que los individuos viven dos peŕıodos y tienen la siguiente función de utilidad instantánea:
u(c) =
c(1−σ)
1− σ
cuando σ > 0 y σ 6= 1,
u(c) = ln(c)
cuando σ = 1
La utilidad total viene dada por:
U(c1, c2) = u(c1) + βu(c2)
Los ingresos del peŕıodo 1 y 2 son Y1 e Y2 respectivamente. La tasa e interés r es exógena y los agentes
pueden ahorrar o endeudarse sin restricciones.
a) Plantee la restricción presupuestaria intertemporal y las condiciones de primer orden e interprételas.
máx
c1,c2
U = u(c1) + βu(c2)
s.a : c1 +
c2
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
Las condiciones de primer orden seŕıan:
[c1] = 0 → u‘(c1) = λ
[c2] = 0 → βu‘(c2) =
λ
1 + r
3
[λ] = 0 → c1 +
c2
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
La ecuación de Euler seŕıa:
u‘(c1) = β(1 + r)u‘(c2)
Interpretación: Si aumenta r, se hará relativamente más caro el consumo presente, por Efecto sustitu-
ción. En t = 2 se transforma en (1 + r) unidades si dejamos de consumir hoy. El factor β hace que las
utilidades sea comparables, donde β = 11+δ donde δ es la tasa de descuento.
b) Obtenga la elasticidadde sustitución intertemporal del agente. Interprete los casos en que σ > 1 y σ < 1.
Usando la ecuación de Euler llegamos a que c2c1 = [β(1 + r)]
1
σ , luego el EIS:
∂ c2c1
∂(1 + r)
1 + r
c2
c1
=
1
σ
EIS mide suavizamiento del consumo con σ el factor de concavidad de la función de utilidad (a mayor σ,
más cóncava). Luego se tiene lo que sigue:
σ > 1: Esto implica una EIS menor a 1, por lo cual es menos sensible a cambios en la tasa de interés
(suaviza más).
σ < 1: Esto implica una EIS mayor a 1, por lo cual es muy sensible a cambios en la tasa de interés
(suaviza menos).
c) ¿Cómo va a impactar el aumento de la tasa de interés sobre el ahorro? Explique los efectos sutitución e
ingreso. ¿Cómo cambia este resultado dependiendo si el individuo es deudor o acreedor?
Por efecto sustitución, el consumo en el segundo peŕıodo se hace relativamente más barato, incentivando
al ahorro. Por efecto ingreso, dependerá de la posición financiera del individuo. Si es deudor, aumenta
el ahorro ante un aumento de r (ambos efectos van en la misma dirección), mientras que si es acreedor
disminuirá el ahorro, dado que el poder adquisitivo aumenta aunque no ahorre, por lo tanto opera en
sentido contrario. En este caso el efecto total dependerá de cuál efecto domine.
3. Consumo en presencia de hábitos
Considere un individuo que vive por dos peŕıodos y que tiene la siguiente función de utilidad: U = ln(c1 −
αc0) + βln(c2 − αc1) donde α es un parámetro positivo y menor que 1, y c0 es un dato (tal vez su historia
de consumo antes de que tomara decisiones). El individuo puede prestar y pedir prestado todo lo que desee a
una tasa de interés r; esta tasa de interés es tal que β(1 + r) = 1 Elindividuo recibe un ingresoW en el primer
peŕıodo y 0 en el segundo.
a) Interprete la función de utilidad y encuentre las condiciones de primer orden que relacionan c1 y c2.
La función de utilidad tiene hábitos, la utilidad del consumo de hoy depende del consumo de ayer. Si el
consumo de ayer fue alto, la utilidad del consumo actual cae porque el individuo se acostumbra a los altos
niveles de consumo. Como sabemos que: β(1 + r) = 1
u‘(c1) = u‘(c2)
c1 = c2
Las utilidades marginales son:
u‘(c1) =
1
c1 − αc0
− αβ
c2 − αc1
u‘(c2) =
1
c2 − αc1
Igualando:
4
1
c1 − αc0
− αβ
c2 − αc1
=
1
c2 − αc1
1
c1 − αc0
=
1 + αβ
c2 − αc1
c2 = (1 + αβ + α)c1 − α(1 + αβ)c0
b) Usando las condiciones de primer orden y la restricción presupuestaria, encuentre c1 como funciónde los
parámetros α, β, W , y c0 ¿Cuál es la solución para c1 cuando α = 0?
La restricción presupuestaria es:
c1 +
c2
1 + r
= W
Reemplazando con la expresión para c2 encontrada en a) y recordando que β(1 + r) = 1
c1 =
W
(1 + β)(1 + βα)
+
αβ
1 + β
c0
Cuando α = 0 (no existen los hábitos):
c1 =
W
1 + β
c) Suponga que c0 = 0. ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando α aumente.
Si c0 = 0, los consumos óptimos quedan:
c1 =
W
(1 + β)(1 + βα)
c2 =
W (1 + βα+ α)
(1 + β)(1 + βα)
El consumo en el primer peŕıodo cae con un aumento en α, dado que α está relacionado con la desutilidad
de consumo presente por persistencia de hábitos, mientras que el consumo en el segundo peŕıodo aumenta.
Esto implica que se tendrá una trayectoria de consumo creciente.
d) ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando c0 aumenta?
Como es de esperar, cuandoc0aumenta el individuo se acostumbra a consumir más y por lo tantoel consumo
en el primer peŕıodo aumenta. Pero esto no se transmite al segundo peŕıodo porque αβ1+β < 1, y por lo
tanto en el segundo peŕıodo el consumo cae.
e) Determine el valor de c0(como función del resto de los parámetros) que hace que el individuo tenga un
perfil de consumo constante. Compare con los valores de c1 y c2 y discuta el resultado.
En este caso se debe cumplir:
c1 = c2
c1 +
c2
1 + r
= W
Además 11+r = β Cuando el consumo se debe repartir en partes iguales este es igual a c
∗ = W1+β . Con la
parte a) podemos encontrar que c0 =
W
1+αβ . Notar que esta expresión es mayor a los niveles de consumo
en el peŕıodo 1 y 2, o sea, el nivel de c0 debe ser muy grande para impulsar al individuo a consumir la
misma cantidad en ambos peŕıodos.
5
4. Seguridad Social
Considere una economı́a donde todos los agentes se comportan según la teoŕıa del ciclo de vida o del
ingreso permanente. Suponga que el gobierno obliga a todos a ahorrar una fracción de su ingreso (cotización
previsional)¿Cuál cree usted que será el efecto sobre el ahorro de la economı́a (comparado con el caso en el cual
a nadie sele exige ahorrar) en las siguientes situaciones?
a) Todos los agentes tienen pleno acceso al mercado financiero y pueden pedir prestado o ahorrar todo loque
quieran a una tasa de interés dada (igual a la del retorno del fondo de pensiones).
En este caso, si el gobierno obliga a todos los ciudadanos a ahorrar una fracción de sus ingresos y los
individuos tienen pleno acceso al mercado financiero entonces el ahorro de los individuos no aumentará.
Esto porque el individuo sabe que al momento de jubilar va a tener más dinero (debido a su ahorro
previsional), por lo tanto, lo óptimo para él es ajustar su ahorro o aumentar su deuda ahora en la misma
magnitud que su ahorro previsional. Esta respuesta es igual si la miramos desde la teoŕıa de ciclo de vida
o ingreso permanente.
b) Hay una fracciÓn importante de agentes (jóvenes) que no pueden pedir prestado todo lo que quisieran.
En este caso, como el gobierno obliga a todos a ahorra una fracción de sus ingresos, todos los individuos
excepto los jóvenes se comportaran como en el caso anterior, es decir no aumentarán sus ahorros. Sin
embargo, los jóvenes no podrán endeudarse respecto a su futura jubilación, lo cual significa que ahora
aahorrarán más que de lo que predice la teoŕıa de ingreso permanente. Sumando a todos los individuos
de la economı́a, llegamos a que el ahorro total sube, nadie aumenta su ahorro aparte de los jóvenes.
c) En el caso anterior, ¿cómo podŕıa variar su respuesta si los padres se preocupan por el bienestar de sus
hijos y les pueden transferir recursos mientras están vivos (es decir, no sólo a través de la posible herencia)?
En este caso, como los padres se preocupan del bienestar de sus hijos y los hijos no pueden pedir prestado
todo lo que quisieran, los padres van a servir de mercado financiero para los hijos. Es decir todos están
obligados a ahorrar, los padres se endeudan con los bancos para suavizar su consumo, (como en el caso
a) y se endeudan por sus hijos transfiriéndoles dinero a ellos para que suavicen consumo. Por lo tanto en
este caso, el ahorro total de la economı́a no aumentará.
d) Considere ahora el siguiente supuesto sobre el comportamiento de las personas: cuando llegan a la edadde
jubilar y dejan de trabajar, ellos saben que el gobierno no los dejará morir de hambre y les proveerá trans-
ferencias en caso de que no tengan ingresos. Suponga en este contexto que el gobierno obliga a lagente a
ahorrar y el entrega el dinero sólo cuando jubilan ¿Qué cree usted que pasa con el ahorro? ¿Le parece esta
una racionalización útil para justificar la existencia de un sistema de pensiones?
Antes de que el gobierno obligará a ahorrar a los idividuos, lo óptimo para cada individuo era consumirse
todos sus ingresos antes de jubilarse. Porque sab́ıan que el gobierno no lo dejaŕıa morirse de hambre.
Para evitar esta situación el gobierno decide obligar a los individuos a ahorrar, en este caso, el ahorro
aumentará ya que el individuo sabe que el gobierno le dará plata en el caso que no tenga ingresos. Lo
cual nunca sucederá, porque todos los individuos siempre tendrán ingresos de sus ahorros forzados. Por
lo tanto, cuando el gobierno les obliga a ahorrar a los individuos, estos no aumentarán su nivel de deuda
porque saben que si se endeudan respecto a su futura jubilación, cuando se jubilen tendrán deudas iguales
a sus ingresos y en ese caso, no recibirán dinero del estado.
5. Preguntas Conceptuales
a) Discutaqué efecto tendrá sobre el consumo de los trabajadores independientes la implementacion de una
norma que los obliga a aportar a un sistema de pensiones, de acuerdo a la teoŕıas del ingreso corriente
(Keynes) y la del ciclo de vida (Modigliani).
Teoŕıa del ingreso corriente de Keynes: Disminución. Dado que el consumo depende del ingreso
corriente disponible. Esta norma, al hacer que los trabajadores independientes tengan menos ”dinero
en el bolsillo”, hará que también consuman menos.
Teoŕıa del ciclo de vida de Modigliani: Inexistente. De acuerdo a esta teoŕıa, los trabajadores ya
habŕıan previsto distribuir establemente su consumo en un horizonte temporal amplio (ciclo devida)
6
y si no aportaban ya al sistema de pensiones deb́ıan haber estado ahorrando por su cuenta. Por lo
tanto, esta norma no debierá implicar ningún impacto significativo sobre el flujo de ingreso diponible
ni, en consiguiente, sobre el consumo.
b) Si un individuo es acreedor neto, una disminución de la tasa de interés aumentará indudablemente su
consumo presente. Comente.
Ante una disminución de la tasa de interés, no sabemos como cambiará el nivel de consumo de un individuo
acreedor neto. Por una parte, el efecto sustitución hará más barato el consumo presente respecto del futuro,
por lo que consumirá más y disminuirá su ahorro. Pero por otra parte, sus activos disminuirán sus retornos,
disminuyendo los frutos de su ahorro inicial. Por efecto ingreso, entonces, el individuo querrá aumentar su
ahorro y disminuirá su consumo. El efecto final dependerá de la magnitud del efecto sustitución e ingreso.
El efecto final será ambiguo.
6. Consumo Intergeneracional
Considere un individuo que vive por tres peŕıodos: en el peŕıodo 1 su ingreso es Y1 = Y , en el peŕıodo 2 el
ingreso crece a una tasa γ, es decirY2 = Y (1 + γ) Finalmente, en el peŕıodo 3 se jubila y no tiene ingresos,o sea
Y3 = 0. La tasa de interés en la economı́a es 0. Por otra parte su utilidad es tal que siempre querrá un consumo
parejo durante toda su vida (es decir, C1 = C2 = C3).
a) ¿Qué sospecha tiene ud sobre el tamaño de la tasa de impaciencia de este individiuo relativo a la tasa de
interés de mercado? Explique.
Suponiendo que los invididuos tienen funciones de utilidad instantaneas ”bien comportadas”(i.e., estricta-
mente concavas y aditivamente separables) uno debeŕıa esperar que la tasa de impaciencias sea igual a la
tasa de interés para ver el consumo igual en cada peŕıodo como dice el enunciado. Por lo tanto la tasade
impaciencia es también 0.
b) Calcule el consumo y ahorro (S1, S2y S3) en cada peŕıodo.
El valor presente del consumo es igual al valor de los ingresos, y como el consumo es parejo, el consumo
por peŕıodo es el valor presente de los ingresos dividido por 3. Es decir:
C1 = C2 = C3 =
Y (2 + γ)
3
Ademas sabemos que el ahorro en cada peŕıodo t será St = Yt − Ct. Esto lleva:
s1 =
Y (1− γ)
3
s2 =
Y (1 + 2γ)
3
s3 = −
Y (2 + γ)
3
c) Suponga que en esta economı́a no hay crecimiento de la población.Tampoco crecen los ingresos entre
generaciones. ¿Qué pasa con el ahorro agregado en cada momento? Interprete su resultado.
Para facilitar el concepto podemos asumir que hay un individuos en cada generación. Entonces S =
s1 + s2 + s3 = 0 ya que lo que unos ahorran otros lo desahorran al ser todas las generaciones iguales: la
evolución temporal del ahorro es igual al corte transversal.
d) Suponga que se introduce un sistema de pensiones donde se obliga a cada individuo joven y en edad media a
ahorrar una magnitud A, y le devuelven 2A cuando viejo. ¿Qué pasa con el ahorro de los individuos?¿Tiene
alguna implicancia sobre el ahorro o la conducta de los individuos la introducción de un sistema de
seguridad social?
Ya que lo que unos ahorran otros lo desahorran al ser todas las generaciones iguales: la evolución temporal
del ahorro es igual al corte transversal. (denotados por s̃) serán:
s̃1 +A = s1
7
s̃2 +A = s2
s̃3 − 2A = s1
Incluso si A es muy grande, superando al ahorro voluntario, el individuo tendrá un ahorro negativo, o
sea se endeudará para mantener su consumo parejo. Razones como la mioṕıa de algunos consumidores,
efectos deseables sobre el mercado del trabajo a través de forzar la jubilación, o por último los problemas
de sub-ahorro que puede surgir por el problema de inconsistencia temporalde los individuos (no ahorrarán
sabiendo que cuando viejos los jóvenes no los dejarán botados), sirven para justificar un sistema de
seguridad social.
e) Suponga que la población crece a una tasa n. Calcule el ahorro agregado de la economı́a (cuide de ponderar
adecuadamente el ahorro de cada generación).
Usando los ahorros de a) y ponderando a los jóvenes por (1 +n)2, a la edad media por (1 +n) a los viejos
por 1, se llega a:
S = s1(1 + n)
2 + s2(1 + n) + s3
El que obviamente es positivo porque quienes ahorran positivamente son más de los que ahorran negati-
vamente.
f) Cuál es la tasa de crecimiento del ingreso agregado en esta economı́a? Muestre cómo vaŕıa (sube o baja)
el ahorro agregado con un aumento en la tasa de crecimiento de esta economı́a. Interprete su resultado,
ycompárelo con el obtenido en c.).
El resultado para el crecimiento es simple, puesto que cada generación ganará en total n más que la
anterior, esa será la tasa de crecimiento. Para mostrarlo anaĺıticamente sabemos que si en t la población
de viejos es unitaria, tendremos que el ingreso total en t será:
Yt = Y (1 + n)
2 + Y (1 + γ)(1 + n)
En el siguiente peŕıodo la población crece en todas las generaciones:
Yt+1 = Y (1 + n)
3 + Y (1 + γ)(1 + n)2
En consecuencia dividiendo Yt+1 por Yt obtenemos la tasa de crecimiento:
Ŷ =
Yt+1
Yt
− 1 = Y (1 + n)
3 + Y (1 + γ)(1 + n)2
Y (1 + n)2 + Y (1 + γ)(1 + n)
− 1 = 1 + n− 1 = n
Ŷ = n
Llegamosa que la tasa de crecimiento es n (o más exactamente 100× n%). Dado que los si no dependen
de n, tenemos directamente que S = s1(1 + n)
2 + s2(1 + n) + s3 que el ahorro es creciente en n.
7. Cuando las Buenas Noticias Traen Mejores Noticias
Considere un individuo que vive infinito. Estamos en t y sus ingresos pasados han sido siempre iguales a
y,y se espera que sigan siendo y en el futuro. No hay impuestos y el individuo nace sin activos financieros. Este
individuo quiere tener un consumo parejo siempre. La tasa de interés real es constante e igual a r.
a) ¿Cuál es el consumo en t− 1 y en todos los peŕıodos previos?
Dado que el individuo cree que sus ingresos seguirán siendo Yt, entonces:
Ct = Yt
8
b) Considere que repentinamente en t, el individuo recibe un ingreso y+ e donde e > 0. Podemos pensar que
demostró ser muy talentoso y eso le significa un aumento para siempre en sus ingresos. En consecuencia
el individuo preveé que su ingreso permanecerá constante en t + 1 en y + e con probabilidad p, pero
puede aumentar a y + 2e con probabilidad 1 − p y quedarse ah́ı para siempre. Calcule el valor presente
de sus ingresos en caso que el ingreso permanezca alto en en y + e y en el caso que sea aún más alto en
y+2e.(LlamemosVa y Vm por alto y muy alto, respectivamente). Ahora, calcule el valor esperado del valor
presente de los ingresos y su nuevo nivel de consumo en t.
Dado que
∞∑
t=0
A
(1 + r)t
=
1 + r
r
A
entonces:
VA =
1 + r
r
(Y + e)
VM =
1 + r
r
(Y + e) +
e
r
De la restricción de presupuesto:
∞∑
t=0
Ct
(1 + r)t
= pVA + (1− p)VM
C̄(1 + r)
r
= pVA + (1− p)VM
C̄ =
r
1 + r
[pVM + (1− p)VM ]
C̄ = p(Y + e) + (1− p)
[
Y + e+
e
1 + r
]
de modo que su consumo en t es:
C̄ = Y + e+
pe
1 + r
c) Calcule la propensión marginal a consumir que un economista deduciŕıa de estos datos; es decir, ct−ct−1yt−yt−1 .
Un economista plantea que cuando el consumo sube mas que el ingreso esto es una demostración que
lagente es irracional ya que las teoŕıa de consumo son incapaces de predecir esto. Discuta esta afirmación
a la luz de los resultados. ¿Cuál es su ahorro o endeudamiento en t?
Note que Ct−1 = Yt−1 = Yt, ademásYt = Y + e, por lo que:
Ct − Ct−1
Yt − Yt−1
= 1 +
p
1 + r
De esa cuenta, la propensión a consumir es creciente en p y mayor a 1.
Si una noticia de buen ingreso refleja mayores expectativas futuras (es decir, el ingreso permanece alto
o sigue subiendo), entonces el ingreso permanente crece más que el ingreso, de manera que el consumo
crecerá más (suena racional, ¿no?).
Dado que el consumo crece más que el ingreso, el agente se endeudará en:
S = Y + e− Ct =
−pe
1 + r
9
d) Suponga ahora que estamos en t+1, cuando si sabe si el ingreso se mantendrá alto o aumentará mas.Calcule
el consumo del individuo en caso de que el ingreso se quede alto en y + e para siempre (denotelo ca)y en
el caso que suba aún más a y + 2e (denotelo cm) y se quede ah́ı permanentemente. ¿Cómo evoluciona sus
activos financieros en cada caso? ¿Se queda efectivamente constante el consumo?
Se debe notar que el valor presente del consumo debe ser igual al valor presente del ingreso más (1 + r)S,
es decir, −pe. Calculando los valores presente, se obtiene que, en el caso que el ingreso se queda en Yt:
CA = Y + e−
pre
1 + r
Y cuando el ingreso sube más:
CM = Y + 2e−
pre
1 + r
En ambos casos, el agente mantendrá una deuda constante
(
pe
1+r
)
e irá pagando los intereses. Esto permite
consumo parejo, algo menor que su ingreso.
El consumo ex-post en t+ 1 será distinto a Ct porque dependerá de qué es lo que ocurre en realidad. El
consumo en t es su ingreso esperado; el que después ajusta hacia arriba o hacia abajo. A partir de t+ 1,
el consumo es constante dado que no hay más incertidumbre.
8. Consumo
Considere un individuo que vive por dos periodos y tiene la siguiente función de utilidad instantánea:
u(ct) = ln(ct)
Donde ct es el consumo en el peŕıodo t, con t = 1, 2. Denote β al t́ıpico factor de descuento. El individuo
recibe su ingreso total Y repartido entre los dos peŕıodos: en el primero recibe αY y en el segundo (1 − α)Y .
Supondremos que existe un mercado financiero con tasa r a la cual el individuo tiene acceso ilimitado (esto es,
se puede endeudar o ahorrar todo lo que quiera a esa tasa).
a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del individuo.
c1 +
c2
1 + r
= αY +
(1− α)Y
1 + r
b) Encuentre la ecuación de Euler y las expresiones para el consumo y el ahorro individual óptimos en ambos
periodos como función de Y , α, r y β.
De las condiciones de primer orden del ejercicio de maximización de la utilidad intertemporal sujeta a la
restricción en a) se obtiene:
u‘(c1) = β(1 + r)u‘(c2)
u‘(c1)
u‘(c2)
= β(1 + r)
Y dadas la función de utilidad instantánea asumida nos queda la siguiente ecuación de Euler:
c2
c1
= β(1 + r)
Despejando c2 en la ecuación de Euler y reemplazando en la restricción de presupuesto nos queda:
c∗1 =
(1 + αr)
(1 + β)(1 + r)
Y
El consumo en t = 2 será entonces:
c∗2 =
β(1 + rα)
(1 + β)
Y
El ahorro será:
S = αY − c∗1
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S = αY − (1 + αr)
(1 + β)(1 + r)
Y
S =
αβ(1 + r)− 1 + α
(1 + β)(1 + r)
Y
c) Suponga que α = 0 Cómo se ve afectado el ahorro cuando cambia la tasa de interés? ¿Qué pasa en el caso
general cuando α ∈ (0; 1)? ¿Puede ser que ante un aumento en la tasa de inter és la respuesta del ahorro
sea negativa?
Si α = 1 el ahorro S = αβ(1+r)−1+α(1+β)(1+r) Y queda S =
β
(1+β)
Entonces, si α = 1, la tasa de interés no afecta el ahorro ni el consumo, los efectos sustitución e ingreso se
cancelan en la función logaritmica. Sin embargo, a medida que α cae el individuo es más pobre en valor
presente, y este efecto riqueza lo llevará a reducir el consumo en el periodo 1 y aumentar el ahorro cuando
r sube. En este caso nunca se tendrá que S cae cuando r sube. Se puede mostrar también que la derivada
del ahorro respecto al interés depende del valor de α.
d) Ahora considere a otro individuo con la siguiente función de utilidad intertemporal:
U(c1, c2) = mı́n{c1, c2}
Determine el consumo óptimo y el ahorro en cada periodo y discuta el efecto dersobre el ahorro. En
particular analice los casos con α = 0 y α = 1 ¿Puede ser que ante un aumento en la tasa de interés la
respuesta del ahorro sea negativa? Compare sus resultados con los de la respuesta anterior.
En este caso sabemos que con esta función de utilidad el individuo elegirá c∗1 = c
∗
2, y el nivel de consumo
vendrá dado por la igualdad del valor presente del consumo y del ingreso, entonces tenemos que:
c∗1
2 + r
1 + r
=
1 + αr
1 + r
Y
c∗1 = c
∗
2 =
1 + αr
2 + r
Y
El ahorro quedará dado por:
S = αY − c∗1 =
2α− 1
2 + r
Y
Notar que si α = 1, todo el ingreso se recibe en el periodo 1 el ahorro cae con un alza de la tasa de interés.
Aqúı sólo hay efecto ingreso ya que este individuo no sustituye intertemporalmente, y como es ahorrador,
se beneficia del alza de la tasa que el permite aumentar su consumo en ambos periodos reduciendo el
ahorro. Este individuo es más rico cuando sube la tasa. El caso opuesto ocurre cuando α = 0, es decir
todo el ingreso se recibe en el periodo 2. En este caso el individuo es un deudor, el cual se empobrece
cuando la tasa sube y baja su consumo en ambos periodos con un alza de tasas, aumentando su ahorro.
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