Ayudantía Sec 6 (Pauta)

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Sección Nr.6
EAE 221B
Marzo , 2014
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante : Mart́ın Carrasco N.
2.Ejercicios
1. Señoreaje en una economia con crecimiento en tiempo continuo.
Suponga una forma espećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
Si r y dPP son constantes muestre que el señoreaje se puede descomponer
S =
dP
P
M
P︸ ︷︷ ︸
Impuesto Inflación
+ φ
dY
Y
M
P︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido estrecho︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido amplio
Usamos la ecuación de Fisher
i = r + φ = r +
dP
P
y la demanda por dinero
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit = Y φt e
−η(rt+ dPPt )
Aplicando logaritmo
log
(
Mt
Pt
)
= log
(
Y φt e
−η(rt+ dPPt )
)
Usando las propiedades de logaritmo
log(Mt)− log(Pt) = φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
log(Mt) = log(Pt) + φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
Luego, derivando y usando regla de la cadena (∂ log(Mt)∂Mt =
1
Mt
· dM) y recordando que r y dPP
constantes (por lo que η(rt +
dP
Pt
) es una constante)
log(Mt) = log(Pt) + φ log(Yt)− η(rt +
dP
Pt
)
1
dM
Mt
=
dP
Pt
+ φ
dY
Yt
Luego, recordando que el señoreaje está definido
St =
dM
P
=
dM
M
· M
P
Por lo que usando resultados anteriores nos queda
St =
(
dP
Pt
+ φ
dY
Yt
)
·
(
Y φt e
−η(rt+ dPPt )
)
Multiplicnado llegamos a
S =
dP
P
M
P︸ ︷︷ ︸
Impuesto Inflación
+ φ
dY
Y
M
P︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido estrecho︸ ︷︷ ︸
Señoreaje en sentido amplio
2. Señoreaje en una economı́a sin crecimiento y con tasa de interés real cero en
tiempo discreto.
Suponga una forma espećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
=
Pt+1
Pt
−η
Además, suponga una economı́a sin crecimiento con una tasa de expansión mon-
etaria constante e igual a µ que en estado estacionario es igual a la inflación.
Calcule para tiempo discreto la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en
estado estacionario.
En tiempo discreto el señoreaje se escribe
St =
Mt −Mt−1
Pt
=
Mt −Mt−1
Mt
· Mt
Pt
Luego, para encontrar la tasa de inflación que maximiza el señoreaje en estado estacionario
debemos expresar el señoreaje en términos de tasa de inflación. Para lo anterior vamos
a usar recurrentemente ”tasa de expansión monetaria constante e igual a µ que en estado
estacionario es igual a la inflación”. Primero vamos a descomponer el señoreaje como el
producto de dos factores
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
Luego ¿Cómo expresamos
(
Mt−Mt−1
Mt
)
en términos de inflación?
Sabemos que la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ . Luego, eso significa
que
Mt
Mt−1
− 1 = µ⇒ 1 + µ = Mt
Mt−1
2
Luego,
Mt−1
Mt
=
1
1 + µ
Aśı, (
Mt −Mt−1
Mt
)
= 1− Mt−1
Mt
= 1− 1
1 + µ(
Mt −Mt−1
Mt
)
=
µ
1 + µ
Ya tenemos una parte, luego ¿Cómo expresamos MtPt en términos de inflación?
Sabemos que ” la tasa de expansión monetaria es constante e igual a µ que en estado esta-
cionario es igual a la inflación”. Aśı, la inflación en estado estacionario (que es la que nos
interesa dada la pregunta) es igual a µ
Pt+1
Pt
− 1 = µ⇔ Pt+1
Pt
= 1 + µ
Y dado que
Mt
Pt
= (1 + µ)−η
Combinando las expresiones anteriores en
St =
(
Mt −Mt−1
Mt
)
·
(
Mt
Pt
)
=
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
Luego, ahora podemos maximizar el señoreaje con respecto a la tasa de inflación
max
µ
St =
(
µ
1 + µ
)
·
(
(1 + µ)−η
)
= µ(1 + µ)−η−1
CPO: (1 + µ)−η−1 − µ(1 + η)(1 + µ)−η−2 = 0
((1 + µ)−η−1)(1− µ(1 + η)(1 + µ)−1) = 0
1− µ(1 + η)(1 + µ)−1 = 0
(1 + µ) = µ(1 + η)
1 + µ = µ+ µη
µ∗ =
1
η
3