ModelodeSolow

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Modelo de Crecimiento de Solow
Macroeconomı́a I
Primer Semestre, 2018
Profesor : Elias Albagli
TA : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Introducción
1.Modelo Neoclásico o Modelo Solow-Swan
1. Fundamentos
• Explica mecanicamente lo ocurrido post Revolución Industrial
• Base para muchos de los modelos macro-modernos
• Representa el proceso de crecimiento a través de la acumulación de factores
• Predicciones muy precisas
2. Supuestos del Modelo
• Hay una función de producción PIB = Yt = AF (Kt, Lt) que representa un único bien
(no nos interesa la variedad)
• Bajo economı́a cerrada y sin gobierno Yt = Ct + It
• Hay una tasa de ahorro exógena (ya está resuelto el problema económico) It = sYt
• El capital evoluciona de acuerdo a K̇ = I − δK
3. Función de Producción de Solow
• Rendimientos constantes a escala ⇔ F (cK, cL) = cF (K,L).
• Productividad marginal positiva y decreciente ⇔ ∂F∂K ,
∂F
∂L > 0 y
∂F
∂K2 ,
∂F
∂L2 < 0
• Satisface las condiciones de Inada
lim
K→∞
FK = lim
L→∞
FL = 0
lim
K→0
FK = lim
L→0
FL =∞
4. Predicciones
• Existe crecimiento gracias a la acumulación de capital (solo si k < k∗)
• Crecimiento cae en el tiempo: a medida que acumulo capital crezco menos
• Existe un estado estacionario
• Predicciones entre páıses: Páıses pobres crecen más rápido (Convergencia Absoluta), o
puede que no y que la distancia relativa al estado estacionario determina que páıs crece
más rápido (Convergencia Condicional)
1
2.Ejercicios
1. Suponga una función de producción del tipo Cobb-Douglas
Y = AKαL1−α
donde α ∈ (0, 1), K es el capital, L el trabajo, A la tecnoloǵıa e Y el producto de la economı́a.
Suponga además que el capital evoluciona de acuerdo a
K̇ = I − δK
donde δ > 0 es la tasa de depreciación e I es la inversión la que es igual a s · Y .
(a) Muestre que la función de producción satisface las condiciones de una función de pro-
ducción neoclásica.
R: Para mostrar las condiciones de una función neoclásica tenemos que básicamente
checkear los siguientes puntos :
– Rendimientos constantes a escala : ¿F (cK, cL) = cF (K,L)?
Es trivial notar que
F (cK, cL) = A(cK)α(cL)1−α = cAKαL1−α = cF (K,L)
– Productividad marginal positiva y decreciente:
Para el caso del capital
FK = αAK
α−1L1−α > 0
FKK = α(α− 1)AKα−2L1−α < 0
Y para el caso del trabajo es análogo
FL = (1− α)AKαL−α > 0
FLL = (1− α)(−α)AKαL−α−1 < 0
– Condiciones de Inada : Hay que analizar si se cumple
lim
K→∞
FK = lim
L→∞
FL = 0
lim
K→0
FK = lim
L→0
FL =∞
Luego,
lim
K→∞
FK = lim
K→∞
α
AL1−α
K1−α
= 0
lim
K→0
FK = lim
K→∞
α
AL1−α
K1−α
=∞
lim
L→∞
FL = lim
L→∞
(1− α)AK
α
Lα
= 0
lim
L→0
FL = lim
L→∞
(1− α)AK
α
Lα
=∞
2
(b) Encuentre la ecuación que describe la evolución del capital per cápita.
R: Sea el capital per cápita:
k =
K
L
Para encontrar la ecuación que describe su evolución en el tiempo derivamos utilizando
la regla de la cadena. De esta manera (recordar que Ẋ = ∂X∂t )
k̇ =
LK̇ −KL̇
L2
=
K̇
L
− K
L
· L̇
L
Dado que k = KL y que
L̇
L es la tasa de crecimiento de L, la cual asumimos igual a n,
nos queda que:
k̇ =
K̇
L
− k · n
Recordar que tenemos una expresión para K̇:
K̇ = I − δK
= sY − δK
= sAKαL1−α − δK
Utilizando esta ecuación en k̇ = K̇L − k · n tenemos:
k̇ =
K̇
L
− k · n
=
sAKαL1−α − δK
L
− k · n
=
sAKαL1−α
L
− δK
L
− k · n
= sAkα − δk − kn
= sAkα − k(δ + n)
Luego,
k̇ = sAkα − k(δ + n)
(c) Encuentre el capital per cápita de estado estacionario y su tasa de crecimiento.
R: La ecuación que describe la tasa de crecimiento del capital per cápita es:
k̇
k
=
sAkα − k(δ + n)
k
=
sA
k1−α
− (δ + n)
Recordar que en estado estacionario las variables crecen a una tasa constante (que puede
o no ser cero).
3
¿Cuándo k̇k es constante?
Analizando la ecuación
k̇
k
=
sA
k1−α
− (δ + n)
vemos que δ, n, s, A y α son constantes. La única manera de que sea constante entonces
es que k sea constante. Para que eso ocurra se debe dar que k̇ = 0, por lo que en estado
estacionario su tasa de crecimiento sea igual a k̇k = 0.
Otra manera de ver esto es gráficamente:
Figure 1: Tasa de crecimiento de k
En el gráfico anterior, se grafica k̇k . La ĺınea roja representa
sA
k1−α el cual es decreciente
en k (cuando k se acerca a 0 esta tiende a infinito y cuando k es muy grande se acerca
asintóticamente a 0). La ĺınea azul es n+ δ la cual es constante.
Notar que si está a la derecha de kss la tasa de crecimiento es negativa por lo que k
vuelve a kss. Por otro lado, si k < kss su tasa de crecimiento es positiva por lo que
aumenta hasta llegar a kss.
¿Cómo encontramos el capital de estado estacionario kss?
Dado que k̇k = 0 entonces se tiene que dar que en estado estacionario:
k̇
k
=
sA
k∗(1−α)
− (δ + n) = 0
4
sA
k1−αss
− (δ + n) = 0
sA
k
(1−α)
ss
= (δ + n)
k1−αss =
sA
(δ + n)
kss =
(
sA
(δ + n)
) 1
1−α
(d) ¿Cuál es la tasa de crecimiento del producto per cápita en estado estacionario?
R: Notar que el producto per cápita es
y =
Y
L
=
AKαL1−α
L
= Akα
La tasa de crecimiento de una variable X se puede definir de las siguientes maneras
análogas:
(i)
∂X
∂t
X =
Ẋ
X
(ii) d ln(X)dt =
1
X · Ẋ =
Ẋ
X
Utilizaremos la (ii) para encontrar la tasa de crecimiento de y. En primer lugar, tenemos
que escribir y en logaritmo natural:
y = Akα ↔ ln(y) = ln(A) + α ln(k)
El siguiente paso es derivar respecto a t (recordar que en este ejercicio A es constante
por lo que la única variable que depende del tiempo es k):
d ln(y)
dt
= α
d ln(k)
dt
= α
k̇
k
Dado que en estado estacionario k̇k = 0 entonces
d ln(y)
dt
=
ẏ
y
= 0
(e) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las variables K e Y en estado estacionario?
R: Notar que en estado estacionario tenemos que la tasa de crecimiento del capital per
cápita y del producto per cápita es 0. Es decir, k e y son constantes. Analizando las
ecuaciones:
y =
Y
L
y k =
K
L
es trivial notar que para que k e y sean constantes para un L que crece a una tasa n > 0,
se debe tener que K e Y crezcan a una tasa n.
5
Otra manera de verlo es la siguiente. Sea
k =
K
L
⇔ K = L · k
Calcularemos la tasa de crecimiento de K utilizando logaritmos igual que la letra ante-
rior:
ln(K) = ln(L) + ln(k)
Diferenciando respecto al tiempo, tenemos que:
K̇
K
=
L̇
L
+
k̇
k
En estado estacionario, teńıamos que k̇k = 0 y sabemos que
L̇
L = n. Luego,
K̇
K
= n
Análogo para el producto, sea
y =
Y
L
⇔ Y = L · y
Calcularemos la tasa de crecimiento de Y utilizando logaritmos igual que la letra ante-
rior:
ln(Y ) = ln(L) + ln(y)
Diferenciando respecto al tiempo, tenemos que:
Ẏ
Y
=
L̇
L
+
ẏ
y
En estado estacionario, teńıamos que ẏy = 0 y sabemos que
L̇
L = n. Luego,
Ẏ
Y
= n
(f) Encuentre además la tasa de ahorro (s) que maximiza el consumo en estado estacionario.
¿Qué le respondeŕıa a alguien que le recomienda ahorrar más que la tasa encontrada
recientemente?
R: Para encontrar la tasa que maximiza el consumo en estado estacionario se resuelve
max
s
c(s) = (1− s)f(k(s)ss) = f(k(s)ss)− sf(k(s)ss)
donde kss es el capital per cápita en estado estacionario.
El problema es:
6
max
s
c(s)ss = max
s
{
(1− s)A ·
(
sA
n+ δ
)( α1−α )}
Utilizando la regla de la cadena tenemos que la CPO es:
(1− s) ·A · α
1− α
·
(
sA
n+ δ
) α
1−α−1
· A
n+ δ
−A
(
sA
n+ δ
) α
1−α
= 0
(1− s) ·A · α
1− α
·
(
sA
n+ δ
) α
1−α
·
(
n+ δ
sA
)
· A
n+ δ
= A
(
sA
n+ δ
) α
1−α
Simplificando términos tenemos que:
α
1− α
· (1− s)
s
= 1
s = α
2. Considere una economı́a, sin crecimiento de la población en donde se normaliza a 1 la fuerza
laboral (L). Además, suponga la siguiente función de producción
y = f(k) = Ak1−α
donde y es el producto per cápita, k es el capital per cápita, A es la tecnoloǵıa y α ∈ (0, 1).
El capital se deprecia a una tasa δ y el gobierno gasta un flujo g, el cual es financiado con una
tasa de impuesto τ proporcional al ingreso (se recauda τy). El gobierno sigue una poĺıtica
de presupuesto equilibrado, o sea que en todomomento los ingresos del gobierno son iguales
a sus gastos.Las personas ahorra una fracción s de su ingreso disponible (neto después de
impuestos).
(a) Determine el stock de capital de estado estacionario.
R: Tenemos la función de producción en variables per cápita , sabemos que n = 0 y que
el capital se deprecia a tasa δ > 0, pero tamb́ıen hay una tasa de impuesto al ingreso.
Luego la expresión que refleja el comportamiento del capital per cápita nos queda
k̇ = s(1− τ)f(k)− δk
por lo que la tasa de crecimiento del capital es
k̇
k
= s(1− τ)f(k)
k
− δ
k̇
k
= s(1− τ)Ak
1−α
k
− δ
k̇
k
= s(1− τ) A
kα
− δ
Luego, con lo comentado en los ejercicios anteriores y dado esta función de pro-
ducción
k̇
k
= 0⇒ s(1− τ) A
kα
− δ = 0
7
k∗ =
{
s(1− τ)A
δ
} 1
α
(b) Determine el consumo y la producción de estado estacionario.
R: Para encontrar el producto en estado estacionario tenemos que y∗ = Ak1−α∗ .
Aśı,
y∗ = A
{
s(1− τ)A
δ
} 1−α
α
Ahora , para el consumo no tenemos que olvidar τ porque castiga el ingreso. Aśı, el
consumo nos queda
c∗ = (1− s)(1− τ)A
{
s(1− τ)A
δ
} 1−α
α
(c) Discuta intuitivamente el efecto que tienen los impuestos sobre el capital de largo plazo
y discuta qué pasa con el crecimiento en la transición. Para esto último compare dos
economı́as con distintos τ y suponga que ambas parten de un nivel de capital menor
que el capital de largo plazo ¿Cuál de las dos economı́as crece más rápido?
R: El efecto de los impuestos es negativo en el crecimiento porque disminuye la acu-
mulación de capital, es decir cuesta más o se hace más caro el capital por lo que para
un mismo capital acumulo menos y lógicamente estos efectos son crecientes en el τ que
incluso, si es muy alto nos podŕıa dejar en un estado estacionario con k0, aśı el capital
de estado estacionario es estrictamente
max
{
0,
{
s(1− τ)A
δ
} 1
α
}
Cuando estamos en un capital igual a cero ambas tienen igual tasa de crecimiento y esa
es infinito, sin embargo a medida que nos aproximamos al capital de estado estacionario
aquella economı́a con mayor τ su capital crece menos para todo capital y por ende el
producto crece menos.
Sin embargo, ambas economı́as en estado estacionario crecen a la misma tasa la cual es
igual a cero.
3. Suponga se cumplen los supuestos del modelo neoclásico y la economı́a se encuentra en estado
estacionario. Además, suponga que exógenamente ocurre un cambio discreto positivo en la
tasa de ahorro de s1 a s2
(a) ¿Qué efectos tiene esta poĺıtica en el capital de estado estacionario, en el nivel de
producto y en la tasa de crecimiento de estado estacionario? ¿Y en el consumo?
R: Supongamos la economı́a está en una posición de estado estacionario con capital k1.
Al aumentar s se desplaza la curva s1
f(k)
k hacia la derecha como se ve en la imagen
¿Como se ajusta la economı́a de k1 a k2?
Si k = k1 la diferencia entre s1
f(k)
k y n + δ es positiva, esto es, ahorrando más genera
un aumento en k. Si k crece, tenemos que el producto va creciendo pero cada vez
menos convergienendo a 0 cuando k se acerca a k2. El resultado, es que un aumento
8
Figure 2: Efecto de un aumento en la tasa de ahorro
permanente en la tasa de ahorro genera un crecimiento positivo temporal del producto
per capita. En el largo plazo, los niveles de capital y producto son permanentemente
mayores, pero la tasa de crecimiento del producto per cápita vuelve a cero, es decir hay
un efecto de nivel , pero no un efecto de crecimiento.
Para el caso del consumo, sabemos que
c(s) = (1− s)f(k(s)∗) = f(k(s)∗)− sf(k(s)∗) = f(k(s)∗)− (n+ δ)k∗
Aśı,
∂c∗
∂s
= [f ′(k(s)∗)− (n+ δ)]∂k
∗
∂s
que como se vió en el la pregunta 2 y se discutió anteriormente ∂k
∗
∂s > 0 .Aśı, lo que
ocurra con el consumo va a depender del signo de f ′(k(s)∗)− (n+ δ).
(b) ¿Qué le podŕıa discutir a un candidato presidencial que señala: Dedicando un mayor
porcentaje de nuestro producto nacional a la inversión vamos a recuperar la capacidad
de crecimiento y mejorar nuestra calidad de vida?
R: En primer lugar, cambios en los parámetros (en el modelo de Solow) solamente gen-
eran cambios en el nivel y no en la tasa de crecimiento de estado estacionario. Entonces,
si bien es cierto que en la transición existe crecimiento del capital y con ello del pro-
ducto, en el largo plazo (estado estacionario) nada va a cambiar.
Respecto a la calidad de vida, existen múltiples formas de medirla. Por ejemplo, si se
define la calidad de vida como el stock de capital o de producto, entonces el candidato
está en lo cierto. Sin embargo depende de la medida de calidad de vida. Uno de los
t́ıpicos indicadores de este es ver que ocurre con el consumo. Recordar que existe una
tasa de ahorro (s) que maximiza el consumo en estado estacionario. Luego, una tasa más
grande que la que maximiza consumo en estado estacionario por definición va a tener un
menor nivel de consumo en estado estacionario y en la transición (porque ahorra más).
4. Considere una economı́a en t0 que debido a las inversiones anteriores tiene una tecnoloǵıa
que crece a tasa ga > 0 (progreso técnico), pero con una población cuya tasa de crecimiento
9
es igual a cero (gL = 0). Suponga que en ese mismo peŕıodo t0 la fuerza laboral tiene un
salto discreto y aumenta de L0 a L1 con L1 > L0
(a) ¿Cómo afecta en t0 este cambio discreto positivo en la fuerza laboral al producto?
R: Supongamos en t0 hay un salto discreto en el número de trabajadores. Esto reduce
el monto de capital por unidad de trabajo efectivo de k∗ a knew. Podemos notar esto
simplemente mirando la definición de k̃ = KAL y tuvimos un aumento en L sin tener
ningún aumento ni cambio en K ni en A. Como f ′(k̃) > 0, esta caida en el monto de
capital por unidad efectiva de trabajo reduce el monto de output por unidad efectiva
de trabajo tambien.
Lo anterior se puede ver en la siguiente figura:
Figure 3: Efecto de un aumento en la tasa de ahorro
(b) ¿Solo si existe un cambio en el producto luego de este aumento de trabajadores, qué
ocurrirá con el producto en los peŕıodos siguientes?
R: Ahora, con este knew la actual inversión por unidad efectiva de trabajo excede el
nivel mı́nimo para mantener el nivel de capital constante
sf(knew) > (g + δ)knew
La economı́a está ahorrando e invirtiendo más de lo necesario para cubrir la depreciación
y el progeso tecnológico a este bajo nivel knew. Aśı k va a empezar a subir hacia k∗.
Cuando empiece a aumentar lo hará también el producto, quien aumentará desde ynew
hasta y∗.
(c) Una vez que la economı́a llega a su estado estacionario ¿El producto es mayor, igual o
menor al anterior?
R: El capital por unitad efectiva de trabajo ( KAL ) va a continuar aumentando hasta que
eventualmente retorne a su nivel original de k∗. En k∗, la inversión por unidad efectiva
de trabajo estpa justo en el conjunto que deja a k constante y cubre la depreciación y
progreso tecnológico.
Cuando k retorne a su valor original de k∗ la economı́a retorna a su estado estacionario,
y también lo hará el producto por unidad efectiva de trabajo y∗ = f(k∗).
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5. Considere la función de producción CES (constant elasticity of substitution)
Y =
{
K
(σ−1)
σ + (AL)
(σ−1)
σ
}
(a) Muestre que la función tiene rendimientos constantes a escala.
R: Multiplicamos los montos de capital y de trabajo efectivo (aqúı se considera AL) por
una constante no negativa c
F (cK, cAL) =
{
(cK)
(σ−1)
σ + (cAL)
(σ−1)
σ
} σ
σ−1
F (cK, cAL) =
{
c
(σ−1)
σ [(K)
(σ−1)
σ + (AL)
(σ−1)
σ ]
} σ
σ−1
F (cK, cAL) = c
{
(K)
(σ−1)
σ + (AL)
(σ−1)
σ
} σ
σ−1
(b) Encuentre una expresión para el producto per capita.
R: Dividimos la función de producción por AL y nos queda
Y
AL
=
1
AL
·
{
K
(σ−1)
σ + (AL)
(σ−1)
σ
} σ
σ−1
Y
AL
=
{
1
(AL)
σ−1
σ
·
[
K
(σ−1)
σ + (AL)
(σ−1)
σ
]} σσ−1
Y
AL
=
{
K
AL
(σ−1)
σ
+ (1)
(σ−1)
σ
} σ
σ−1
Y
AL
=
{
k̃
(σ−1)
σ + (1)
} σ
σ−1
con k̃ = KAL .
(c) Bajo que condiciones f ′(k̃) > 0 y f ′′(k̃) < 0 con k̃ = KAL .
R: Con la ecuaciónanterior, tomamos f ′(k̃)
f ′(k̃) =
(
σ
σ − 1
){
k̃
(σ−1)
σ + (1)
} 1
σ−1
(
σ − 1
σ
)
k
−1
σ
f ′(k̃) =
{
k̃
(σ−1)
σ + (1)
} 1
σ−1
k
−1
σ
La cual con k̃ > 0 f ′(k̃) > 0.
Para ver que ocurre con f ′′(k̃) derivamos la expresión anterior y nos queda
f ′′(k̃) =
{[
1
σ − 1
]
·
[
k
σ−1
σ + 1
] 2−σ
σ−1 ·
[
σ − 1
σ
]
· k
−1
σ
}
·k
−1
σ +
[
k
σ−1
σ + 1
] 1
σ−1 ·
[(
−1
σ
)
k
−1−σ
σ
]
11
Podemos factorizar la expresión
f ′′(k̃) =
(
1
σ
)
k
−1
σ
[
k
σ−1
σ + 1
] 1
σ−1 ·
{
k
−1
σ
[
k
σ−1
σ + 1
]−1
− k−1
}
Ahora, usando la expresión encontrada anteriormente de f ′(k̃):
f ′′(k̃) =
(
1
σ
)
f ′(k̃)
{
k
−1
σ
[
k
σ−1
σ + 1
]−1
− k−1
}
Sabemos que para k̃ > 0,
(
1
σ
)
f ′(k̃) > 0. Entonces f ′′(k̃) será negativa si la siguiente
condición se mantiene {
k
−1
σ
[
k
σ−1
σ + 1
]−1
− k−1
}
< 0
k
−1
σ − k
−1
σ − k−1 < 0
o simplemente cuando k > 0.
6. Suponga una función de producción Leontief o de proporciones fijas (fue usada antes que la
función neoclásica 1941)
Y = F (K,L) = min{AK,BL}
con A > 0 y B > 0 siendo ambas constantes positivas. Esta especificación corresponde a
Harrod (1939) y a Domar (1946) para demostrar que bajo el supuesto de no sustitución
entre capital y trabajo se pod́ıa predecir que economı́as capitalistas llegaŕıan a productos
indeseables. Discuta lo anterior ocupando herramientas del modelo, espećıficamente refierase
al estado estacionario de esta economı́a.
R: Sabemos que en una función de proporciones fijas el capital disponible y la fuerza laboral
ocurren en el punto
AK = BL
aśı todos los trabajadores y todas las máquinas estan empleadas. Si AK > BL entonces solo
BL
A de capital es usado y el resto queda sin utilizar (ya que la función es el mı́nimo entre
ambos). Análogamente si AK < BL entonces solo el monto de AKB es usado y el resto queda
desempleado.
Luego, si trabajamos con variables per cápita
y = min{Ak,B}
que dado la función de mı́nimo vemos que Ak es una recta con pendiente A y B es una
constante, por lo que podemos graficar f(k) de la siguiente manera:
Aśı dada la función que explica el crecimiento de capital
gk = s
min{Ak,B}
k
− (n+ δ)
vamos a tener dos tramos: en el primero (solo mirando sf(k)k ) usamos Ak cuando k <
B
A y
para k > BA usamos B.
12
Figure 4: Función de producción Leontief
Es relevante señalar que cuando estamos en el primer tramo el crecimiento es constante igual
a sA − (n + δ) y para el segundo tramo la tasa de crecimiento del capital es decreciente a
medida que aumenta k sBk − (n+ δ).
Asumamos en primer lugar que la tasa de ahorro es pequeña tal que sA < n + δ como se
ve en la figura. Asi sf(k)k nunca cruza la linea n+ δ entonces no hay un estado estacionario
para el capital. Incluso la tasa de crecimiento del capital es siempre negativo y la economia
cae en términos per cápita donde k, y, c convergen a 0. La economı́a entonces termina a la
izquierda de BA en un permanente y creciente desempleo.
Supoganmos ahora que k > BA , aśı
sf(k)
k se aproxima a 0 cuando k tiende a infinito, y la
curva eventualmente cruza la linea n + δ al punto k > BA . Luego, la economı́a parte de un
k < k∗ y el capital crece a una tasa sA − n − δ > 0 hasta que k llega al punto BA . A ese
punto la tasa de crecimiento del capital cae a 0.
Si la economı́a parte de un k > k∗ la tasa del crecimiento del capital es negativa y se acerca
a 0 cuando el k se acerca a k∗
Como se ve en el gráfico el estado estacionario es aquel donde k > BA que como se señaló antes
implica que hay maquinas que no se están usando, y que como los parámetros son exógenos
la economı́a cae en un producto indeseable.
3.Ejercicios matemáticos
1. Sea k una función que depende del tiempo t definida como k(t) = K(t)L(t)A(t) . Suponga que la
fuerza laboral (L) y la tecnoloǵıa (A) crecen a una tasa gL y gA respectivamente. Derive la
ecuación que describe la evolución en el tiempo de k(t). Discuta la intuición del resultado.
R: Es básicamente resolver un problema de matemática pura, pero que es muy importante
para obtener el estado estacionario.
Tenemos una fracción en donde tanto el numerador como en el denominador se encuentran
funciones que dependen del tiempo, aśı por regla de la cadena y reglas de derivación tenemos
13
Figure 5: Función de producción Leontief
que :
∂k
∂t
=
L(t)A(t)∂K(t)∂t −K(t)
∂L(t)A(t)
∂t
(L(t)A(t))2
Si hacemos ∂X(t)∂t = Ẋ y aplicando la regla del producto en derivadas tenemos
∂k
∂t
=
L(t)A(t)K̇ −K(t)[L(t)Ȧ+A(t)L̇]
(L(t)A(t))2
Luego, podemos definir al igual como se hace en variables per cápita k̃ = K(t)A(t)L(t) , por lo que
ordenando lo anterior
∂k
∂t
=
K̇
L(t)A(t)
− ˜k(t)[ Ȧ
A(t)
+
L̇
L(t)
]
Luego, sabemos que ȦA(t) = ga y
L̇
L(t) = gl y además que K̇ = sY − δK, por lo que
∂k
∂t
=
sY − δK
L(t)A(t)
− ˜k(t)[ga + gl]
∂k
∂t
=
sY
L(t)A(t)
− ˜k(t)[ga + gl + δ]
∂k
∂t
= sf( ˜k(t))− ˜k(t)[ga + gl + δ]
Para ver la intuición tenemos que mirar k , que es la razón entre el capital y la tecnoloǵıa con
trabajo. Aśı, esta relación va a aumentar si aumenta el capital (lo que se ve en la primera
parte sf( ˜k(t))), pero tambien va a disminuir si el capital se hace más chico (se deprecia) , o
si aumenta la tecnoloǵıa o si aumenta la tasa de natalidad (lo que se ve en − ˜k(t)[ga+gl+δ]).
2. Demuestre que en estado estacionario f(k)k debe ser constante.
R: Para resolver esto basta con mirar (letras en minúsculas son variables per capita)
k̇
k
= s
f(k)
k
− (n+ δ)
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Si tenemos una función de producción neoclásica, sabemos que si k̇k está constante, la tasa
de crecimiento del producto tambien lo estará. Luego, mirando la ecuación anterior vemos
que s, n, δ son constantes, por lo que si f(k)k es constante alcanzamos el estado estacionario.
Luego, derivamos f(k)k con respecto al tiempo para ver las condiciones que se requiere para
que sea constante:
∂ f(k)k
∂t
=
kf ′(k)− f(k)
k2
k̇ = −
(
f(k)− kf ′(k)
k
k̇
k
)
¿Qué es f(k)− kf ′(k)? No es más que la productividad marginal del trabajo, que dado los
supuestos del modelo es positiva (Se demuestra con Y = Lf(k), luego por regla de la cadena
∂f(k)
∂L = f(k)− kf
′(k)).
Luego, la única forma de que sea constante es que k̇k = 0 en estado estacionario.
3. Demuestre que para un función de producción neoclásica existe un único k∗ de estado esta-
cionario.
R: La intersección en el rango positivo de k existe y es único debido a que f(0) = 0 luego
pasa por el origen. Despues, analizando la pendiente sf(k) cuando k tiende a cero y cuando
tiende a infinito
lim
K→0
sf ′(k) > n+ δ
lim
K→∞
sf ′(k) < n+ δ
Luego, por las condiciones de INADA se puede demostrar, es decir , es un supuesto super
fuerte ya que nos dice que las diferencias de productividad marginales es muy grande de tal
forma que la función alcanza una forma suficientemente cóncava para garantizar un único
capital de estado estacionario.
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