ModelosdeCrecimiento

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Modelos de Crecimiento
Macroeconomı́a I
Primer Semestre, 2018
Profesor : Elias Albagli
TA : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
1 1.Modelos de Crecimiento
1. Modelo AK : Y = AKL
• Explica crecimiento en estado estacionario a través de la eliminación de los retornos
marginales decrecientes
• La tasa de crecimiento en estado estacionario es k̇k = sA − δ que no necesariamente es
positiva
• Es un modelo sin transición, es decir , siempre estamos en estado estacionario
• No explica convergencia condicional ni absoluta
• Cambios en los parámetros exógenos generan cambios en el crecimiento de estado esta-
cionario
2. Modelo de Jones & Manuelli Y = AK +BKαL1−α
• Converge asintóticamente al modelo AK
• Modelo con dos sectores productivos uno con retornos constantes a escala y otro con
retornos positivos y decrecientes
• Explica convergencia condicional al igual que el modelo neoclásico
3. Modelo de capital humano : Uzawa & Lucas Y = Kα(uhL)1−α
• La economı́a no solo acumula capital f́ısico sino tambien capital humano
• El capital humano se comporta de acuerdo ḣ = φ(1− u)h
• El capital humano no tiene rendimientos decrecientes
• En estado estacionario gk = gh = gy = φ(1− u)
4. Modelo de Romer Yi = F (Ki, AiLi) con Ai =
∑
iKi
• Reconoce las propiedades del conocimiento , de las ideas (no rivales)
• Es un modelo AK pero con A = L1−αi
• Páıses con más interacciones crecen más
1
2.Ejercicios
1. (Modelo AK) Suponga la siguiente función de producción
Y = AKL
donde Y es el producto, K el capital, L la fuerza laboral y A la tecnoloǵıa. La evolución del
capital sigue
K̇ = I − δK = sY − δK
donde I es la inversión, s ∈ (0, 1) y δ ∈ (0, 1).
(a) Encuentre la ecuación que describe la evolución del capital per cápita.
R: En la gúıa anterior mostramos que para cualquier función de producción, la evolución
del capital per cápita es
k̇ =
K̇
L
− k · n
Recordar que tenemos una expresión para K̇:
K̇ = I − δK
= sY − δK
= sAKL− δK
Utilizando esta ecuación en k̇ = K̇L − k · n tenemos:
k̇ =
K̇
L
− k · n
=
sAKL− δK
L
− k · n
=
sAKL
L
− δK
L
− k · n
= sAk − δk − kn
= sAk − k(δ + n)
(b) Calcule la tasa de crecimiento del capital per cápita en estado estacionario.
R: Tenemos que la evolución del capital per cápita es:
k̇ = sAk − k(δ + n)
Luego, la tasa de crecimiento es
k̇
k
= sA− (δ + n)
2
Notar que la definición de estado estacionario es que crezcan a una tasa constante.
Analizando la ecuación anterior, tenemos que todos son parámetros constantes (s, A, δ,
n) por lo que la tasa de crecimiento del capital en estado estacionario es
k̇
k
= sA− (δ + n)
La cual será positiva siempre y cuando sA−(δ+n) > 0 y negativa cuando sA−(δ+n) < 0.
Lo anterior se puede notar en los siguientes dos gráficos:
Figure 1: Crecimiento positivo
Figure 2: Crecimiento negativo
(c) Calcule la tasa de crecimiento del producto per cápita en estado estacionario.
R: Tenemos que el producto per cápita es
y =
Y
L
=
AKL
L
= Ak
3
Tomando logaritmo para calcular el crecimiento de y, tenemos que
ln(y) = ln(A) + ln(k)
Diferenciando respecto el tiempo (notar que en este caso asumimos A constante), ten-
emos
ẏ
y
=
k̇
k
Luego, ambas tasas de crecimiento son iguales por lo que el crecimiento del producto
per cápita en estado estacionario es:
ẏ
y
= sA− (δ + n)
(d) Calcule el crecimiento de K e Y en estado estacionario.
R: Sea
k =
K
L
⇔ K = L · k
Calcularemos la tasa de crecimiento de K utilizando logaritmos igual que la letra ante-
rior:
ln(K) = ln(L) + ln(k)
Diferenciando respecto al tiempo, tenemos que:
K̇
K
=
L̇
L
+
k̇
k
En estado estacionario, teńıamos que k̇k = sA− (δ + n) y sabemos que
L̇
L = n. Luego,
K̇
K
= sA− (δ + n) + n = sA− δ
Análogo para el producto, sea
y =
Y
L
⇔ Y = L · y
Calcularemos la tasa de crecimiento de Y utilizando logaritmos igual que la letra ante-
rior:
ln(Y ) = ln(L) + ln(y)
Diferenciando respecto al tiempo, tenemos que:
Ẏ
Y
=
L̇
L
+
ẏ
y
En estado estacionario, teńıamos que ẏy = sA− (δ + n) y sabemos que
L̇
L = n. Luego,
Ẏ
Y
= sA− (δ + n) + n = sA− δ
4
(e) Según este modelo, ¿es cierto que economı́as pobres (con menor capital) crecen más que
las economı́as ricas (las con mayor capital)?
R: Falso. Independiente del nivel de capital la tasa de crecimiento es la misma sA −
(δ+ n). La tasa de crecimiento es independiente del nivel de capital. Lo que determina
que economı́a crece más es la relación de los parámetros s,A, δ, n.
(f) Suponga un aumento en s. ¿Qué implicancias tiene este aumento? Compare con el
modelo de Solow.
R: En el modelo de Solow hab́ıamos analizado que un aumento de s genera un aumento
en el capital de estado estacionario pero no genera cambios en la tasa de crecimiento en
estado estacionario(esta segúıa siendo 0).
En este modelo, en cambio, tenemos que aumentos de s generan un aumento de la tasa
de crecimiento sA− (δ + n).
2. (Modelo Jones & Manuelli) Suponga la siguiente función de producción
Y = AKL+BKαL1−α
donde Y es el producto, K el capital, L la fuerza laboral, A y B son parámetros de tecnoloǵıa.
La evolución del capital sigue:
K̇ = I − δK = sY − δK
donde I es la inversión, s ∈ (0, 1) y δ ∈ (0, 1).
(a) Encuentre la ecuación que describe la evolución del capital per cápita.
R: En la gúıa anterior mostramos que para cualquier función de producción, la evolución
del capital per cápita es
k̇ =
K̇
L
− k · n
Recordar que tenemos una expresión para K̇:
K̇ = I − δK
= sY − δK
= s(AKL+BKαL1−α)− δK
5
Utilizando esta ecuación en k̇ = K̇L − k · n tenemos:
k̇ =
K̇
L
− k · n
=
s(AKL+BKαL1−α)− δK
L
− k · n
=
s(AKL+BKαL1−α)
L
− δK
L
− k · n
= sAk + sBkα − δk − kn
= sAk + sBkα − k(δ + n)
(b) Calcule la tasa de crecimiento del capital per cápita en estado estacionario.
R: Utilizando
k̇ = sAk + sBkα − k(δ + n)
Obtenemos la tasa de crecimiento del capital
k̇
k
= sA+
sB
k1−α
− (δ + n)
En primer lugar, notar que este modelo combina los modelos AK y el modelo de Solow.
Luego, es natural de que existan dos estados estacionarios.
Notar que la ecuación
k̇
k
= sA+
sB
k1−α
− (δ + n)
es decreciente en k (a mayor k, menor crecimiento del capital) y converge a sA− (δ+n)
cuando k es muy grande:
lim
k→∞
sA+
sB
k1−α
− (δ + n) = sA− (δ + n)
¿De qué depende su tasa de crecimiento?
Básicamente de la relación entre sA y δ+n. Supongamos primero que sA− (δ+n) > 0:
En este caso se comporta igual al modelo AK. Es decir, la tasa de crecimiento del capital
per cápita en estado estacionario es sA − (δ + n) > 0, donde no existe un capital de
estado estacionario (ya que crece constantemente) y en donde a menor capital (en este
modelo y no en el AK) significa mayor tasa de crecimiento.
Sin embargo, ¿qué ocurre cuando sA− (δ + n) < 0?
En este caso, es análogo al modelo de Solow. Notar que existe un capital de estado
estacionario cuya tasa de crecimiento en estado estacionario es 0.
6
Figure 3: Jones & Manuelli: caso sA > δ + n
Figure 4: Jones & Manuelli: caso sA < δ + n
(d) Según este modelo, ¿es cierto que economı́as pobres (con menor capital) crecen más que
las economı́as ricas (las con mayor capital)?
R: En el caso sA < δ + n se comporta igual al modelo de Solow, por lo que es cierto
que las economı́as más pobres son las que crecen más ya que estan más lejos del estado
estacionario. Notar que estamos asumiendo que todos los parámetros son iguales salvo
que el capital es menor.
Por otro lado, a diferencia del modelo AK en donde independiente del capital se crećıa
a la misma tasa, en este modelo en el caso sA > δ + n tambien es cierto que cuando
menos capital existe en la economı́a mayor es la tasa de crecimiento.
(e) Suponga un aumento en δ. ¿Qué implicancias tiene este aumento? Compare con el
modelo de Solow.
7
R: Recordar que cuando sA > δ + n estamos en presencia de una especie de modelo
AK y cuando sA < δ + n en un modelo de Solow. Recordar que cuando estamos en un
modelo AK no existe un capital de estado estacionaria, se (de)crecea una tasa constante
y cambios en los parámetros tienen efectos en la tasa de crecimiento. Por otro lado, en
el modelo de Solow, existe un capital de estado estacionario cuya tasa de crecimiento es
0 y en donde cambio en los parámetros tienen efectos de nivel pero no de crecimiento.
Luego, supongamos estamos en un caso sA < δ+n. Si aumenta δ se tiene que sA < δ′+n,
es decir nos mantenemos en el modelo de Solow. Luego, ¿qué ocurre? tendrémos un
cambio de nivel en el capital, pero no hay cambios en la tasa de crecimiento.
Supongamos lo constrario, estamos en un caso sA > δ + n y aumenta δ. Supongamos
se tiene que sA > δ′ + n. En este caso, lo único que va a ocurrir es que la tasa de
crecimiento de estado estacionario va a ser menor ya que hay un menor δ. Por otro
lado, si ocurre que sA < δ′ + n ocurre que nos cambiamos de modelo, luego la tasa de
crecimiento pasará de positiva a 0 y en donde existe un capital de estado estacionario.
3. (Modelo de capital humano : Uzawa & Lucas) Suponga una economı́a con la siguiente
función de producción
Y = Kα(uhL)1−α
donde Y es el producto, K el capital, L el trabajo, h es el capital humano, α ∈ (0, 1),
u ∈ (0, 1 = y φ > 0. En esta economı́a no solo se acumula capital f́ısico (K) sino tambien
capital humano (h). El capital humano se comporta de acuerdo
ḣ = φ(1− u)h
La evolución del capital f́ısico (K) sigue
K̇ = I − δK = sY − δK
donde I es la inversión, s ∈ (0, 1) y δ ∈ (0, 1).
(a) Encuentre la ecuación que describe la evolución del capital per cápita.
R: En la gúıa anterior mostramos que para cualquier función de producción, la evolución
del capital per cápita es
k̇ =
K̇
L
− k · n
Recordar que tenemos una expresión para K̇:
K̇ = I − δK
= sY − δK
= sKα(uhL)1−α − δK
8
Utilizando esta ecuación en k̇ = K̇L − k · n tenemos:
k̇ =
K̇
L
− k · n
=
sKα(uhL)1−α − δK
L
− k · n
=
sKα(uhL)1−α
L
− δK
L
− k · n
= skα(uh)1−α − δk − kn
= skα(uh)1−α − k(δ + n)
(b) Calcule la tasa de crecimiento del capital humano en estado estacionario.
R: El capital humano se comporta de acuerdo
ḣ = φ(1− u)h
Luego, la tasa de crecimiento es
ḣ
h
= φ(1− u)
Dado que φ y u son constantes, luego la tasa de crecimiento en estado estacionario es:
ḣ
h
= φ(1− u) > 0
(c) Encuentre la tasa de crecimiento del capital en estado estacionario.
R: La tasa de crecimiento del capital es
k̇
k
=
s(uh)1−α
k1−α
− (δ + n)
k̇
k
= su1−α
(
h
k
)1−α
− (δ + n)
Notar que en estado estacionario, el capital debe crecer a una tasa constante. Dado que
s, u, α, δ, n son constantes, la única manera de que frack̇k sea constante es que el ratio
h
k sea constante. Para que esto se de, es necesario que k creza a la misma tasa de h.
Luego,
k̇
k
=
ḣ
h
= φ(1− u) > 0
(d) Calcule la tasa de crecimiento del producto per cápita.
R: El producto per cápita es
y =
Y
L
=
sKα(uhL)1−α
L
= skα(uh)1−α
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La tasa de crecimiento de y (aplicando logaritmo)
ln(y) = ln(s) + α ln(k) + (1− α) ln(u) + (1− α) ln(h)
Derivando,
ẏ
y
= α
k̇
k
+ (1− α) ḣ
h
Dado que k̇k = φ(1− u) y
ḣ
h = φ(1− u) entonces
ẏ
y
= φ(1− u)
4. Discuta los efectos que tiene un aumento en la tasa de ahorro s. Distinga entre el modelo
AK y el modelo de Solow. R: En una función Cobb-Douglas supongamos la economı́a está
en una posición de estado estacionario con capital k1. Al aumentar s se desplaza la curva
s1
f(k)
k hacia la derecha como se ve en la imagen
Figure 5: Efecto de un aumento en la tasa de ahorro
¿Como se ajusta la economı́a de k1 a k2? Si k = k1 la diferencia entre s1
f(k)
k y n + δ
es positiva, esto es, ahorrando más genera un aumento en k. Si k crece, tenemos que el
producto va creciendo pero cada vez menos convergienendo a 0 cuando k se acerca a k2. El
resultado, es que un aumento permanente en la tasa de ahorro genera un crecimiento positivo
temporal del producto per capita. En el largo plazo, los niveles de capital y producto son
permanentemente mayores, pero la tasa de crecimiento del producto per cápita vuelve a cero,
es decir hay un efecto de nivel , pero no un efecto de crecimiento.
Para el caso del consumo, sabemos que
c(s) = (1− s)f(k(s)∗) = f(k(s)∗)− sf(k(s)∗) = f(k(s)∗)− (n+ δ)k∗
Aśı,
∂c∗
∂s
= [f ′(k(s)∗)− (n+ δ)]∂k
∗
∂s
10
que como se vió en el la pregunta 2 y se discutió anteriormente ∂k
∗
∂s > 0 .Aśı, lo que ocurra
con el consumo va a depender del signo de f ′(k(s)∗)− (n+ δ).
Para el caso del modelo AK, sabemos que es un modelo sin transición y de tasa de crecimiento
constante (no necesariamente positiva) igual a sA− δ. Luego, cambios en la tasa de ahorro
si nos va a cambiar la tasa de crecimiento en estado estacionario, luego en este modelo hay
un efecto de crecimiento.
5. Suponga una gran economı́a cerrada que produćıa de acuerdo a
Y = βKαL1−α
Producto de conflictos internos es dividida en dos economı́as cuyas funciones de producción
vienen dadas por
Y1 = β1K
α
1 L
1−α
1
Y2 = β2K
α
2 L
1−α
2
donde βi, α son constantes y β1 > β1 > 0. Además son economı́as muy parecidas que tienen
la misma tasa de depreciación δ y la población fue dividida en partes iguales que no crecen.
(a) Si usted sabe que K1 > K2 ¿Como se comparan las tasas de crecimiento hoy y en el
largo plazo de ambas economı́as?
R: Dado que las tasas de depreciación y de ahorro son las mismas en ambas economı́as, la
economı́a que crecerá más hoy será la que tenga un mayor producto marginal del capital
per cápita (si hubieran distintas tasas obviamente va a depender de estos parámetros
también). Aśı
fk,1 = β1αk
α−1
1
fk,2 = β2αk
α−1
2
Como β1 > β2 y como k1 < k2 implican que
fk,1 = β1αk
α−1
1 > fk,2 = β2αk
α−1
2
Por lo que la zona 1 crecerá más rápido, ya que su capital es marginalmente más
productivo.
Lo que ocurre en el largo plazo es que el capital de la zona 1 habrá crecido más respecto
del capital de la zona 2 . Sobre el crecimiento, es probable que ambas estén en estado
estacionario ,en donde ambas crecen a una tasa 0 , en donde la zona 1 tiene mayor
producto en estado estacionario.
(b) ¿Existe convergencia absoluta y/o condicional entre ambas economı́as?.
R: Hay convergencia condicional, ya que cada una está convergiendo a su propio estado
estacionario, ya que esta es la diferencia con convergencia absoluta. Dado que β1 > β2
la zona 1 va a tener un estado estacionario con mayor capital y mayor producto per
cápita.
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(c) Suponga ahora que ambas economı́as han superado sus conflictos y permiten invertir
entre si ¿Qué ocurriŕıa con este cambio?
R: Es trivial notar que se invertiŕıa solamente en la zona 1 (Es más productivo) hasta
que se iguale la rentabilidad marginal con la zona 2.
6. Suponga una economı́a dada por una función de producción
Y = KαL1−αφ
(a) Suponga φ es una constante positiva, encuentre el estado estacionario de esta economı́a
¿Cúal es la tasa de crecimiento del producto en estado estacionario? ¿ Qué provoca una
poĺıtica de aumento de la tasa de natalidad? ¿Y una poĺıtica de aumento de la tasa de
ahorro?
R: Dado que es una función Cobb-Douglas , es básicamente resolver (usando variables
per cápita)
k̇
k
=
sf(k)
k
− (n+ δ) = 0
sφ
k1−α
= n+ δ
k∗ =
(
sφ
n+ δ
) 1
1−α
Como se discutió anteriormente todas estas poĺıticas van a generar efectos de nivel (asi
una mayor tasa de natalidad n1 > n nos deja con un menor capital y producto de estado
estacionario , al igual que una mayor tasa de depreciación δ1 > δ y al igual que una
menor tasa de ahorro, sin embargo la tasa de crecimiento en estado estacionario
sigue siendo la misma! e igual a cero). Es decir, tienen un efecto nivel pero no un
efecto crecimiento.
(b) Suponga dos economı́as cerradas tienen la misma función de producción , pero con
φ1 < φ2 ¿Qué diferencias tienen esta economia? ¿Tienen distintas tasas de crecimiento?
¿Qué ocurriŕıa si pudieran invertir entre ellas?
R: Dado que las tasas de depreciación y de ahorro son las mismas en ambas economı́as, la
economı́a que crecerá más hoy será la que tenga un mayor producto marginaldel capital
per cápita (si hubieran distintas tasas obviamente va a depender de estos parámetros
también). Aśı
fk,1 = φ1αk
α−1
1
fk,2 = φ2αk
α−1
2
Pero que φ1 > φ2 no me dicen nada de la relación entre
fk,1 = φ1αk
α−1
1 vs fk,2 = φ2αk
α−1
2
12
Por lo que es un problema de convergencia condicional, es decir crecerá más aquella
economı́a que esté más lejos de su estado estacionario.
Luego, acerca de quien invierte es obvio que se debeŕıa invertir en aquella economı́a que
sea más rentable o productiva hasta que se nivelen los retornos, pero como se señaló
anteriormente esto va a depender de la distancia al estado estacionario.
Lo que ocurre en el largo plazo en el crecimiento, es probable que ambas estén en estadio
estacionario ,en donde ambas crecen a una tasa 0 , en donde la zona con mayor φ tiene
mayor producto en estado estacionario, mayor capital y mayor consumo (si las tasas s
son iguales).
(c) ¿Qué ocurre si φ = akβ con α + β = 1? ¿Existe crecimiento en estado estacionario?
¿Qué provoca una poĺıtica de aumento de la tasa de natalidad? ¿Y una poĺıtica de
aumento en la tasa de ahorro?
R: Dado esto el producto per cápita nos queda
y = akα+β = ak
Que es el modelo AK en donde si hay crecimiento en el estado estacionario si
sA− (n+ δ) > 0
Luego, estas poĺıticas si tienen un efecto en el crecimiento, aśı a mayor s hay mayor
crecimiento.
Figure 6: Modelo AK
(d) ¿Qué ocurre si φ = akβ +A con ? ¿Existe crecimiento en estado estacionario?
R: Dado esto el producto per cápita nos queda
y = akα+β +Akα
13
que es básicamente el modelo de Jones&Manuelli que sabemos converge asintóticamente
al modelo AK , luego existe crecimiento en estado estacionario si
sA− (n+ δ) > 0
(e) ¿Qué ocurre si φ = akβ con a = Li ? ¿Existe crecimiento en estado estacionario? ¿Sig-
nifica lo anterior que si un páıs tiene mayor población (por ejemplo Brasil vs Chile) o
si se dedica más a la investigación y desarrollo va a tener mayor tasa de crecimiento?
R: Si a = Li es básicamente el modelo de Romer en donde a si Li es mayor tendremos
mayor tasa de crecimiento, de hecho si Li es creciente la economı́a creceŕıa sin tope.
Luego, ese Li es muy especial y distinto a la población exclusiva del páıs, sino que cor-
responde a las interacciones. Entonces, puede que un páıs sea más chico en términos
de población ,pero que tenga mayor interacción con el resto del mundo, luego mayor
población no implica mayor crecimiento en este modelo.
Además solo me habla de interacción, luego tampoco va a ser cierto si se dedican más
a la investigación y desarrollo van a tner mayor tasa de crecimiento, acá lo que interesa
son las interacciones.
7. Comente acerca de que nunca va a ser óptimo elegir una tasa menor a la tasa de la regla de oro.
R: Una cuestión importante es ver si hay tasas de ahorro mejor o peor que otras. Obviamente
para seleccionar la mejor tasa de ahorro (o incluso ver si es deseable una tasa constante) hay
que ver la función objetivo que se tenga, aśı el comente se va a responder de acuerdo a aquella
tasa que maximiza el consumo en estado estacionario. Luego, no va a ser cierto todo lo que
vamos a mencionar si cambia la función objetivo (por ejemplo una tasa distinta puede ser
mejor si queremos maximizar el producto).
Sabemos entonces que una mayor tasa de ahorro que la tasa de regla de oro es dinámicamente
ineficiente porque mayores cantidades de consumo per capita puede ser obtenidos para todos
los puntos en el tiempo reduciendo la tasa.
Consideremos una economı́a, como la descrita con una tasa de s2 > sgold, asi kgold < k2
y c∗2 < cgold. Imagine que partiendo de estado estacionario, la tasa de ahorro se reduzca
permanentemente a sgold. Como se ve en la figura, el consumo per cápita c al cambiar de
tasas aumenta discretamente y luego cae monotónicamente durante toda la transición a cgold,
y como c2∗ < cgold concluimos que c excede los valores previos c2, para toda la transición
al nuevo estado estacionario. Entonces, si s > sgold la economı́a esta sobre ahorrando en el
sentido de que el consumo per cápita en todos los puntos del tiempo podŕıa verse aumentado
disminuyendo la tasa de ahorro. Una economı́a que sobre ahorra es dinámicamente inefi-
ciente, ya que el consumo per cápita está bajo a puntos factibles mayores en todos los puntos.
Si s < sgold (como el caso de s1 en la figura) entonces el consumo per cápita de estado
estacionario puede ser aumentado aumentando la tasa de ahorro. Este aumento de la tasa
de ahorro reduce c en parte de la trainsición, luego si esto es mejor o peor va a depender
14
de como los consumidores le dan preferencia o peso al consumo de hoy versus el consumo
futuro. No podemos juzgar ni decir nada, salvo que hagamos ciertos supuestos espećıficos de
como los agentes descuentan el futuro.
Figure 7: Función de producción Leontief
8. Suponga la siguiente función de producción:
Y = F (K,L) = A
(
α(bK)ψ + (1− α)((1− b)L)ψ
) 1
ψ
Demuestre para que casos existe un estado estacionario con crecimiento positivo para 0 <
ψ < 1.
R: Trabajamos en termino de producto per cápita
y = f(k) = A
(
α(bk)ψ + (1− α)((1− b))ψ
) 1
ψ
Luego, el crecimiento del producto está explicado por el crecimiento del capital per cápita,
asi
gk = s
f(k)
k
− (n+ δ)
con
f(k)
k
= A
(
α(b)ψ + (1− α)((1− b))ψk−ψ
) 1
ψ
Si graficamos s f(k)k es una curva con pendiente negativa y n+ δ es una linea horizontal y la
tasa de crecimiento es la distancia en estas curvas.
Si0 < ψ < 1 y por lo comentado en el ejercicio 2
lim
k→∞
(
f(k)
k
)
= lim
k→∞
f ′(k)
y
f ′(k) = Aαbψ
(
α(b)ψ + (1− α)((1− b))ψk−ψ
) 1
ψ
15
Aśı,
lim
k→∞
(
f(k)
k
)
= lim
k→∞
f ′(k) = Abα
1
ψ > 0
lim
k→0
(
f(k)
k
)
= lim
k→0
f ′(k) =∞
Aśı, como se ve en la figura puede generar crecimiento en estado estacionario.
Figure 8: Efecto de un aumento en la tasa de ahorro
3.Ejercicios matemáticos
1. Considere la siguiente expresión para la el crecimiento del capital
γk = s
f(k)
k
− (n+ δ)
Muestre que si estamos en presencia de una función de producción del tipo AK o de Jones-
Emmanuelli no se cumple las condiciones de Inada.
R: Para el caso del modelo AK (Asumiendo que hay crecimiento positivo en estado esta-
cionario) vamos a tener que usar Lhopital para
lim
k→∞
(
f(k)
k
)
= lim
k→∞
f ′(k) >
n+ δ
s
> 0
Esta inecuación viola una de las condiciones de Inada en el modelo neoclásico limk→∞ = 0.
Económicamente, esta violación en esta condición significa que la tendencia de los retornos
del capital decrecientes en algun punto terminan. En otras palabras, la función de producción
puede exhibir retornos decrecientes o crecientes al capital.
16
Para el caso de Jones& Manuelli que es una función de producción que converge asintóticamente
a la forma AK en donde tiene dos sectores , uno con sector de retornos constantes a escala y
otro con rendimientos positivos y decrecientes , sin embargo (se puede demostrar con el caso
anterior porque converge asintoticamente al modelo AK)
lim
k→∞
Fk = A > 0
2. Muestre que si la función de producción es del tipo Jones-Emmanuelli la productividad
marginal del capital converge a un valor distinto de cero y positivo cuando el capital es muy
grande.
R: Por Lhopital
lim
k→∞
(
f(k)
k
)
= lim
k→∞
f ′(k)
Luego, (
f(k)
k
)
= A+
1
k1−α
Aśı,
lim
k→∞
(
f(k)
k
)
= lim
k→∞
f ′(k) = A > 0
17