Tarea 1 Pauta

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EAE 210B Segundo semestre 2021
Profesores: Claudia Mart́ınez A., Rodrigo Fuentes, Tibor Heumann, Stephen Blackburn
Tarea 1 - Respuestas sugeridas
1. Pregunta 1
En cada uno de los siguientes gráficos, se muestran curvas o áreas de indiferencia con
una curva o área sólida (a veces solo se muestra una en azul y otras veces se muestran
dos en azul y rojo). El área coloreada muestra el conjunto de canastas que hacen que
el individuo sea más feliz que las canastas de la curva/área de indiferencia.
Para cada uno de los gráficos, explique si las preferencias representadas satisfacen
completitud, transitividad, continuidad y/o no saciedad. En caso que no, explique. En
caso que śı, muestre dónde se daŕıa el óptimo, incluyendo en el gráfico una curva de
presupuesto con precios positivos para ambos bienes.
(a) :
R: No satisface no-saciedad/monotonicidad.
1
(b) :
R: No satisface transtitividad.
(c) :
R: Satisface todas las propiedades.
(d) :
R: No satisface continuidad.
2
(e) :
R: No satisface no-saciedadno-saciedad/monotonicidad.
2. Pregunta 2
Ludinus, rey de Stillben es un monarca amable y muy empático, por lo que su felicidad
depende del alimento y seguridad de su reino. Sus consejeros le han comentado que
sus preferencias pueden ser modeladas matemáticamente de la forma u(a, s) = aes,
donde a es la cantidad de alimento y s la cantidad de seguridad que hay en el reino.
Los fondos del rey no son ilimitados, por lo que debe asignar sus recursos de forma
eficiente. Suponga que el costo del alimento y la seguridad son pa y ps respectivamente,
y que las arcas del rey tienen una cantidad m de oro.
(a) Plantee el problema de maximización del rey.
R: max L : aes + λ(m− apa − sps)
(b) Escriba detalladamente todas las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker y los casos
que éstas implican.
R: Las condiciones son:
∂L
∂a
: es − λ · px ≤ 0 (1)
a · ∂L
∂a
= 0 (2)
∂L
∂s
: aes − λ · ps ≤ 0 (3)
s · ∂L
∂s
= 0 (4)
∂L
∂λ
: m− a · pa − s · ps ≥ 0 (5)
λ · ∂L
∂λ
= 0 (6)
Hay 8 casos posibles en total.
(c) ¿Hay casos que se puedan descartar? Explique cuidadosamente cuáles y por qué.
R: Se pueden descartar casos con λ = 0 y con a = 0. No se puede descartar s = 0.
3
(d) Exprese las cantidades óptimas de alimento y seguridad para Ludinus. ¿De qué
parámetros dependen?
R: Si m < ps, entonces s = 0, a =
m
pa
. Si m ≥ ps, entonces s = m−psps , a =
ps
pa
.
Suponga ahora que las reservas de oro son de 200, el precio de la comida es de 100 y
el precio de la seguridad es de 2.
(e) ¿Cuáles son las cantidades óptimas? ¿Y la utilidad del reino? Demuestre si
estamos frente a un mı́nimo o un máximo.
R: a = 1
50
, s = 99, u = e
99
50
. Función de utilidad cuasicóncava: máximo.
Suponga ahora que el rey decide empezar a trabajar, lo que no le agrada, pero sabe
que aumentará las riquezas del reino (por cada unidad trabajada el aumento en m será
de 100). Luego de una ardua investigación y mucha deliveración, los consejeros del rey
consiguieron una nueva forma de expresar los gustos de Ludinus, la cual hará que su
trabajo de maximización sea más ameno. Ahora
u(a, s, t) = ln(a) + s− t
2
2
Al mismo tiempo, estos le aseguran al rey que en el óptimo consumirá cantidades
positivas de comida, trabajo y seguridad y que encontrará un máximo (la riqueza
inicial y los precios no cambian).
(f) ¿Cuáles son las cantidades óptimas de alimento, seguridad y trabajo? ¿Y la
utilidad del reino?
R: a = 1
50
, s = 2599, t = 50, u = ln( 1
50
) + 2599− 502
2
.
3. Pregunta 3
Un individuo consume dos bienes x1 y x2. Este individuo enfrenta precios p1 y p2, y
tiene un ingreso monetario m. Suponga que sus preferencias se pueden representar por
la función de utilidad u(x1, x2) = x
0,5
1 + x
0,5
2 .
(a) ¿Es la función de utilidad cóncava? Demuestre. ¿Qué implicancia tiene este hecho
en la solución del problema de optimización?
R: Śı. Se puede demostrar con el hessiano, o chequeando que las curvas de indifer-
encia son convexas (TMSS decreciente). Esto garantiza un máximo al solucionar
el problema del consumidor.
(b) Encuentre las demandas marshallianas de los bienes x1 y x2. Puede descartar
a priori casos del problema de maximización, pero debe justificar por qué los
descarta.
R: xM1 =
mp2
p1(p1+p2)
; xM2 =
mp1
p2(p1+p2)
.
(c) Verifique que la función de utilidad indirecta es de la forma
V (p1, p2,m) =
√
m(p1 + p2)
p1p2
Se verifica reemplazando las demandas marshallianas en u, y simplificando.
4
(d) Encuentre las demandas compensadas de los bienes x1 y x2.
R: xH1 =
(
up2
p1+p2
)2
, xH2 =
(
up1
p1+p2
)2
.
(e) Suponga ahora que al individuo le regalan a unidades del bien x1, que no puede
revender. Plantee el problema del consumidor con este nuevo antecedente y las
restricciones que enfrenta.
R: max x0,51 + x
0,5
2 sujeto a (i) x1p1 + x2p2 ≤ m+ ap1, y (ii) x1 ≥ a.
(f) Encuentre el óptimo del consumidor en este escenario.
R: si x1 > a, x
M
1 =
p2(m+ap1)
p1(p1+p2)
y xM2 =
p1(m+ap1)
p2(p1+p2)
. Si x1 = a, x
M
2 =
m
p2
. La segunda
restricción se cumple con igualdad si mp2 < ap
2
1.
5