Tarea 3 2015-2

Vista previa del material en texto

EAE 210B, Segundo Semestre 2015
Tarea 3: Oferta laboral y de la firma
PAUTA
1. La preferencia de un individuo por ocio (o) y consumo (c) se representa mediante la
siguiente utilidad: u (o, c) =
√
oc. El individuo tiene 16 horas para disfrutar del ocio
o trabajar. Si trabaja, recibe un salario de w por hora. Puede consumir su ingreso
laboral además de una transferencia A.
(a) Representa el problema de maximización del individuo. Detalla las condiciones
de primer orden.
£ =
√
oc+ λ1(A+ (16− o)w − c) + λ2(16− o)
∂£
∂c
= 0.5
√
oc−0.5 − λ1 = 0
∂£
∂o
= 0.5
√
co−0.5 − λ1w − λ2 = 0
∂£
∂λ1
= A+ (16− o)w − c = 0
∂£
∂λ2
= 16− 0 ≥ 0 λ2
∂£
∂λ2
= 0
Las dos primeras condiciones de primer orden se cumplen con igualdad porque la
utilidad marginal es infinita cuando no se consume un bien. La tercera también se
cumple con igualdad por no-saciedad. Finalmente, la última puede o no cumplirse
con igualdad.
(b) Calcula la elasticidad precio de la oferta laboral del individuo. Argumenta porqué
tiene esta forma usando efectos ingreso y substitución.
Asumiendo primero que λ2 = 0, obtenemos que c = ow y reemplazando en la
restricción de presupuesto:
A+ 16w = 2c⇔ c = 0.5A+ 8w ⇔ o = 0.5A/w + 8⇔ h = 8− 0.5A/w
Si λ2 > 0, entonces o = 16, h = 0 y c = A. Eso implica que λ1 = 2A
−0.5 y
entonces que λ2 =
√
A/8− 2A−0.5w y para que eso sea positivo, necesitamos que
A > 16w.
La elasticidad precio de la oferta laboral es indefinida para el caso de la solución
de esquina pero si A < 16w, entonces, está dada por
0.5Aw−2
w
8− 0.5A/w
=
A
16w − A
Por nuestra restricción, el denominador será positivo y entonces, la elasticidad
salario es positiva si A > 0 y nula si A = 0. El efecto sustitución hace que el
individuo quiera trabajar más cuando sube el salario pero el efecto ingreso tiene
el impacto opuesto. Aqúı, mientrás A > 0, el efecto sustitución domina.
1
(c) Un gobierno implementa un subsidio al empleo que ofrece τ pesos por cada hora
trabajada para individuos que tienen un ingreso total menor a 10. Dibuja el
impacto que este subsidio tiene sobre la restricción de presupuesto y encuentra la
nueva oferta laboral.
La nueva restricción presupuestaria es una ĺınea vertical en o = 16 hasta c = A.
De ah́ı, la curva tiene un pendiente de w+ τ hasta el punto en el cual c = 10. Se
continúa en una ĺınea horizontal en c = 10 hasta que c = A + (16 − o)w = 10 o
cuando o = (10 − A)/w − 16. Si A > 10, entonces el individuo nunca recibe el
subsidio.
Podemos usar el Lagrangiano anterior para encontrar que si el individuo prefiere
c > 10, su oferta laboral va a ser h = 8 − 0.5A/w y que para que su salario sea
solamente w, necesitamos que 0.5A+8w > 10 o A > 10−16w. Del otro lado, si el
individuo recibe el subsidio, va a trabajar con una oferta de h = 8− 0.5A/(w+ τ)
y eso va a cumplir los requisitos cuando 0.5A + 8(w + τ) < 10 o cuando A <
10 − 16(w + τ). Finalmente, el individuo puede estar en una solución esquina
donde c = 10 y h = 10−A
w+τ
. Para saber cuál opción se va a preferir, tenemos que
comparar la utilidad generada por cada uno. Si el individuo está en el primer
caso, obtenemos que V = 0.5A+8w√
w
si A > 10 − 16w. Si el individuo está en el
segundo caso, recibe una utilidad de 0.5A+8(w+τ)√
w+τ
si A < 10−16(w+τ). Finalmente,
el individuo va a llegar a una utilidad de V =
√
10 ∗ A+16(w+τ)−10
w+τ
. Entonces, el
individuo va a preferir estar en la solución de esquina y no en la tangencia del
primer caso cuando 0.5A+8w√
w
<
√
10 ∗ A+16(w+τ)−10
w+τ
(d) Para financiar este subsidio, el gobierno decide imponer un impuesto γ por ciento a
los ingresos no-laborales, dejando a los individuos (1−γ)A. Un asesor del gobierno
argumenta que eso va a deshacer todos los incentivos al trabajo generado por la
poĺıtica de subsidio. Encuentra la nueva oferta laboral y ofrece una explicación
intuitiva a tu resultado para explicar mejor al asesor lo que sucede.
La situación va a ser la misma que en la pregunta anterior excepto que A′ =
(1 − γ)A. Entonces, eso va a AUMENTAR la oferta laboral, no disminuirla ya
que al sentirse más pobres, la gente va a dejar de consumir ocio y va a trabajar
más.
(e) ¿Qué monto estaŕıan dispuestos a pagar los individuos para mantener el subsidio?
Explica si eso es más o menos que lo recaudado por el gobierno.
La gente que recibe el subsidio obtiene una utilidad indirecta de 0.5A+8(w+τ)√
w+τ
si A <
10−16(w+τ). Entonces, la función de gastos está dada por 2
√
w + τu−16(w+τ).
Denota u1 como la utilidad con el subsidio, entonces, la gente estaŕıa dispuesta a
pagar 2
√
wu1 − 16w − 2
√
w + τu1 + 16(w + τ) = 16τ − 2u1(
√
w + τ −
√
w). El
gobierno va a tener que pagar h ∗ τ = 8τ − 0.5Aτ/(w + τ) por el subsidio. Si
A = 0, es fácil demostrar que el monto que la gente estaŕıa dispuesta a pagar es
menor que el costo que tiene que pagar el gobierno.
2
2. Una firma tiene una función de producción dada por f(K,L) = 4 ln(K) + α ln(L).
Enfrenta un mercado competitivo para sus insumos con un costo de r por cada unidad
de capital y de w por cada unidad de trabajo.
(a) ¿Son los insumos complementarios o anti-complementarios? ¿Es la función ho-
mogénea? ¿Es homotética?
La productividad marginal de ambos insumos es independiente de la cantidad del
otro insumo entonces son ni complementarios ni anti-complementarios.
La función no es homogénea por que F (λK, λL) = 4 ln(λK)+ln(λL) = ln(λ4+αK4Lα).
Pero la función śı es homotética porque es una transformación creciente (ln) de
una función homogénea K4Lα. También pueden demostrar que es homotética cal-
culando la tasa marginal de sustitución técnica ( TMST =α
4
K
L
) y verificando que
depende sólo de la razón de uso y no de K y L por separado: si se mantiene K/L
no cambia la TMST.
(b) Si K está fijado a 1 en el corto plazo, encuentre la función de costos de la firma.
Calcule la elasticidad salario de la demanda por trabajo de la firma.
Si K = 1 en el corto plazo, entonces para producir un nivel q la firma va a elegir
L =exp(q/α). Luego, la función de costos es C(w, r, q) = r + w exp(q/α). La
elasticidad salario de la demanda por trabajo de la firma es 0, es decir, el salario
no influye en la decisión de la firma.
(c) Si K se puede ahora elegir de manera flexible, encuentre la función de costos de
la firma. Calcule la elasticidad salario de la demanda por trabajo de la firma.
En este caso, la firma va a minimizar sus costos
£ = wL+ rK + λ(q − 4 lnK − α lnL)
Las condiciones de primer orden se cumplen con igualdad porque los dos insumos
tienen productividad marginales positivas e infinitas cuando el insumo es igual a
0. Obtenemos que 4L/αK = r/w. Reemplazando en la restricción de producción,
obtenemos
q = 4 lnK + α ln
αKr
4w
= ln(Kα+4
(αr
4w
)α
)
Entonces K = exp( q
α+4
)4w
αr
α
α+4 . Y entonces, L = exp( q
α+4
) αr
4w
4
α+4 . La función de
costos está dada por
C(q, w, r) = exp(
q
α + 4
)w
α
4+α r
4
α+4
(
4
α
α
4+α
+
α
4
4
α+4
)
La elasticidad salario de la demanda por trabajo es
−4
α + 4
L/w
w
L
=
−4
α + 4
3
(d) Compare los costos medios y marginales en lo dos casos. Compare las elasticidades
salarios de la demanda por trabajo. Justifique las diferencias.
Se puede demostrar que el costo medio en (b) es siempre mayor o igual al de (c).
El costo marginal es tambien menor en (c) que en (b) excepto si w es muy chico
comparado a r. La elasticidad salario es mayor en el largo plazo. Esos son los
beneficios de la flexibilidad de seleccionar todos los insumos.
(e) Imagine que a los precios iniciales la firma decidió contratar K = 1. Suponga que
los precios cambian y la firma puede cambiar su nivel de capital pero a un costo
fijo de R. Encuentre la nueva función de costos. Explique cuán grande tiene que
ser el cambio de precios para que la firma quiera pagar el costo de ajuste.
Con K variable (pagando R) el costo seŕıa exp( q
α+4
)w
α
4+α r
4
α+4
(
4
α
α
4+α + α
4
4
α+4
)
+R;
con K fijo (sin pagar R) el costo seŕıa r + w exp(q/α). La empresava a elegir
seguir con K=1 si y sólo si R es suficientemente alto para que el costo con K
variable sea mayor que el costo con K fijo.
3. Una firma tiene una función de producción dada por f(K,L, T ) =
√
K +
√
L +
√
T
donde K representa el capital, L el trabajo y T la tierra. Paga los precios r, w y s
para sus insumos, respectivamente.
(a) Encuentre la demanda condicionada por los insumos.
Se pueden descartar soluciones de esquina y encontrar que K = w2/r2L y T =
w2/s2L. Reemplazando en la restricción de producción, obtenemos L = q2 r
2s2
(ws+wr+rs)2
y entonces K = w
2s2
(ws+wr+rs)2
y T = r
2w2
(ws+wr+rs)2
.
(b) Si la firma tiene que enfrentar además del costo de sus insumos un costo fijo de
F , calcula su función de costos.
Reemplazando obtenemos:
C(q, r, w, F ) = F + q2
wrs
ws+ wr + rs
(c) ¿Tiene la función de producción retornos crecientes o decrecientes a escala? ¿Tiene
economı́as o deseconomı́as de escala?
La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala dada que es
homogénea de grado 0.5. El costo medio es igual a cq + F/q donde c es una
constante y entonces, los costos medios decrecen en q hasta q =
√
F/c y después
crecen. Entonces, la función tiene primero economı́as y después deseconomı́as de
escala.
(d) Encuentre la función de oferta de la firma. ¿Influye el parámetro F en esta
decisión?
Si F es un costo fijo inevitable, la función de oferta de la firma es q = pws+wr+rs
2wrs
cuando p > CVMe es decir cuando p > q wrs
ws+wr+rs
(que siempre se cumple). F
no influye.
4
(e) Encuentre la demanda no-condicionada por los insumos. ¿Es la elasticidad precio
de la demanda no-condicionada por los insumos mayor o menor a la elasticidad
de la demanda condicionada? ¿Y la elasticidad cruzada?
Reemplazando en las demandas condicionadas por la función de oferta, obten-
emos L = p
2
4w2
, K = p
2
4r2
, T = p
2
4s2
. La elasticidad de la demanda condicionada
por trabajo es −wr−ws
wr+ws+rs
> −1, mientras que la elasticidad de la demanda no-
condicionada es −2. Entonces, la elasticidad de la demanda no-condicionada es
mucho mayor. La elasticidad cruzada es positiva para la demanda condicionada
y nula para la demanda no-condicionada.
5