Prueba 1 2019-2

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EAE 210B Segundo semestre 2019
Profesores: Jeanne Lafortune, Claudia Mart́ınez A., Stephen Blackburn
Prueba 1 - PAUTA
1. (25 puntos) Preguntas cortas
Comente las preguntas (a)-(d) y responda la pregunta (e). Justifique sus respuestas.
(a) (5 puntos) Saber que las preferencias de una persona satisfacen el axioma de no
saciedad es suficiente para poder rankear todas las canastas posibles que enfrenta
el individuo.
Falso. El axioma de completitud permite rankear todas las canastas.
(b) (5 puntos) Si el gobierno aumenta el impuesto a un bien elástico en un 10% , la
recaudación tributaria por este bien aumentará en más del 10%. Recuerde que la
recaudación de un impuesto t es t ∗ q. Asuma que el precio del bien (antes del
impuesto) permanece fijo.
Falso. Si el bien es elástico la disminución en la cantidad demandada es mayor
al aumento del impuesto, por lo que la recaudación tributaria caerá.
(c) (5 puntos) En un mundo de dos bienes, las demandas hicksianas deben ser com-
plementos netos.
Falso. Deben ser sustitutos netos por homogeneidad de grado 0 de la demanda
hicksiana en precios.
(d) (5 puntos) Si dos bienes son complementos netos, no pueden ser sustitutos brutos.
Falso. Si el efecto ingreso es lo suficientemente grande, pueden ser sustitutos bru-
tos y complementos netos. Esto se puede ver en la ecuación de Slutsky.
(e) (5 puntos) Las preferencias de los individuos A y B se representan en las curvas
de indiferencia del siguiente gráfico. Indique qué individuo tiene mayor valoración
por el bien x. ¿Cómo se expresa esto en la Tasa Marginal de Sustitución?
El individuo B tiene una mayor valoración por el bien x: esta dispuesto a entregar
una mayor cantidad del bien y para generar un aumento de x manteniendo el nivel
de utilidad constante. La TMgS es mayor para el individuo B.
1
2
2. (25 puntos) Entretención
A usted le gusta andar en bicicleta por x horas y jugar tenis por y horas. Suponga que
su función de utilidad es U = ln(x) + ln(y). Usted tiene T horas en total para dividir
entre las 2 actividades. Además, para poder andar en bicicleta o jugar tenis, tiene que
pagar un precio px y py por cada hora, respectivamente. Usted tiene un ingreso de m.
(a) (5 puntos) ¿Es la función de utilidad cóncava? ¿Es cuasi-cóncava? ¿Qué permite
eso?
Respuesta: Las derivadas de U son: Ux = 1/x Uy = 1/y Luego, la matriz de
segundas derivadas es:
H =
(
− 1
x2
0
0 − 1
y2
)
La matriz es negativa definida (porque los menores principales de orden 1 son
negativos y el de orden 2 es positivo), entonces la función es cóncava. Si es
cóncava, es cuasi-cóncava. Que la función de utilidad sea cóncava nos asegura
que la solución al problema del consumidor será un máximo.
(b) (7 puntos) Plantee el problema de maximización que enfrenta el consumidor y el
lagrangiano correspondiente. Obtenga las condiciones de primer orden, y describa
qué soluciones se pueden descartar.
x · px + y · py ≤ m
x+ y ≤ T
El lagrangiano correspondiente es:
maxL = ln(x) + ln(y) + λ1(m− x · px − y · py) + λ2(T − x− y)
Las condiciones de primer orden son:
3
δL
δx
:
1
x
− px · λ1 − λ2 ≤ 0
x · δL
δx
= 0
δL
δy
:
1
y
− py · λ1 − λ2 ≤ 0
y · δL
δy
= 0
δL
δλ1
: m− x · px − y · py ≥ 0
λ1 ·
δL
δλ1
= 0
δL
δλ2
: T − x− y ≥ 0
λ2 ·
δL
δλ2
= 0
Se pueden descartar casos con x = 0 y/o y = 0 porque UMgX →∞ si x→ 0, y
lo mismo con UMgY . Luego, las CPO (1) y (3) deben cumplirse con igualdad.
(c) (8 puntos) Resuelva el problema de optimización del individuo.
Respuesta: Como se pueden descartar casos con x = 0 y/o y = 0, hay que revisar
los distintos casos para los λi:
Caso 1: λ2 = 0, λ1 > 0:
Las condiciones de primer orden son:
Ux :
1
x
− pxλ1 = 0
Uy :
1
y
− pyλ1 = 0
Uλ1 : m− px · x− py · y = 0
Uλ2 : T − x− y ≥ 0
El resultado de este sistema es x∗ = m
2px
e y∗ = m
2py
. Para que esta sea la solución,
debe ser cierto que m
(
px+py
pxpy
)
≤ 2T .
Caso 2: λ1 = 0, λ2 > 0:
Las condiciones de primer orden son:
4
Ux :
1
x
− λ2 = 0
Uy :
1
y
− λ2 = 0
Uλ1 : m− px · x− py · y ≥ 0
Uλ2 : T − x− y = 0
El resultado de este sistema es x∗ = T
2
e y∗ = T
2
. Para que esta sea la solución,
debe ser cierto que T (px + py) ≤ 2m.
Caso 3: λ1 > 0, λ2 > 0
Las condiciones de primer orden son:
Ux :
1
x
− pxλ1 − λ2 = 0
Uy :
1
y
− pyλ1 − λ2 = 0
Uλ1 : m− px · x− py · y = 0
Uλ2 : T − x− y = 0
Como las dos restricciones se cumplen con igualdad, despejando y en ambas re-
stricciones e igualando, se llega a que:
x∗ =
(
m− T · py
)(
px − py
)
De igual forma, despejando x en ambas restricciones e igualando, se llega a que:
y∗ =
(
m− T · px
)(
py − px
)
En este caso, la solución se da justo en la esquina de las dos restricciones; es
decir, al individuo no le sobra ni tiempo ni dinero en el óptimo.
(d) (5 puntos) Sus padres estan discutiendo si debeŕıan aumentarle su mesada. Si le
aumenta, ¿siempre mejorará su utilidad? Si no es aśı, explique por qué (o en qué
caso(s) śı y en qué caso(s) no).
Si aumenta la mesada (m), y nada más cambia, la utilidad máxima que pueda
alcanzar aumentará solo en el caso 1 de la respuesta anterior. Si la res-tricción
activa es el tiempo (caso 2), o si ambas restricciones están activas en el óptimo
(caso 3), un aumento en el ingreso no tendrá efecto en la utilidad que el consum-
idor pueda alcanzar.
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3. (22 puntos) Dualidad
Usted ha hecho un estudio de la población chilena midiendo sus hábitos de consumo
de vienesas v y de carne c, y ha encontrado que la función de gastos mı́nimos de cada
persona en Chile es
E = pv + pc −
p2c
4exp(u)pv
donde pv es el precio de la vienesa, pc de la carne, u, su utilidad alcanzada. Esa función
es válida para un rango de precios y utilidad.
(a) (6 puntos) Encuentre la función de utilidad indirecta y a partir de esta, demuestre
que la demanda marshalliana por vienesas está dada por vM = −(m−2pv−pc)
pv
. Nota:
Fijense que para que esa demanda sea positiva, es necesario que m < 2pv + pc.
V = ln
(
−p2c
4pv(m− pv − pc)
)
vM =
− ∂V
∂pv
∂V
∂m
=
−(m− 2pv − pc)/pv(m− pv − pc)
1/(m− pv − pc)
=
−(m− 2pv − pc)
pv
(b) (4 puntos) Calcule la elasticidad ingreso de las vienesas. ¿Qué tipo de bien son
las vienesas para los consumidores chilenos?
ηMvm =
∂vM
∂m
m
vM
= − 1
pv
−mpv
m− 2pv − pc
=
m
m− 2pv − pc
< 0
Las vienesas son un bien inferior.
(c) (4 puntos) Sin derivar la demanda marshalliana de la carne, calcule su elasticidad
ingreso. ¿Qué tipo de bien es la carne? Explique la intuición de su resultado.
Usando la agregación de Engel
αvη
M
vm + αcη
M
cm = 1(
−m− 2pv − pc
m
)
m
m− 2pv − pc
+
(
2m− 2pv − pc
m
)
ηMcm = 1
ηMcm =
2m
2m− 2pv − pc
> 1
La carne es un bien de lujo. Si cuando mi ingreso aumenta en un porciento, yo
bajo mi consumo de un bien, mi consumo del otro tiene que aumentar en más de
1 porciento.
(d) (8 puntos) El gobierno está preocupado por el consumo de alimentos altos en
grasas saturadas y sodio, como las vienesas. Para controlar su consumo, imple-
menta un impuesto a la comida con sellos, el que perjudica a las vienesas pero
no a la carne. ¿Cuál será el impacto de la poĺıtica en la demanda por vienesas?
Explique el resultado usando la ecuación de Slutsky. Sin hacer cálculos, explique
cuál será el impacto de la poĺıtica en la demanda por carne. ¿La poĺıtica del
gobierno cumple su objetivo?
6
∂vM
∂pv
=
m− pc
p2v
El impacto va a ser negativo si m < pc y positivo en el caso contrario. Eso es
porque el efecto sustitución baja la demanda por vienesas pero el efecto ingreso
lo sube, dado que las vienesas son un bien inferior. Cuál domina depende de si
m < pc. La elasticidad precio de las vienesas es
m−pc
−(m−2pv−pc) > −1, lo que significa
que el gasto en vienesas no bajará. Usando la agregación de Cournot, se puede
ver que la demanda por carne tendŕıa que bajar. Si m < pc, la poĺıtica cumple su
objetivo disminuyendo el consumo de disminuir el consumo de comida con sellos.
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Formulario (caso de dos bienes)
Identidad de Roy (1) xMi = −
∂V∂pi
∂V
∂m
Lema de Shephard (2) xHi =
∂E
∂pi
Agregación de Engel (3) α1η
M
1m + α2η
M
2m = 1
Descomposición de Slutsky (4) ηMij = η
H
ij − αjηMim
Agregación de Cournot (5) αi + αiη
M
ii + αjη
M
ji = 0
Simetŕıa de Hicks (6) α1η
H
12 − α2ηH21 = 0
Homogeneidad de grado 0 (7) ηMii + η
M
ij + η
M
im = 0
(8) ηHii + η
H
ij = 0
CSO, n variables y m restricciones: últimos n−m menores principales ĺıderes
del hesiano orlado de L alternan de signo,
empezando con signo de (−1)m+1.
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