Ppt7 Microeconomía II - Teoria de Juegos - Riesgo Moral

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Riesgo Moral
Francisco Silva
PUC Chile, IE
May 1, 2019
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 1 / 21
El juego
Los jugadores: el principal y el agente.
principal=empleador; agente=empleado.
Timing:
1 El principal propone un contrato: un salario w (x) como función de x .
1 x 2 X = fx1, ..., xN g es el ingreso del empleador; es una variable
aleatoria que depende del esfuerzo e del trabajador.
2 El agente escoge una acción: aceptar el contrato y hacer esfuerzo e o
rechazar el contrato.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 2 / 21
El juego
Los pagos
Empleador:
Si el ingreso es x = x 0 y el salario es w = w 0, el pago es x 0 � w 0.
El empleador es neutral al riesgo.
Pago esperado si e = e 0:
N
∑
s=1
pe
0
s (xs � w (xs ))
pes es la probabilidad que x = xs dado el esfuerzo e.
Si el contrato no es aceptado, el pago del empleador es igual a 0.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 3 / 21
El juego
Los pagos
Empleado:
Si el salario es w = w 0 y el e = e 0, el pago es u (w 0)� c (e 0).
u es creciente, diferentiable y concava (u0 > 0 y u00 < 0). El empleado
es averso al riesgo.
c es creciente, di¤erentiable y convexa (c 0 > 0 y c 00 > 0). Además,
c (e) � 0 para todo el e.
El pago esperado si e = e 0:
N
∑
s=1
pe
0
s u (w (xs ))� c
�
e 0
�
Si el contrato no es aceptado, el pago del empleado es igual a u � 0.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 4 / 21
El juego
E�ciencia
Imagina que en el EPS, el agente decide aceptar el contrato. Llama al
resultado del EPS
((bw1, ..., bwN ) ,be)
Resultado: Para que el resultado del EPS sea e�ciente, tiene que ser
que bw1 = ... = bwN
Demonstración:
Tiene que ser que (bw1, ..., bwN ) maximize
N
∑
s=1
pbes (xs � ws ) s.a. N∑
s=1
pbes u (ws )� c (be) � N∑
s=1
pbes u (bws )� c (be)
¿Porqué?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 5 / 21
El juego
E�ciencia
Demonstración:
Tiene que ser que (bw1, ..., bwN ) maximize
N
∑
s=1
pbes (xs � ws ) s.a. N∑
s=1
pbes u (ws )� c (be) � N∑
s=1
pbes u (bws )� c (be)
Llama al multiplicador λ � 0.
CPO (ws ):
�pbes + λpbes u0 (bws ) = 0 para todo el s = 1, ...,N
Tiene que ser que λ > 0. Por lo tanto,
u0 (bws ) = 1
λ
,
¿Intuición?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 6 / 21
Esfuerzo veri�cable
Considera el siguiente cambio en el juego:
El principal (empleador) ofrece un contrato que es función de x y del
esfuerzo e: bw (x , e).
1 ¿Cuál la mejor función bw que induce el nivel de esfuerzo e 0 y es
aceptado?
1 Para cada e = e 0, encontramos el contrato bw e 0 .
2 ¿Qué nivel de esfuerzo inducir? - escoger entre los bw e 0 .
1 Llama al esfuerzo a inducir be.
3 Veri�car si el pago esperado del principal cuando propone contratobwbe es positivo.
Si no, lo mejor es proponer un contrato que sea rechazado.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 7 / 21
Esfuerzo veri�cable
¿Cuál la mejor función bw que induce el nivel de esfuerzo e 0 y es
aceptado?
Tiene que ser bw e 0 maximize:
N
∑
s=1
pe
0
s
�
xs � bw �xs , e 0��
sujeto a 2 restricciones:
restricción de participación (RP)
N
∑
s=1
pe
0
s u
�bw �xs , e 0��� c �e 0� � u
restricción de compatibilidad de incentivos (RCI)
N
∑
s=1
pe
0
s u
�bw �xs , e 0��� c �e 0� � N∑
s=1
pes u (bw (xs , e))� c (e)
para cualquier otro esfuerzo e 6= e 0.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 8 / 21
Esfuerzo veri�cable
Para satisfacer la RCI, el principal propone
bw e 0 (xs , e) = � w e 0 (xs ) si e = e 00 si e 6= e 0
¿Como encontrar la función w e
0
? Maximiza
N
∑
s=1
pe
0
s (xs � ws )
s.a. la RP:
N
∑
s=1
pe
0
s u (ws )� c
�
e 0
�
� u
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 9 / 21
Esfuerzo veri�cable
Solución: w e
0
s = k
e 0 donde
u
�
ke
0
�
� c
�
e 0
�
= u , ke 0 = u�1
�
u + c
�
e 0
��
Pago esperado del empleador:
N
∑
s=1
pe
0
s xs � u�1
�
u + c
�
e 0
��
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 10 / 21
Esfuerzo veri�cable
¿Qué nivel de esfuerzo inducir?
El esfuerzo óptimo be maximiza
N
∑
s=1
pe
0
s xs � u�1
�
u + c
�
e 0
��
El empleador propone bwbe si
N
∑
s=1
pbes xs � u�1 (u + c (be)) � 0
Si no, propone w (x , e) = 0 para todo el (x , e).
Pregunta: ¿És el resultado del EPS e�ciente?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 11 / 21
Esfuerzo no veri�cable
El principal propone un contrato w (x).
Supuesto: e 2 feL, eHg con 0 < eL < eH .
pLs
�
pHs
�
es la probabilidad de s dado e = eL (eH ).
1 ¿Cuál la mejor función w que induce el nivel de esfuerzo
e 0 2 feL, eHg y es aceptado?
1 Para cada e 0, encontramos el contrato w e
0
.
2 ¿Qué nivel de esfuerzo inducir? - escoger entre los w e
0
.
1 Llama al esfuerzo a inducir be.
3 Veri�car si el pago esperado del principal cuando propone contrato
wbe es positivo.
Si no, lo mejor es proponer un contrato que sea rechazado.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 12 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo bajo
¿Cuál es el mejor contrato para el principal que induce e = eL?
El mejor contrato maximiza
N
∑
s=1
pLs (xs � ws )
s.a. la RP
N
∑
s=1
pLs u (ws )� c (eL) � u
y la RCI
N
∑
s=1
pLs u (ws )� c (eL) �
N
∑
s=1
pHs u (ws )� c (eH )
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 13 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo bajo
Problema relajado: sólo con RP.
¿Cuál es la la solución del problema relajado?
w1 = ... = wN = u�1 (u + c (eL)).
La solución del problema relajado satisface la RCI (intuición?).
La solución del problema original es la solución del problema relajado.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 14 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
¿Cuál es el mejor contrato para el principal que induce e = eH?
El mejor contrato maximiza
N
∑
s=1
pHs (xs � ws )
s.a. la RP
N
∑
s=1
pHs u (ws )� c (eH ) � u
y la RCI
N
∑
s=1
pHs u (ws )� c (eH ) �
N
∑
s=1
pLs u (ws )� c (eL)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 15 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
Ahora un salario constante no satisface la RCI.
¿Porqué?
Llama de λ y γ a los multiplicadores de la RP y de la RCI y llama de
(bw1, .., bwN ) a la solución.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 16 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
CPO (ws ):
�pHs + λpHs u0 (bws ) + γ �pHs � pLs � u0 (bws ) = 0
que se puede escribir
u0 (bws )�λ+ γ�1� pLspHs
��
= 1
γ > 0. ¿Porqué?
El bws está ordenado por el ratio pHspLs :
pHs 0
pLs 0
>
pHs 00
pLs 00
) bws 0 > bws 00
Imagina que en el EPS, el agente hace esfuerzo alto. ¿Es el EPS
e�ciente?
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 17 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
Caso especial: s = f1, 2g.
pL y pH son las probabilidades de que s = 2 dado e = eL y e = eH
respectivamente.
El problema: Maximizar
pH (x2 � w2) + (1� pH ) (x1 � w1)
s.a. la RP
pHu (w2) + (1� pH ) u (w1)� c (eH ) � u
y la RCI
pHu (w2) + (1� pH ) u (w1)� c (eH )
� pLu (w2) + (1� pL) u (w2)� c (eL)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 18 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
En el contrato óptimo (bw1, bw2) tiene que ser que
La RP se cumpla con igualdad. ¿Porqué?
La RCI se cumpla con igualdad. ¿Porqué?
Para encontrar (bw1, bw2) resolvemos:8<: pHu (bw2) + (1� pH ) u (bw1)� c (eH ) = upHu (bw2) + (1� pH ) u (bw1)� c (eH ) =pLu (bw2) + (1� pL) u (bw2)� c (eL)
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 19 / 21
Esfuerzo no veri�cable
Esfuerzo alto
bw2 > bw1. ¿Porqué?bw2 > u � 0. ¿Porqué?
Si bw1 < 0, la solución es bw1 = 0.
En ese caso, bw2 se encontra utilizando la RCI con igualdad. ¿Porqué?
La utilidad esperada del agente será mayor que u.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 20 / 21
Principales conclusiones
Si el esfuerzo es veri�cable:
El agente recibe un salario constante.
El contrato optimo para el principal es e�ciente.
El jugador neutral al riesgo es quien tomatodo el riesgo.
Si el esfuerzo no es veri�cable:
El contrato optimo para el principal no tiene que ser e�ciente.
La asimetría de información genera ine�ciencia.
El salario no tiene que ser creciente con lo que el agente produce (el x).
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Riesgo Moral May 1, 2019 21 / 21