Ppt9 Microeconomía II - Teoria de Juegos - Autoselección

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Autoselección
Francisco Silva
PUC Chile, IE
June 17, 2019
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 1 / 27
Introducción
El juego
Juegos de autoselección:
1 La Naturaleza escoge θ.
2 J1 no observa θ y escoge a1.
3 J2 observa θ y a1 y escoge a2.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 2 / 27
Conceptos de Equilibrio
Equilibrio de Bayes-Nash.
Menos relevante porque el juego es secuencial.
Equilibrio perfecto Bayesiano.
Un par de estrategias (s1, s2) es un equilibrio perfecto Bayesiano
(EPB) ssi
1 J2 hace lo mejor posible en cada conjunto de información.
1 Recuerden que el J2 conoce θ.
2 J1 hace lo mejor posible dada la estrategia del J2.
1 s1 es la mejor respuesta al s2.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 3 / 27
Ejemplo 1
J1 es un monopolista que vende audifonos.
Cada audifono tiene una calidad q 2 R+ distinta.
J2 es un consumidor de audifonos.
θ 2 fθL, θHg representa el monto que el consumidor esta disponible
para pagar por una unidad adicional de calidad.
0 < θL < θH y Pr fθ = θH g = 12 .
Si el consumidor compra un audifono de calidad q y paga precio p, su
utilidad es
uc = θq � p
En ese caso, la ganancia del monopolista seria
um = p � c (q)
donde c (q) = q
2
2 .
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 4 / 27
Ejemplo 1
Timing:
1 Monopolista escoge p (�).
1 Un precio para cada q.
2 El consumidor escoge q y paga p (q).
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 5 / 27
Ejemplo 1
¿Qué pasaria si el monopolista conocera el θ?
El monopolista haria
p (q) =
�
pθ si q = qθ
∞ si q 6= qθ
.
El (pθ, qθ):
(pθ, qθ) 2 argmaxp,q fp � c (q) s.a. θq � p � 0g
O sea,
θ = c 0 (qθ), qθ = θ
y
pθ = θqθ , pθ = θ2
El unico resultado e�ciente es qθ = θ. ¿Porqué?
Problema si el monopolista no conoce θ:
Cuando θ = θH , el consumidor pre�ere (pθL , qθL ) porque
θH θL � θ2L > 0.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 6 / 27
Ejemplo 1
¿Que hace el monopolista?
El monopolista escoge
p (q) =
8<: pH si q = qHpL is q = qL∞ si q 6= qL, qH .
El problema es encontrar el (pH , qH ) y el (pL, qL).
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 7 / 27
Ejemplo 1
Problema de optimización:
max
pL ,qL ,pH ,qH
1
2
(pL � c (qL) + pH � c (qH ))
s.a.
θLqL � pL � 0
θHqH � pH � 0
θLqL � pL � θLqH � pH
θHqH � pH � θHqL � pL
Las 2 primeras son restricciones de participación que también existian
con información completa.
Las 2 ultimas son restricciones de incentivos que van a restringir mas
el problema con respecto al caso de la información completa.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 8 / 27
Ejemplo 1
Problema de optimización:
max
pL ,qL ,pH ,qH
1
2
(pL � c (qL) + pH � c (qH ))
s.a.
θLqL � pL � 0
θHqH � pH � 0
θLqL � pL � θLqH � pH
θHqH � pH � θHqL � pL
Restricción 2 es redundante. ¿Porqué?
Vamos "adivinar" que la restricción 3 no es activa.
Al �nal hay que veri�carlo.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 9 / 27
Ejemplo 1
Problema "relajado":
max
pL ,qL ,pH ,qH
1
2
(pL � c (qL) + pH � c (qH ))
s.a.
θLqL � pL � 0
θHqH � pH � θHqL � pL
Las dos restricciones tienen que ser igualdades. ¿Porqué?
Eso signi�ca que (qL, qH ) maximizan
1
2
(θLqL � c (qL)� (θH � θL) qL + θHqH � c (qH ))
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 10 / 27
Ejemplo 1
Eso signi�ca que (qL, qH ) maximizan
1
2
(θLqL � c (qL)� (θH � θL) qL + θHqH � c (qH ))
O sea,
θH = c
0 (qH ), qH = θH = qθH
y
2θL � θH � c 0 (qL) = 0, 2θL � θH = qL < qθL = θL
Resultado ine�ciente.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 11 / 27
Ejemplo 1
Para completar la respuesta:
pL = θLqL y pH = θHqH � (θH � θL) qL
Veri�car que la restricción 3 se cumple:
θLqL � pL � θLqH � pH ,
0 � (θL � θH ) qH + (θH � θL) qL ,
0 � (θL � θH ) (qH � qL)
que es verdadero porque
qH � qL = θH � 2θL + θH > 0
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 12 / 27
Ejemplo 2
J1 es el juez.
J2 es el acusado.
Solo el acusado sabe si es inocente o culpable - θ 2 fi , cg.
Pr fθ = cg = 12 .
El juez tiene que escoger una sanción x para el acusado.
Después de hacer una investigación, el juez tiene acceso a evidencia:
Si s = 1 se encontró la huella del acusado. Si s = 0, no.
Pr fs = 1jcg = pc > Pr fs = 1jig = pi .
Un contrato es (x0, x1);
x0 (x1) es la sanción si s = 0 (1).
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 13 / 27
Ejemplo 2
Timing:
1 El juez propone un menu de contratos
�
xA0 , x
A
1
�
, ...,
�
xZ0 , x
Z
1
�
.
2 El acusado escoge un contrato (x0, x1).
3 La investigación se hace y sale un s.
4 La sanción aplicada es xs .
Pagos con sanción x :
Acusado: ua (x) = �x
Juez:
uj (x) =
(
� (x � 0)2 si θ = i
� (x � 20)2 si θ = c
.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 14 / 27
Ejemplo 2
En Chile, el sistema impone solo un contrato (bx0,bx1), donde
(bx0,bx1) 2 arg min
x0,x1
8<:
1
2
�
pc (x1 � 20)2 + (1� pc ) (x0 � 20)2
�
+
1
2
�
pi (x1 � 0)2 + (1� pi ) (x0 � 0)2
� 9=;
Resulta que
bx1 = 20 pcpc + pi y bx0 = 20 1� pc2� pc � pi
Nota que 0 < bx0 < bx1 < 20.
Pero este sistema no va a ser el mejor para el juez.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 15 / 27
Ejemplo 2
El juez solo propone 2 contratos:
�
x i0, x
i
1
�
y (xc0 , x
c
1 ). ¿Porqué?
El
��
x i0, x
i
1
�
, (xc0 , x
c
1 )
�
minimiza8<:
1
2
�
pc (xc1 � 20)
2 + (1� pc ) (xc0 � 20)
2
�
+
1
2
�
pi
�
x i1 � 0
�2
+ (1� pi )
�
x i0 � 0
�2�
9=;
s.a.
pcxc1 + (1� pc ) xc0 � pcx i1 + (1� pc ) x i0
y
pix i1 + (1� pi ) x i0 � pixc1 + (1� pi ) xc0
"Adivinamos" que la segunda restricción no es activa.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 16 / 27
Ejemplo 2
Problema relajado: minimizar8<:
1
2
�
pc (xc1 � 20)
2 + (1� pc ) (xc0 � 20)
2
�
+
1
2
�
pi
�
x i1 � 0
�2
+ (1� pi )
�
x i0 � 0
�2�
9=;
s.a.
pcxc1 + (1� pc ) xc0 � pcx i1 + (1� pc ) x i0
λ es el multiplicador.
CPO: �
(xc1 ) : �pc (xc1 � 20)� λpc = 0
(xc0 ) : � (1� pc ) (xc0 � 20)� λ (1� pc ) = 0
o sea
xc1 = x
c
0 = 20� λ.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 17 / 27
Ejemplo 2
Problema relajado: minimizar8<:
1
2
�
pc (xc1 � 20)
2 + (1� pc ) (xc0 � 20)
2
�
+
1
2
�
pi
�
x i1 � 0
�2
+ (1� pi )
�
x i0 � 0
�2�
9=;
s.a.
pcxc1 + (1� pc ) xc0 � pcx i1 + (1� pc ) x i0
CPO: � �
x i1
�
: �pix i1 + λpc = 0�
x i0
�
: � (1� pi ) x i0 + λ (1� pc ) = 0
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 18 / 27
Ejemplo 2
Desarrollando las CPO, llegamos a que x i1 = λ
pc
pi
> x i0 = λ
1�pc
1�pi .
Una vez que la restricción se cumple con igualdad,
x i1 > x
c
1 = x
c
0 > x
i
0.
El λ se puede encontrar con la restricción con igualdad.
Para veri�car que la restricción 2 se cumple:
Hay que mostrar que
pi x
i
1 + (1� pi ) x i0 � xc1 = xc0
Se sabe que
x c1 = x
c
0 = pc x
i
1 + (1� pc ) x i0
La restricción se cumple porque
pi x
i
1 + (1� pi ) x i0 < pc x i1 + (1� pc ) x i0
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 19 / 27
Ejemplo 2
Comentarios:
Parecido con el sistema de "plea bargaining" que existe en los Estados
Unidos.
Existen valores de (pc , pi ) para los cuales x i1 > 20.
Por ejemplo, cuando pc = 0.5 y pi = 0.1,
x i1 = 26. 471 > x
c
1 = x
c
0 = 14. 706 > x
i
0 = 2. 941
Relevancia para el debate sobre las sanciones muy altas.
Problema de credibilidad.
El juez va a inferir que el acusado es inocente cuando escoge el
contrato variable y le puede terminar dando una sanción enorme.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 20 / 27
Ejemplo 3
J1 es un vendedor de un producto.
J2 es un consumidor del producto.
θ 2 fθL, θHg representa cuanto el consumidor está disponible para
pagar por el producto.
0 < θL < θH <
1
2 , Pr fθ = θH g =
1
2 y θH > 2θL.
Solo el consumidor observa θ.
El vendedor vende el producto online y en la tienda �sica.
Timing:
1 El vendedor escogeel precio online po y el precio en la tienda pf .
2 El comprador escoge entre no comprar, comprar online o comprar en
la tienda.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 21 / 27
Ejemplo 3
Pagos:
Si el consumidor no compra el producto, el pago es 0 para J1 y J2.
Si el consumidor compra el producto
online:
uc = θ � po y uv = po
tienda:
uc = θ � pf � θ2 y uv = pf
θ2 es el costo de traslado.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 22 / 27
Ejemplo 3
Imagina que el vendedor solo vende online, i.e., po = pf = p.
¿Qué precio debe escoger el vendedor?
Respuesta: p = θH . ¿Porqué?
Para que el vendedor haga mejor que po = pf = θH , tiene que
separar los dos tipos del consumidor.
Pregunta: ¿Es lo siguiente posible?
θL ! online y θH ! tienda
¡No!, porque
θL � po � θL � pf � θ2L
) θ2L � po � pf
) θ2H > po � pf
) θH � po > θH � pf � θ2H
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 23 / 27
Ejemplo 3
Entonces, la única alternativa es
θL ! tienda y θH ! online
Problema del vendedor:
max
po ,pf
1
2
(po + pf )
s.a.
θL � pf � θ2L � 0
θH � po � 0
θL � pf � θ2L � θL � po
θH � po � θH � pf � θ2H
La restricción 2 se puede eliminar. ¿Porqué?
Ayuda: La función f (x) = x � x2 es positiva para todo el x 2
�
0, 12
�
.
Adivinamos que la restricción 3 no es activa.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 24 / 27
Ejemplo 3
Problema relajado:
max
po ,pf
1
2
(po + pf )
s.a.
θL � pf � θ2L � 0, pf � θL � θ2L
θH � po � θH � pf � θ2H , po � pf � θ2H
Las dos restricciones se tienen que cumplir con igualdad. ¿Porqué?
O sea,
pf = θL � θ2L y po = θ2H + θL � θ2L
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 25 / 27
Ejemplo 3
Veri�car que la restricción 3 se cumple:
θL � pf � θ2L � θL � po
con
pf = θL � θ2L y po = θ2H + θL � θ2L
resulta en
θL � θL + θ2L � θ2L � θL � θ2H � θL + θ2L ,
0 � θ2L � θ2H
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 26 / 27
Ejemplo 3
Pagos del vendedor:
1
2
�
2θL (1� θL) + θ2H
�
Si el vendedor no utiliza la tienda �sica, sus pagos son 12 θH .
Por ejemplo, si θH = 0.4, vender en la tienda es mejor ssi
θL � 0.139 44.
El vendedor escoge vender sus produtos en la tienda aunque sea mas
costoso para el consumidor!
Lógica:
Al vendedor le gustaria disciminar: p = θ para θ = fθL, θH g.
Problema: el consumidor siempre pre�ere el precio mas bajo mismo
cuando θ = θH .
El vendedor utiliza la tienda �sica para discriminar; el tipo θ = θH tiene
que irse a la tienda �sica para comprar el precio bajo.
El comprador de tipo θ = θH no quiere irse a la tienda porque le costa
más que al tipo θ = θL .
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Autoselección June 17, 2019 27 / 27