Ppt6 Microeconomía II - Teoria de Juegos - Información Completa

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Teoria de Juegos - Información completa
Francisco Silva
PUC Chile, IE
March 4, 2019
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Teoria de Juegos - Información completa March 4, 2019 1 / 18
Representación normal
1 Los jugadores (n = 1, ...,N)
2 El espacio de estrategias (S1, ...,SN )
3 Los pagos (u1 (s1, ..., sN ) , ..., uN (s1, ..., sN )), donde sn 2 Sn para
n = 1, ...,N.
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Representación normal
Ejemplo 1:
Jugadores: 1 y 2;
Espacio de estrategias: S1 = fC ,NCg y S2 = fC ,NCg;
Pagos:
s1 js2 C NC
C (�6,�6) (0,�9)
NC (�9, 0) (�1,�1)
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Representación normal
Ejemplo 2:
Jugadores: 1 y 2;
Espacio de estrategias: Sn = [0, 1] para n = 1, 2;
Pagos: un (s1, s2) = � (s1 � s2)2.
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Representación normal
Importante: Todos los juegos tienen una representación normal!
Juegos simultaneos,
Juegos dinamicos,
Juegos repetidos.
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Representación normal
Equilibrio de Nash: Un vector de estrategias (s�1 , ..., s
�
N ) es un
equilibrio de Nash ssi
un (s�n , s
�
�n) = max
sn2Sn
un (sn, s��n)
para todo el n = 1, ...,N, donde
s�n = (s1, ..., sn�1, sn+1, ..., sN )
Para veri�car que un vector de estrategias es un equilibrio de Nash
hay que veri�car que ningún jugador se quiere desviar.
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Representación normal
Como encontrar los equilibrios de Nash?
1 Calcular las funciones de reacción Rn de cada jugador.
1 Rn : S�n ! Sn con la propriedad que
Rn (s�n) 2 arg max
sn2Sn
un (sn , s�n)
2 Resolver el sistema de ecuaciones:8>><>>:
s�1 = R1 (s
�
2 , .., s
�
N )
s�2 = R2 (s
�
1 , s
�
3 , .., s
�
N )
...
s�N = RN
�
s�1 , , .., s
�
N�1
�
Si hay más que una funcion de reacción, hay que considerlas todas.
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Representación normal
Ejemplo 1:
s1js2 C NC
C (�6,�6) (0,�9)
NC (�9, 0) (�1,�1)
Funciones de reacción:
R1 (s2) =
�
C si s2 = C
C si s2 = NC
y
R2 (s1) =
�
C si s1 = C
C si s1 = NC
Equilibrio de Nash: (C ,C ).
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Representación normal
Ejemplo 2:
un (s1, s2) = � (s1 � s2)2 con sn 2 [0, 1].
Funciones de reacción:
R1 (s2) = s2 y R2 (s1) = s1
Equilibrios de Nash: f(x , x) : x 2 [0, 1]g.
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Representación normal
Otros ejemplos:
s1 js2 C D
A (2, 1) (0, 0)
B (1, 0) (1, 3)
u1 (s1, s2) = � (s1 � s2)2 y u2 (s1, s2) = s1 + s2 con sn 2 [0, 1].
u1 (s1, s2) = � (s1 � s2)2 y u2 (s1, s2) = (s1 � s2)2 con sn 2 [0, 1].
Competencia electoral.
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Representación extensiva
Se utiliza la representación extensiva para representar el timing de las
acciones de cada jugador.
Representación extensiva = Árbol
Ejemplo:
1 J1 escoge entre L y R.
2 Si observa L, el J2 escoge entre l y r ; si observa R, escoge entre l 0 y
r 0.
3 Mirar a la pizarra para los pagos.
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Representación extensiva
¿Cuál es la representación normal del juego?
Jugadores: J1 y J2;
Estrategias: S1 = fL,Rg, S2 = fll 0, lr 0, rl 0, rr 0g.
Pagos:
s1 js2 ll 0 lr 0 rl 0 rr 0
L 2, 3 2, 3 4, 2 4, 2
R 1, 0 3, 1 1, 0 3, 1
Equilibrios de Nash: (L, ll 0) y (R, lr 0).
Importante: (L, l 0) y (R, r 0) no son equilibrios de Nash!
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Representación extensiva
Problema con algunos equilibrios de Nash:
El equilibrio (L, ll 0) no tiene lógica si los jugadores son racionales.
Es necesário crear otro concepto de equilibrio.
Equilibrio perfecto en subjuegos: Un vector de estratégias
(s�1 , ..., s
�
N ) es un equilibrio perfecto en subjuegos si es un equilibrio de
Nash en cada subjuego.
Pregunta: ¿Qué es un subjuego?
Un subjuego empieza en un nodo y continua hasta el �nal del árbol.
En el ejemplo, exiten 3 subjuegos; 2 subjuegos donde solo juega J2 más
el juego completo donde juegan los dos jugadores.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Teoria de Juegos - Información completa March 4, 2019 13 / 18
Representación extensiva
Pregunta: ¿El equilibrio de Nash (L, ll 0) es un equilibrio perfecto en
subjuegos?
No. Porque el equilibrio de Nash del subjuego que impieza en el nodulo
t2 (despues de R) es r 0.
El unico equilibrio perfecto en subjuegos es (R, lr 0).
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Representación extensiva
¿Como representar juegos simultaneos en su forma extensiva?
Mirar al ejemplo de la pizarra.
Concepto de conjunto de información
Nodos pertenecen al mismo conjunto de información si el jugador no
los puede distinguir cuando le toca a escoger.
Francisco Silva (PUC Chile, IE) Teoria de Juegos - Información completa March 4, 2019 15 / 18
Representación extensiva
Otro ejemplo:
1 J1 escoge entre L y R.
2 Si L, el juego termina. Si R, J1 escoge entre T y B y J2 escoge entre
l y r . J1 y J2 escogen simultaneamente.
Representación extensiva.
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Representación extensiva
Subjuego después de B:
l r
T �1, 1 4, 0
B 0, 0 5, 1
Equilibrio de Nash del subjuego: (B, r).
Equilibrio perfecto en subjuegos: (R,B, r).
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Representación extensiva
Ejemplo:
1 J1 escoge x1 2 [0, 1].
2 J2 observa x1 y escoge x2 2 [0, 1].
Los pagos del J1 están dados por: � (x1 + x2 � 0.5)2.
Los pagos del J2 están dados por: � (x1 � x2)2.
¿Cuál es el equilibrio perfecto en subjuegos?
Otro ejemplo: el caso de la competencia electoral pero secuencial.
No existe equilibrio perfecto en subjuegos. ¿Porqué?
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