I2 2017 - 01 (Pauta)

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Primer Semestre 2017
Curso : Probabilidad y Estad́ıstica
Sigla : EAS200a
Profesores : Rafael Águila (Sec 01) M Ignacia Vicuña (Sec 02), Osvaldo Ferreiro (Sec 03),
Ricardo Olea (Sec 04) y Vı́ctor Correa (Sec 05)
Pauta Interrogación 2
Pregunta 1
Un alumno universitario, sabe que la probabilidad de aprobar un ramo es tan solo del 55.04 %. El alumno,
sabe además que, para alcanzar la meta semestral, debe aprobar 7 ramos.
(a) [2.0 Puntos] ¿Cuál es el valor esperado del número de ramos semestrales que el alumno debe cursar
para alcanzar la meta?
(b) [2.0 Puntos] ¿Cuál es la desviación estándar del número de ramos semestrales que el alumno debe
cursar para alcanzar la meta?
(c) [2.0 Puntos] Para el alumno un semestre resulta exitoso si alcanza la meta en a lo más 9 ramos
cursados. ¿Cuál es la probabilidad que, a lo largo de 6 años, el alumno tenga al menos 1 semestre
exitoso?
Solución
(a) Sea X v.a que representa el número de ramos semestrales que el alumno debe cursar para alcanzar la
meta semestral. [0.5 Ptos]
Entonces
X ∼ BinNeg(7, 0.5504) [1.0 Ptos]
Por lo tanto E(X) = rπ =
7
0.5504 = 12.72 ramos por semestre. [0.5 Ptos]
(b) σ =
√
Var(X) =
√
r(1−π)
π2 =
√
7(1−0.5504)
0.55042 = 3.22 ramos por semestre. [2.0 Ptos]
(c) Sea π la probabilidad de que un semestre sea exitoso, entonces
π = P (X ≤ 9) =
9∑
x=7
(
x− 1
6
)
(1− 0.5504)x−70.55047 = 0.1500689 [0.8 Ptos]
Sea la v.a. Y = N◦ de semestres exitosos en un 6 años, entonces Y ∼ Bin(12, 0.15) [0.5 Ptos]
P (Y ≥ 1) = 1− P (Y = 0) = 1−
(
12
0
)
0.150(0.85)12 = 1− 0.1422418 = 0.8577582 [0.7 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 1 Primer Semestre 2017
Pregunta 2
En la industria del vino, es de suma importancia el tipo de corcho utilizado para conservar el estado del
vino. Los corchos de buena calidad son los que aparecen enteros, sin grietas y manchados sólo en la zona que
ha estado expuesta al vino. Por este motivo, el gerente de una empresa vitivińıcola quiere evaluar la calidad
de dos máquinas que cortan corchos. La primera produce corchos con diámetros normalmente distribuidos
con media de 3 cm y desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce corchos con diámetros
que tienen una distribución normal con media 3.08 cm y desviación estándar de 0.2 cm. Suponga que cada
d́ıa de operación se escoje al azar una de las dos máquinas, y se sabe que la máquina 1 tiene probabilidad
0.65 de ser seleccionada. Al finalizar el d́ıa se realiza un control de calidad, y solo serán aceptados corchos
que tengan diámetros entre 2.9 cm y 3.1 cm.
(a) [2.0 Puntos] Encuentre el valor esperado del diámetro de un corcho.
(b) [4.0 Puntos] ¿Cuál máquina tiene mayor probabilidad de producir un corcho aceptable?
Solución:
(a) Sea X el diámetro de un corcho.
Sean Xi : diámetro de un corcho producido por la máquina i, i = 1, 2.
Se sabe que X1 ∼ N(3, 0.12) y X2 ∼ N(3.08, 0.022), [0.5 Ptos], luego
E(X) = E(X|Máquina I)P (Máquina I) + E(X|Máquina II)P (Máquina II) [0.5 Ptos]
= 3 · 0.65 + 3.08 · 0.35 [0.5 Ptos]
= 3.028 [0.5 Ptos]
(b) Máquina I: Un corcho será aceptado si 2.9 < X1 < 3.1, luego
P (2.9 < X1 < 3.1) = P
(
2.9− 3
0.1
<
X − 3
0.1
<
3.1− 3
0.1
)
[0.3 Ptos]
= Φ
(
3.1− 3
0.1
)
− Φ
(
2.9− 3
0.1
)
= Φ(1)− Φ(−1) [0.5 Ptos]
= 0.8413447− 0.1586553 [0.5 Ptos]
= 0.6826895 [0.5 Ptos]
Máquina II: Un corcho será aceptado si 2.9 < X2 < 3.1, luego
P (2.9 < X2 < 3.1) = P
(
2.9− 3.08
0.2
<
X − 3.08
0.2
<
3.1− 3.08
0.2
)
[0.3 Ptos]
= Φ
(
3.1− 3.08
0.2
)
− Φ
(
2.9− 3.08
0.2
)
= Φ(0.1)− Φ(−0.9) [0.5 Ptos]
= 0.5398278− 0.1840601 [0.5 Ptos]
= 0.3557677 [0.5 Ptos]
Luego la máquina I tiene mayor probabilidad de producir un corcho aceptable. [0.4 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Primer Semestre 2017
Pregunta 3
De acuerdo a la alerta emitida por Microsoft sobre la vulnerabilidad del sistema operativo Windows, muchas
instituciones financieras, han tenido problemas con la salida y entrada de correos no institucionales con
archivos adjuntos.
Asumiendo que, durante una jornada laboral, la llegada de correos que contienen archivos adjuntos al servidor
de una institución financiera, son independientes y llegan a una tasa de 4mailhora .
Además, se sabe que la probabilidad π que un mail llegado sea fraudulento, es igual al valor esperado de una
variable aleatoria cuya función de densidad está dada por:
f(x) = 20x3(1− x), x ∈ [0, 1]
(a) [1.0 Punto] Proponga un modelo para el número de mails fraudulentos que llegan en una hora.
Con dicho modelo propuesto por usted:
(b) [1.0 Punto] Calcule la probabilidad que en una hora no lleguen mails fraudulentos.
(c) [2.0 Puntos] Calcule la probabilidad que entre el primero y el cuarto mail fraudulento transcurra a
lo más 30 minutos.
(d) [2.0 Puntos] ¿Cuál es el número esperado de mails fraudulentos en 3 horas? y ¿Cuál es el tiempo
esperado hasta que esto ocurra?
Solución
(a) Sea π la proporción de mails fraudulentos, entonces
π = E(X) =
∫ 1
0
x · 20x3 (1− x) dx = 20
[∫ 1
0
x4dx−
∫ 1
0
x5dx
]
= 20
[
1
5
− 1
6
]
=
2
3
[0.5 Ptos]
Sea Yt el número de mail fraudulentos que llegan en una hora laboral
Yt ∼ Poisson
(
λ =
2
3
· 4t = 8
3
t
mails fraudulentos
hora
)
[0.5 Ptos]
(b) P (Y1 = 0) = e
−8/3 = 0.06948345 [1.0 Ptos]
(c) Sea T3 Tiempo que transcurre emtre el primer y el cuarto mail fraudulento.
Entonces T3 ∼ Gamma(3, 8/3) [0.5 Ptos] y Y0.5 ∼ Poisson
(
4
3
mails fraudulentos
media hora
)
. [0.5 Ptos]
Luego,
P (T3 ≤ 1/2) = 1− P (Y0.5 ≤ 2) = 1−
2∑
x=0
(4/3)x e−4/3
x!
= 0.1506314 [1.0 Ptos]
(d) Se pide E(Y3) =
6
3 ·3 = 8 mails fraudulentos, [0.5 Ptos] ya que Y3 ∼ Poisson
(
8
3 · 3
mails fraudulentos
3 horas
)
[0.5 Ptos]
k = E(Y3) = 8
Además, el tiempo esperado hasta que esto ocurra está dado por
E(T8) =
8
8/3
= 3 [0.5 Ptos]
ya que T8 ∼ Gamma(8, 8/3). [0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 3 Primer Semestre 2017
Modelo Binomial:
(a) Sea π la proporción de mails fraudulentos, entonces
π = E(X) =
∫ 1
0
x · 20x3 (1− x) dx = 20
[∫ 1
0
x4dx−
∫ 1
0
x5dx
]
= 20
[
1
5
− 1
6
]
=
2
3
[0.5 Ptos]
Sea Yt el número de mail fraudulentos que llegan en una hora laboral
Yt ∼ Poisson
(
λ =
2
3
· 4t = 8
3
t
mails fraudulentos
hora
)
Ahora si Z representa el número de mails fraudulentos de un total de 4 mails que llegan por hora,
entonces Z ∼ Bin(4, 2/3). Note que un modelo Binomial se puede aproximar a un Poisson ciuando n
es grande y π es chico (tender a cero), pero en este caso la aproximación no aplicaŕıa ya que n = 4 y
π = 2/3. [0.3 Ptos]
(b) P (Z = 0) = 134 = 0.0123 ah́ı claramente se ve que la aproximación del modelo Binomial no era buena,
ya que el valor exacto es 0.069483 [0.8 Ptos]
(c) Deben usar un modelo Gamma para los tiempos.
(d) Deben usar un modelo Gamma para los tiempos.
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 4 Primer Semestre 2017