I2 2017 - 02 (Pauta)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Segundo Semestre 2017
Curso : Probabilidad y Estad́ıstica
Sigla : EAS200a
Profesores : Rafael Águila (Sec 01) M Ignacia Vicuña (Sec 02), Osvaldo Ferreiro (Sec 03)
Pauta Interrogación 2
Pregunta 1
Un método para hacer un pronóstico económico consiste en llegar al consenso. Se selecciona un pronóstico
de cada uno de una gran cantidad de analistas, y el promedio de los pronósticos individuales es el pronóstico
general estimado. Suponga que los pronósticos individuales de los economistas respecto a las principales
tasas de interés de Enero 2018 se aproxima a una distribución Normal con media 7 % y desviación estándar
de 2.6 %. Si se elige aleatoriamente un analista de este grupo:
(a) [3.0 Puntos] Encuentre la probabilidad de que su pronóstico sobre la principal tasa de interés exceda
el 11 %.
(b) [3.0 Puntos] Cuánto debiera ser el valor de la desviación estándar de los pronósticos individuales,
para que la probabilidad de que el pronóstico sobre la principal tasa de interés esté entre 6 % y 8 % sea
mayor a un 95 %.
Solución:
(a) Sea X los pronósticos individuales de los economistas respecto a las principales tasas de interés de
Enero 2018. Se sabe que X ∼ N(0.07, 0.0262). Nos piden calcular P (X > 0.11) [0.5 Ptos]
P (X > 0.11) = 1− P (X ≤ 0.11) [0.5 Ptos]
= 1− P
(
X − 0.07
0.026
≤ 0.11− 0.07
0.026
)
[0.5 Ptos]
= 1− Φ (1.54) [0.5 Ptos]
= 1− 0.9382 [0.5 Ptos]
= 0.0618 [0.5 Ptos]
(b) Sea σ0 el valor de la desviación estándar de los pronósticos individuales. Entonces
P (0.06 ≤ X ≤ 0.08) > 0.95 [0.5 Ptos]
P
(
0.06− 0.07
σ0
≤ X − 0.07
σ0
≤ 0.08− 0.07
σ0
)
> 0.95 [0.5 Ptos]
P
(
−0.01
σ0
≤ X − 0.07
σ0
≤ 0.01
σ0
)
> 0.95
Φ
(
0.01
σ0
)
− Φ
(
−0.01
σ0
)
> 0.95
Φ
(
0.01
σ0
)
−
(
1− Φ
(
0.01
σ0
))
> 0.95 [0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 1 Segundo Semestre 2017
2Φ
(
0.01
σ0
)
− 1 > 0.95
Φ
(
0.01
σ0
)
> 0.975 [0.5 Ptos]
0.01
σ0
> Φ−1(0.975)
0.01
σ0
> 1.96 [0.5 Ptos]
0.0051 > σ0 [0.5 Ptos]
Por lo tanto, la desviación estándar de los pronósticos individuales debe ser mejor a 0,51 % para que
la probabilidad de que los pronósticos individuales esten entre 6 % y 8 % sea mayor a un 95 %.
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Segundo Semestre 2017
Pregunta 2
Se sabe que la distribución de los salarios mensuales de los socios del sindicato, es una variable aleatoria X
cuya distribución es normal de media $250.000 y desviación estándar $15.000 Como solución a un conflicto
laboral, la empresa propone al sindicato las siguientes dos alternativas:
Alternativa 1: Un aumento general del 3 % de los salarios, más un bono permanente de $7.500 para cada
sindicalizado.
Alternativa 2: Un aumento general del 6 % de los salarios.
(a) [2.0 Puntos] Usando el método de la f.g.m. Encuentre la distribución de los salarios bajo la Alterna-
tiva 1.
(b) [2.0 Puntos] Usando el método de la transformación de variables. Encuentre la distribución de los
salarios bajo la Alternativa 2.
(c) [0.5 Puntos] Si a los sindicalizados, les interesa que sus salarios sean lo más homogéneos posible,
¿Cuál de las dos propuestas debeŕıan elegir? Justifique su respuesta
Como una contrapropuesta, el sindicato pide a la empresa que le haga una nueva propuesta del tipo 1, de
tal modo que: El salario promedio suba a $270.000 con una desviación estándar de $15.600
(d) [1.5 Puntos] ¿Cuál debeŕıa ser la propuesta de la empresa? Justifique se respuesta.
Solución:
(a) Sea X la distribución de los salarios mensuales de los socios de un sindicato. Se tiene que X ∼
Normal(µ, σ2), donde µ = 250.000 y σ2 = 15.0002.
Sea Y el salario mensual bajo la alternativa 1. Se define Y = 1.03X+7500. [0.3 Ptos]. Piden encontrar
la distribución de Y usando el método de la f.g.m.
MY (t) = E(e
Y t) = E(e(1.03X+7500)t) = e7500t · E(e1.03Xt) = e7500t ·MX(1.03t) [0.5 Ptos]
Como X ∼ N(µ, σ2), se tiene que MX(t) = eµt+
1
2 t
2σ2 , [0.2 Ptos] aśı,
MY (t) = e
7500t · eµ1.03t+ 12 t
21.032σ2
= e(7500+1.03µ)t+
1
2 t
21.032σ2 [0.5 Ptos]
que corresponde a la f.g.m de una Normal(7500 + 1.03µ, 1.032σ2) [0.3 Ptos]
Luego por teorema de unicidad, se tiene que Y tiene distribución Normal(7500 + 1.03µ, 1.032σ2)
Reemplazando con los valores de µ y σ2 se tiene que Y ∼ N(265.000, 154502) [0.2 Ptos]
(b) Sea Y el salario mensual bajo la alternativa 2. Se define Y = 1.06X. [0.3 Ptos] Nos piden encontrar
la distribución de Y con el método de transformación. Se tiene que
g−1(y) = y1.06 ⇒
dg−1(y)
dy =
1
1.06 , [0.2 Ptos] luego
fY (y) =
∣∣∣∣dg−1(y)dy
∣∣∣∣ fX(g−1(y)) [0.2 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 3 Segundo Semestre 2017
=
1
1.06
fX
( y
1.06
)
[0.3 Ptos]
=
1
1.06
1√
2πσ2
e−
1
2σ2
( y1.06−µ)
2
=
1√
2π1.062σ2
e−
1
2·1.062σ2
(y−1.06µ)2 [0.5 Ptos]
Que corresponde la la densidad de una distribución Normal(1.06µ, 1.062σ2). [0.2 Ptos] Reemplazando
con los valores de µ y σ2 se tiene que Y ∼ N(265.000, 159002) [0.3 Ptos]
(c) Como los ingresos medios en ambas alternativas es el mismo, hay más homogeneidad en los salarios de
la alternativa 1, ya que 15.450 < 15.900. De debe elegir la propuesta 1. [0.5 Ptos]
(d) Se quiere Y = aX + b, donde E(Y ) = 270.000 y Var(Y ) = 15.6002. [0.5 Ptos] Luego
aµ+ b = 270.000
a2σ2 = 15.6002 [0.5 Ptos] ⇒ a = 1.04, b = 10.000 [0.5 Ptos]
Luego la propuesta debe ser: Y = 1.04X + 10.000
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 4 Segundo Semestre 2017
Pregunta 3
Considere la llegada de pasajeros a la Estación San Joaqúın del Metro en horas punta. Se conoce que el
promedio histórico es de 72 pasajeros cada 4 minutos.
(a) [1.5 Puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 5 pasajeros en 10 segundos?. Encuentre
el valor preciso de tal probabilidad.
(b) [1.5 Puntos] Si en 10 segundos han llegado a lo más un pasajero, calcule la probabilidad de que en 1
minuto lleguen a lo más 15 pasajeros.
Posteriormente, se observa una muestra aleatoria de 12 peŕıodos de 10 segundos.
(c) [1.5 Puntos] Determine la probabilidad de que en más de uno de tales peŕıodos lleguen al menos 5
pasajeros.
En otro estudio se han observado 40 peŕıodos de 8 segundos. De ellos, en 15 peŕıodos han llegado solamente
a lo más 2 pasajeros. Como se cuenta además con datos para otras variables que han sidos observadas, se
toma una muestra aleatoria de 10 peŕıodos (de entre los 40 peŕıodos observados)
(d) [1.5 Puntos] Determine la probabilidad de que en más de dos peŕıodos de los 10 seleccionados hayan
llegado a lo más 2 pasajeros.
Solución:
(a) Sea Xt el número de pasajeros que llegan a la estación San Joaqúın en horario punta en t segundos.
[0.2 Ptos]
Luego, Xt ∼ Poisson(λt), [0.3 Ptos] donde λ = 72240 = 0.3. [0.3 Ptos] De esta manera,
P (X10 < 5) = P (X10 ≤ 4) [0.2 Ptos] donde X10 ∼ Poisson(3)
Buscando en la tabla acumulada de la Poisson de parámetro 3, se obtiene que
P (X10 ≤ 4) = 0.815263 [0.5 Ptos]
(b)
P (X60 ≤ 15 |X10 ≤ 1) =
P (X60 ≤ 15 ∩X10 ≤ 1)
P (X10 ≤ 1)
[0.3 Ptos]
=
P
(
X60 ≤ 15 ∩ (X10 = 0 ∪X10 = 1)
)
P (X10 ≤ 1)
[0.2 Ptos]
=
P
(
X60 ≤ 15 ∩X10 = 0
)
+ P (X60 ≤ 15 ∩X10 = 1))
P (X10 ≤ 1)
[0.2 Ptos]
=
P
(
X50 ≤ 15 ∩X10 = 0
)
+ P (X50 ≤ 14 ∩X10 = 1))
P (X10 ≤ 1)
[0.3 Ptos]
=
P (X50 ≤ 15)P (X10 = 0) + P (X50 ≤ 14)P (X10 = 1))
P (X10 ≤ 1)
[0.2 Ptos]
=
0.0497 · 0.568090
0.199148
+
0.149448 · 0.465654
0.199148
[0.3 Ptos]
= 0.4912182
(c) Sea Y : número de peŕıodos de 10 segundos que llegan al menos 5 pasajeros. Luego,
Y ∼ Binom(12, π), [0.2 Ptos] donde π = P (X10 ≥ 5) = 1 − P (X10 < 5) = 1 − 0.815263 =
0.184737 [0.5 Ptos]
P (Y > 1) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)
= 1− 0.81526312 − 12 · 0.81526311 · 0.184737 = 0.6793586 [0.8 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 5 Segundo Semestre 2017
(d) Sea Z: número de peŕıodos en la muestra que han llegado a lo más 2 pasajeros. Luego
Z ∼ Hipergeométrica(N = 40, n = 10,m = 15), [0.5 Ptos] de esta manera,
P (Z > 2) = 1− P (Z = 0)− P (Z = 1)−P (Z = 2) [0.5 Ptos]
= 1−
(
15
0
)(
25
10
)(
40
10
) − (151 )(259 )(40
10
) − (152 )(258 )(40
10
) [0.5 Ptos]
= 0.8250
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 6 Segundo Semestre 2017