Ayudantía 8 Enunciado

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Ayudantía Extra
Ayudante: Ignacio Ramírez Ponce
Correo: ilramirez@uc.cl
Tema I
Según la norma de producción, el peso de un artículo debe ser 2,5 Kilogramos, sin
embargo, debido a varios factores imponderables o estocásticos, el peso efectivo, es
𝑌 = 2,5 + 0,1𝑍 donde 𝑍 es una variable con distribución normal estándar.
A. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto tenga un peso superior a
2,65 Kg?
B. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto tenga una diferencia,
positiva o negativa de a lo más 196 gramos respecto del peso nominal?
Suponga ahora que 𝑍 tiene distribución log-normal con media 1,64 y varianza 4,67.
C. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto tenga un peso superior a
2,65 Kg?
D. ¿Cuál es el mínimo peso que debe tener un artículo, para que la proporción de
artículos con peso mayor a él no supere el 10%?
Repaso Conceptos Relacionados
Distribución Normal:
• Un variable aleatoria 𝑋 con distribución Normal (𝜇, 𝜎2) tiene como función densidad:
• 𝑓𝑥 𝑥 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
• Notación: 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2
• La distribución Normal se puede estandarizar considerando 𝜇 = 0 y 𝜎2 = 1
• Notación: 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
~𝑁 0,1
• La función de distribución acumulada se encuentra tabulada y se denota por 𝐹𝑥 𝑥 = Ф
𝑥−𝜇
𝜎
• Propiedad importante: Ф −𝑧 = 1 − Ф 𝑧
• 𝐸 𝑋 = 𝜇
• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2
Repaso Conceptos Relacionados
Distribución Log-Normal:
• Un variable aleatoria 𝑋 con distribución Log-Normal (λ, ζ2) tiene como función 
densidad:
• 𝑓𝑥 𝑥 =
1
2𝜋ζ2
𝑒
−
1
2
ln 𝑥−λ
ζ
2
con 𝑥 ≥ 0
• Notación: 𝑋~𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 λ, ζ2
• 𝐸 𝑋 = 𝑒
λ+
1
2
ζ2
• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜇𝑥 𝑒
ζ2 − 1
• Mediana: 𝑒λ
• Además, ln 𝑋 ~𝑁 λ, ζ2
A. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto 
tenga un peso superior a 2,65 Kg?
Nos piden calcular: 𝑃 𝑌 > 2,65
= 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 2,65 = 1 − 𝑃 2,5 + 0,1𝑍 ≤ 2,65
= 1 − 𝑃 0,1𝑍 ≤ 0,15 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1,5
= 1 − Ф 1,5
= 1 − 0,93319
= 0,06681
B. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto
tenga una diferencia, positiva o negativa de a lo más 196
gramos respecto del peso nominal?
Nos piden calcular: 𝑃 𝑌 − 2,5 ≤ 196/1000
= 𝑃 −0,196 ≤ 𝑌 − 2,5 ≤ 0,196
= 𝑃 −0,196 ≤ 0,1𝑍 ≤ 0,196
= Ф 1,96 − Ф −1,96
= Ф 1,96 − (1 − Ф 1,96 )
= 2Ф 1,96 − 1
= 2 × 0,975 −1
= 0,95
Primero hay que calcular los parámetros de la Log-
Normal (λ, ζ2): 
1,64 = 𝑒
λ+
1
2
ζ2
4,67 = 1,642 𝑒ζ
2
− 1
Despejando obtenemos:
ζ = ln
1,642 + 4,67
1,642
≈ 1
λ = ln(1,64) −
1
2
≈ 0
Suponga ahora que 𝑍 tiene distribución log-normal con media 1,64 y varianza
4,67.
C. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto tenga un peso
superior a 2,65 Kg?
Nos piden calcular: 𝑃 𝑌 > 2,65
= 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 2,65
= 1 − 𝑃 2,5 + 0,1𝑍 ≤ 2,65
= 1 − 𝑃 0,1𝑍 ≤ 0,15
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1,5
= 1 − 𝑃 ln 𝑍 ≤ ln 1,5 donde ln 𝑍 ~𝑁(0,1)
= 1 − Ф 0,405
= 1 − 0,6574
= 0,3426
Suponga ahora que 𝑍 tiene distribución log-normal con media 1,64 y varianza
4,67.
C. ¿Cuál es la probabilidad que una unidad del producto tenga un peso
superior a 2,65 Kg?
D. ¿Cuál es el mínimo peso que debe tener un artículo, para
que la proporción de artículos con peso mayor a él no
supere el 10%?
Definimos 𝑦0 como el mínimo peso que debe tener un artículo para que la
proporción de artículos con peso mayor a él no supere el 10%.
Nos piden calcular 𝑦0, entonces
𝑃 𝑌 ≥ 𝑦0 ≤ 0,1
𝑃 𝑌 < 𝑦0 ≥ 0,9
𝑃 2,5 + 0,1𝑍 < 𝑦0 ≥ 0,9
𝑃 𝑍 <
𝑦0 − 2,5
0,1
≥ 0,9
𝑃 ln 𝑍 < ln
𝑦0−2,5
0,1
≥ 0,9 donde ln 𝑍 ~𝑁(0,1)
D. ¿Cuál es el mínimo peso que debe tener un artículo, para
que la proporción de artículos con peso mayor a él no
supere el 10%?
𝑃 ln 𝑍 < ln
𝑦0 − 2,5
0,1
≥ 0,9
Ф ln
𝑦0 − 2,5
0,1
≥ 0,9
ln
𝑦0 − 2,5
0,1
≥ Ф−1(0,9)
𝑦0 ≥ 0,1 × 𝑒
Ф−1 0,9 + 2,5
𝑦0 ≥ 0,1 × 𝑒
1,28 + 2,5
𝑦0 ≥ 2,859664
Tema II
La longitud W en milímetros de los artículos que produce un tipo de máquina del
tipo A tienen una distribución Normal con media 100 y desviación estándar 5, y la
longitud Y de los artículos que produce una máquina del tipo B, distribuyen
normal con media 120 y desviación estándar 10.
Si se extraen, independientemente un artículo del tipo A y otro del tipo B.
A. Calcule la probabilidad que uno de los artículos tenga una longitud menor a 95
milímetros y el otro una longitud mayor de 105.
Para realizar una extracción aleatoria, primero se lanza un dado balanceado y si el
resultado es uno o seis, se extrae un artículo que produce la máquina tipo A, en
caso contrario se extrae un artículo que produce la máquina del tipo B. Defina
como X a la longitud de artículo extraído.
B. Calcule la probabilidad de que la longitud del artículo sea menor a 110
milímetros.
C. Determinar la función de densidad de X.
Repaso Conceptos Relacionados
Distribución Normal:
• Un variable aleatoria 𝑋 con distribución Normal (𝜇, 𝜎2) tiene como función densidad:
• 𝑓𝑥 𝑥 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
• Notación: 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2
• La distribución Normal se puede estandarizar considerando 𝜇 = 0 y 𝜎2 = 1
• Notación: 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
~𝑁 0,1
• La función de distribución acumulada se encuentra tabulada y se denota por 𝐹𝑥 𝑥 = Ф
𝑥−𝜇
𝜎
• Propiedad importante: Ф −𝑧 = 1 − Ф 𝑧
• 𝐸 𝑋 = 𝜇
• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2
Repaso Conceptos Relacionados
Distribución Log-Normal:
• Un variable aleatoria 𝑋 con distribución Log-Normal (λ, ζ2) tiene como función 
densidad:
• 𝑓𝑥 𝑥 =
1
2𝜋ζ2
𝑒
−
1
2
ln 𝑥−λ
ζ
2
con 𝑥 ≥ 0
• Notación: 𝑋~𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 λ, ζ2
• 𝐸 𝑋 = 𝑒
λ+
1
2
ζ2
• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜇𝑥 𝑒
ζ2 − 1
• Mediana: 𝑒λ
• Además, ln 𝑋 ~𝑁 λ, ζ2
A. Calcule la probabilidad que uno de los artículos tenga
una longitud menor a 95 milímetros y el otro una
longitud mayor de 105.
Definimos,
• W= Longitud en milímetros de los artículos que produce un tipo de máquina del tipo A.
• Y= Longitud en milímetros de los artículos que produce un tipo de máquina del tipo B.
Por enunciado,
• 𝑊~𝑁(100, 52)
• Y~𝑁(120, 102)
Lo que nos piden es:
𝑃 𝑊 < 95 ∩ 𝑌 > 105 ∪ 𝑊 > 105 ∩ 𝑌 < 95
A. Calcule la probabilidad que uno de los artículos tenga
una longitud menor a 95 milímetros y el otro una
longitud mayor de 105.
𝑃 𝑊 < 95 ∩ 𝑌 > 105 ∪ 𝑊 > 105 ∩ 𝑌 < 95
𝑃 𝑊 < 95 𝑃 𝑌 > 105 + 𝑃 𝑊 > 105 𝑃 𝑌 < 95
𝑃 𝑍 <
95 − 100
5
𝑃 𝑍 >
105 − 120
10
+ 𝑃 𝑍 >
105 − 100
5
𝑃 𝑍 <
95 − 120
10
𝑃 𝑍 < −1 𝑃 𝑍 > −1,5 + 𝑃 𝑍 > 1 𝑃 𝑍 < −2,5
Ф −1 1 − Ф −1,5 + 1 − Ф 1 Ф −2,5
1 − Ф 1 1 − 1 − Ф 1,5 + 1 − Ф 1 1 − Ф 2,5
0,1587 × 0,9332 + 0,1587 × 0,0062
0,14908278
• Sea X la longitud del artículo extraído.
• Nos piden: 𝑃 𝑋 < 110
= 𝑃 𝑋 < 110 𝑊 𝑃 𝑊 + 𝑃 𝑋 < 110 𝑌 𝑃 𝑌
= 𝑃(𝑊 < 110) ×
2
6
+ 𝑃(𝑌 < 110) ×
4
6
= 𝑃(𝑍 <
110−100
5
) ×
2
6
+ 𝑃(𝑍 <
110−120
10
) ×
4
6
= Ф 2 ×
2
6
+ Ф −1 ×
4
6
= 0,9772 ×
2
6
+ (1 − 0,8413) ×
4
6
= 0,4315ത3
Para realizar una extracción aleatoria, primero se lanza un dado balanceado y si el resultado
es uno o seis, se extrae un artículo que produce la máquina tipo A, en caso contrario se extrae
un artículo que produce la máquina del tipo B. Defina como X a la longitud de artículo
extraído.
B. Calcule la probabilidad de que la longitud del artículo sea menor a 110 milímetros.
C. Determinar la función de densidad de X.
Del ejercicio anterior:
𝐹𝑥 𝑥 = 𝐹𝑤 𝑥 × 𝑃 𝑤 + 𝐹𝑦 𝑥 × 𝑃(𝑌)
𝐹𝑥 𝑥 = Ф
𝑥 − 110
5
×
2
6
+Ф
𝑥 − 120
10
×
4
6
Luego derivamos por x para obtener la función densidad:
𝑓𝑥 𝑥 = ф
𝑥 − 110
5
×
2
6
×
1
5
+ ф
𝑥 − 120
10
×
4
6
×
1
10
𝑓𝑥 𝑥 = ф
𝑥 − 110
5
×
1
15
+ ф
𝑥 − 120
10
×
1
15
𝑓𝑥 𝑥 =
1
15
× ф
𝑥 − 110
5
+ ф
𝑥 − 120
10
𝑓𝑥 𝑥 =
1
15
×
1
2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−110
5
2
+
1
2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−120
10
2