Ayudantia4_2009_2

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Teorı́a Microeconómica I
Ayudantı́a IV
Viernes 4 de Septiembre del 2009
1) En una economı́a con dos bienes y dos consumidores de preferencias idénticas, representadas por
U i = máx(xi, yi) i = 1, 2
a) Encuentre qué puntos pueden ser óptimos paretianos cuando la cantidad total de ambos bienes es igual (x = y)
Si la cantidad es igual, el problema es idéntico al hecho por Christian en la ayudantı́a 3. De este modo, los únicos óptimos
paretianos son los puntos (x,0) y (0,y), como se muestra en la siguiente figura
Figura 1: Los puntos rojos son los OP
Ahora suponga que las cantidades totales de ambos bienes no son iguales, tales que x = ay, con a 6= 1.
b) Encuentre los óptimos paretianos cuando a > 2, a < 2 y a = 2 (un análisis gráfico basta)
La respuesta para estos casos se muestra en los siguientes gráficos.
La intuición en cada caso es simple. Para resolverlo basta ponerse en un caso representativo para cada segmento de la caja y ver
si para ese tipo de asignaciones existe posibilidad de mejorar a un individuo sin empeorar al otro. Si no es ası́, entonces estamos
en un óptimo paretiano. Fácil fácil.
1
Figura 2: a < 2. Los puntos rojos son OP.
Figura 3: a=2. Los puntos rojos y la recta son OP.
Figura 4: a > 2. Los puntos rojos y el área roja son OP.
2) Considere una economı́a en la que hay n unidades del bien de consumo x y m unidades del bien y, con n > m. Las
preferencias de los consumidores están representadas por
UA = mı́n(xA, yA)
UB = 3xB + βyB
a) Describa el conjunto de óptimos paretianos cuando β 6= 0, β 6=∞.
2
En este caso las curvas de indiferencia son una tı́pica de proporcioens fijas y otra recta con pendiente definida y no nula. De
este modo la curva de contrato es (como es generalmente cuando existen funciones mı́nimo) la recta que se muestra.
Figura 5: La recta roja representa la curva de contrato. El resto son las curvas de ind. de ambos individuos.
b) Describa el conjunto de óptimos paretianos cuando β → 0 (o sea que tiende a cero)
En este caso lo único que cambia es que al individuo 2 sólo le importa el consumo del bien 1, de modo que existen más óptimos
paretianos, en los cuales “se pelean” por el bien 1 y por lo tanto no se puede mejorar a uno sin desmejorar al otro.
Figura 6: Todo el segmento rojo es OP.
c) Describa el conjunto de óptimos paretianos cuando β →∞
Este es el caso opuesto, en el lı́mite sólo le importa el bien 2, por lo que ocurre lo contrario. De ahı́ que el gráfico sea similar
pero en sentido opuesto al anterior.
3
Figura 7: Todo el segmento rojo es OP.
d) Explique el por qué de este resultado, basándose en las preferencias de los individuos.
Creo que aquı́ lo importante es que en uno u otro caso el individuo no valora uno de los bienes, por lo que la única forma de
mejorar en algunas situaciones es quitándole utilidad al otro. Por esto es que se “amplı́a” el conjunto de óptimos paretianos en
ambas situaciones.
3) Considere una economı́a de intercambio con dos consumidores A y B, cuyas preferencias se representan por las funciones
de utilidad
uA(xA1 , x
A
2 ) =
1
2
xA1 x
A
2
uB(xB1 , x
B
2 ) = x
B
1 x
B
2
Estos individuos tienen dotaciones wA = (100, 0) y wB = (0, 200).
a) Cuál es el equilibrio competitivo (precio y asignación de equilibrio) de esta economı́a?
Acuérdense acá que lo importante es la simetrı́a de ambas utilidades y cómo el resultado al que llegamos es de asignaciones de
equilibrio iguales. Importa que una utilidad esté multiplicada por 12? (hint: no.)
b) Demuestre que la asignación obtenida en (a) es pareto eficiente.
Varias formas de demostrar esto:
i) Encontrar la curva de contrato haciendo TMSSi = TMSSj y encontrando la ecuación de la curva (puede ser complejo
matemáticamente para otro tipo de funciones de utilidad).
ii) Maximizar la utilidad de un individuo sujeto a que la utilidad del otro sea mayor o igual al nivel encontrado como EW, y ver
que la ecuación resultante cumple con las asignaciones de equilibrio.
iii) Maximizar la suma ponderada de utilidades de los individuos sujeto a la condición de factibilidad. En este caso el “regu-
lador” que elige las cantidades que serán pareto eficientes quiere hacer lo mejor para la sociedad como un todo, por esto siempre
4
que pueda mejorar a uno sin empeorar a otro individuo lo hará (lo cual es la definición de OP)
4) Considere una economı́a en la que hay 50 unidades del bien 1 y 100 unidades del bien 2 para repartir entre los consumidores
A y B, cuyas preferencias son representadas por
uA = mı́n(xA1 , x
A
2 )
uB = xB1 + lnx
B
2
a) Encuentre el conjunto de asignaciones eficientes, o curva de contrato.
Como no se puede igualar la utilidad de ambos individuos, entonces hay que maximizar la ut. de uno sujeto a que la del otro es
mayor a una cierta cantidad. Sugiero maximizar la utilidad de B sujeto a la de A, la intuición económica queda mejor expresada.
b) Verifique que si las dotaciones iniciales son wA = (0, 100) y wB = (50, 0) se alcanza un equilibrio walrasiano a los precios
p1
p2
= 99.
Encontrar el EW y comprobar que el precio relativo es tal.
c) Enuncie el primer teorema del bienestar. Se cumple en este caso?
Bajo ciertas condiciones (no hay bienes públicos ni externalidades, competencia perfecta, no hay monopolio, información per-
fecta y completa) todo EW es un OP. En este caso se tiene que cumplir, y se cumple pues la asignación de EW encontrada
cumple con la ecuación de la curva de contrato.
d) Enuncie el segundo teorema del bienestar. Encuentre todas las asignacionas iniciales que sostienen el anterior WEA.
Pertenece la dotación de (b) a este conjunto?
El STB nos dice que todo OP es alcanzable como EW dado siempre y cuando realice algún traspaso de bienes de un individuo
al otro. De hecho, existen infinitas asignaciones iniciales que sostienen a cada EW, sobre la misma recta de precios del EW,
pues sobre esa recta los individuos pueden transar libremente a los precios de mercado (que son los de equilibrio)
5) Considere una economı́a con 2009 consumidores y dos bienes. El consumidor 1337 tiene preferencias perfectamente repre-
sentadas por la siguiente función:
U1337(x1337, y1337) = (x1337)
5
6 (y1337)
1
6
Encuentre la cantidad consumida por el individuo 672, que tiene una dotación de (30, 20) y una función de utilidad
U672(x672, y672) = (x672)
1
4 (y672)
3
4
si el individuo 1337 consume en equilibrio la canasta (35, 14).
La idea de este ejercicio es probar que ustedes sepan que, pese a que pueden haber 2009 individuos en la economı́a (o más) en
equilibrio para todos se tiene que cumplir que(
UMgx
UMgy
)
i
=
(
UMgx
UMgy
)
j
=
px
py
5
De este modo para el individuo 1337 (
UMgx
UMgy
)
1337
= 5
y
x
=
px
py
y como en equilibrio consume (x, y) = (35, 14) entonces reemplazando en esta ecuación tenemos
px
py
= 5 · 14
35
= 2
Y ahora podemos resolver la maximización de utilidad para el individuo 672 con estos precios, o bien aprovecharnos de que su
TMSS debe ser igual a la razón de precios y decir que(
UMgx
UMgy
)
1337
=
1
3
y
x
= 2
entonces y = 6x y metiendo esto en la restricción presupuestaria tenemos que
x · 2 + y · 1 ≤ 30 · 2 + 20 · 1⇒ 2x+ (6x) = 80
por lo tanto (x, y) = (10, 60).
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