Der_Parc_y_Diferencial(4)

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1
Diferenciación
Definición. (Derivadas direccionales)
Sea RR �� nDf : , D abierto, Dx �0 y sea û una
dirección en nR tal que 1ˆ �u . Se define la derivada
direccional de f en 0x y en la dirección û , se denota
� �0ˆ
x
u
f
�
� , mediante
� �0ˆ
x
u
f
�
� = � � � �
t
xfutxf
t
00
0
ˆlim 	
�
si el límite existe
2
Ejemplos
Calcular � �0,0
û
f
�
� , donde � ��� sin,cosˆ �u , [2,0[ �� � y f esta 
definida por: 
1. � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
2
yx
yx
yx
xy
yxf
2. � �
�
�
�
�
�
�
0,0
0,
,
2
2
2
2
yx
yx
yx
y
yxf
3
Nota: � �0ˆ xu
f
�
� se interpreta como la razón de cambio de � �xf en 
el punto 0x y en la dirección de û
Ejercicio. Calcular � �0,0
û
f
�
� si û es la dirección del vector que 
va desde � �0,0 a � �2,1 y 
� �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
yx
yx
yx
x
yxf
Además, calcular � �0,0
û
f
�
� cuando � �0,1ˆ �u y cuando � �1,0ˆ �u
4
Definición. (Derivada Parcial)
 Sea RR �� nDf : , D abierto, D�0x y sean neee ˆ,,ˆ,ˆ 21 �
vectores unitarios de la base canónica para nR . Se defina la 
derivada parcial de f en 0x respecto de la i-esima 
coordenada ix , lo que denotamos con � �0xx
f
i�
� , mediante 
� �0xx
f
i�
� = � � � �
h
xfehxf i
h
00
0
ˆlim 	
�
si el límite existe. 
Obs. Notar que � �0xx
f
i�
� = � �0ˆ xe
f
i�
� .
 Así, � �0xx
f
i�
� representa la razón de cambio de f en 0x según la 
dirección del eje iX
5
Ejemplos.
1) Calcular � �0,0
x
f
�
� y � �0,0
y
f
�
� , si existen, cuando: 
� �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
yx
yx
yx
xy
yxf
2) RR �� nDf : , tal que � � kxxf � , k fijo. Pruebe que
� �0xx
f
i�
� = 

�
�
�
�
�
ki
ki
,0
,1
6
Obs.
a) Desde (1) se observa que las derivadas parciales � �0xx
f
i�
�
pueden existir y sin embargo f no ser continua en 0x .
b) Si RR �� 2: Df , D abierto y � � Dyx �0,0 , entonces: 
i. � �00 , yxx
f
�
� = � � � �
h
yxfyhxf
h
0000
0
,,lim 	
�
ii. � �00 , yxy
f
�
� = � � � �
h
yxfhyxf
h
0000
0
,,lim 	
�
c) (Notación) � � �
not
x xf i 0 � �0xx
f
i�
�
7
Ejercicio. Sea f definida por 
� � �yxf , � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
2
yx
yx
yx
xxy
yxf
i. Estudiar la continuidad de f en 2R .
ii. Estudiar la existencia de � �0,0xf , � �0,0yf , � �0,1xf , � �0,1yf
Nota.
Si f admite derivada parcial con respecto ix en un punto 0X ,
entonces para calcular � �0Xx
f
i�
� se puede considerar f como 
función solo de la variable ix , mientras que las restantes variables 
se consideran parámetros. 
8
Propiedades de las Derivadas Parciales. 
Sean RR �� nDgf :, , si 
ix
f
�
� y 
ix
g
�
� existen en un punto 0X
de D, se tiene: 
a) )()()(
)(
000 Xx
gX
x
fX
x
gf
iii �
�
�
�
�
�
�
b) )()()()())(( 0000 XgXx
fX
x
gPfXgf
x iii �
�
�
�
�
�
�
c) )()())(( 0010 Xx
fXkfXf
x i
kk
i �
�
�
� 	� , N�k fijo
d) 2
0
000
0 ))((
)()()()(
))((
Xg
X
x
gXfX
x
fPg
X
g
f
x
ii
i
�
�
�
�
�
�
	
� .
9
Consecuencia:
a) Si P en una función polinómica definida en nR ,
entonces P admite derivada parcial con respecto a cada ix ,
},,2,1{ ni �� y en cada �0x nR .
b) Si Q en una función racional definida en nD R� ,
entonces Q admite derivada parcial con respecto a cada ix ,
},,2,1{ ni �� y en cada �0x D.
10
Ejemplo.
Calcular � �00 , yxx
f
�
� , � �00 , yxx
f
�
� cada una de las siguientes
derivadas parciales: 
a) � � � � � �4,1,, 0,02 �� yxyxyxf
b) � � � � � �2,1,
2
, 0,02
22
	�
	
� yx
yx
yyxyxf
11
Ejemplo. Sea � � yyxyxf 
� 2, , � �2,1�P .
Calcular � �P
x
f
�
� y � �P
y
f
�
�
12
Función derivada parcial de primer orden
Sea RR �� nDf : , D abierto, y supongamos 
que f admite derivada con respecto a la k-esima 
coordenada kx en cada punto 0X de H, DH � . Se define
la función derivada parcial primera (o derivada parcial
de primer orden) como la función
R�Hf
kx
: , � �00 Xx
fX
k�
�
�
13
Ejemplo:
Calcular � �yx
x
f ,
�
� y � �yx
y
f ,
�
� donde
a) � � ,, 2
2
yx
xyxyxf
� 02 �
 yx
b) f definida por � � ,1, 2 yxyxf 
� 01 2 �
 yx
14
Interpretación Geométrica de las Derivadas Parciales.
� Si ),(,: 0002 yxPDf ��� RR , entonces )( 0Px
f
�
� es la pendiente 
de la recta tangente a la curva ),( 0yxfx � en el punto 0xx � .
� Análogamente para )( 0Py
f
�
� .
15
Idea gráfica 
16
Derivadas Parciales de Orden Superior. 
Sea RR �� nDf : una función tal que )(
i
x
x
f
�
� existe para 
cada Dx� .
Si 
ix
f
�
� admite derivada parcial con respecto a jx en un 
punto P de H se denota con )(
2
P
xx
f
ij��
� y se llama Derivada
Parcial Segunda de f con respecto a las variables ji xx , en el 
punto P .
Es decir,
))(( P
x
f
x ij �
�
�
� = )(
2
P
xx
f
ij��
�
17
Notas:
a) En forma análoga se definen las derivadas parciales de 
orden superior.
b) � �P
xx
f
ji��
� 2 =
� � � �
h
PfehPf
jj xix
h
	
�
ˆ
lim
0
c) Notaciones:
i. � �P
xx
f
ji��
� 2 = � �Pf
ij xx
ii. � �P
xx
f
ii��
� 2 = � �P
x
f
i
2
2
�
� = � �Pf
ii xx
iii. � �P
xx
f
ij
2
3
��
� = � �Pf
jii xxx
18
Ejemplo.
Sea � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
2
yx
yx
yx
xy
yxf
Calcular, donde existan,
� �yxf x , , � �yxf y , , � �yxf xy , , � �yxf xx , , � �yxf yy ,
19
Ejercicio
Sea � � �yxf , � �
�
�
�
�
�
�
0,0
0,2
,
2
yx
yxx
yx
x
yxf
Calcular � �yxf x , , � �yxf y , , � �yxf xy , , � �yxf xx , , � �yxf yy , en cada 
� �yx, de 2R donde existan.
20
Funciones de Clase C1, C2, C3,..., �C .
Definicion:
Sea RR �� nDf : , y sea N�k . Se dice que f es de clase
kC , lo que indicaremos con kCf � , si f posee derivadas, 
continuas todas, hasta el orden k sobre D.
Notas.
(a) DfCf D sobrecontinua
0 ��
(b) Se dice que f es de clase �C si para todo k en f,N es de 
clase Ck.
(c) Si f es una función polinómica ( racional) sobre un 
abierto D de nR entonces ��Cf
21
Ejemplo
Sea
� �

�
�
�
�
�
�
yx
yx
yx
x
yxf
,0
,,
2
Calcular � �2,1yxf , � �2,1xyf
22
Respuesta
� �
� �2
2
,
yx
xyx
y
f
	
�
�
� � �
� �3
2 2,
yx
xyyx
yx
f
	
�
��
�
Así, � �
27
42,1
2 	
�
��
�
yx
f
Por otro lado,
� �
� �2
2 2,
yx
xyxyx
x
f
�
�
� � �
� �3
2 2,
yx
xyyx
xy
f
	
�
��
�
Así, � �
27
42,1
2 	
�
��
�
xy
f
23
Ejercicio.
� �
� � � � � �
� � � �
�
�
�
�
�
	
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
22
yx
yx
yx
yxxy
yxf
Pruebe que � � 10,0 	�xyf y � � 10,0 �yxf
24
Respuestas
� � � � � �
h
fhff xx
hxy
0,0,0lim0,0
0
	
�
�
Como,
� �0,0xf = 
� � � � 00,00,lim
0
�
	
� k
fkf
k
Para � � � �0,0, �yx , � � � �� �222
4224 4,
yx
yyyxxyxfx 
	
�
 � � hhf x 	�,0
Luego,
 � � 10lim0,0
0
	�
		
�
� h
hf
hxy
25
Por otro lado,
� � � � � �
h
fhf
f yy
hyx
0,00,
lim0,0
0
	
�
�
Como,
� �0,0yf = 
� � � � 00,0,0lim
0
�
	
� k
fkf
k
Para � � � �0,0, �yx , � � � �� �222
4224 4,
yx
xyyxxyxf y 
		
�
 � � hhf y �0,
Luego,
 � � 10lim0,0
0
�
	
�
� h
hf
hxy
26
Teorema de Schwarz.
Si RR �� nDf : es tal que en una vecindad de un punto P
de D,
ix
f
�
� ,
jx
f
�
� ,
ji xx
f
��
� 2 y
ij xx
f
��
� 2 existen y son continuas,
entonces se verifica: 
)()(
22
P
xx
fP
xx
f
ijji ��
�
��
�
� .
27
Derivadas parcial de una función vectorial
Definicion:
Sea mnDf RR ��: , D abierto, DP �0 . Se define la derivada 
parcial de f con respecto ix en 0P , lo que se denota )( 0
i
P
x
f
�
� ,
mediante
)( 0
i
P
x
f
�
� =
h
PfehPf i
h
)()ˆ(lim 00
0
	
�
Nota: Observar que mnDf RR ��: ,
luego
)( 0
i
P
x
f
�
� = � � � � � ���
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
00
2
0
1 ,,, P
x
fP
x
fP
x
f
i
m
ii
�
28
Ejemplo.
a) Sea f la función vectorial definida por
� � �
�
�
�
�
�
�
yx
xy
yx
yxyxf 2
2
,, , 0,0 2 �
�
 yxyx
Calcular � �yx
x
f ,
�
� y � �yx
y
f ,
�
�
b) Sea f la funciónvectorial definida por
� � �
�
�
�
�
�
� yz
yx
xyyxzyxf 22
2 ,,,, , 02 �
 yx
Calcular � �yx
x
f ,
�
� , � �yx
y
f ,
�
� y � �yx
z
f ,
�
�
29
Diferencial de una Función en nR
Definición:
Sea mnDf RR ��: , D un abierto, y DP0 � .
Se dice que f es diferenciable en 0P si existe una aplicación 
lineal mnL RR �: tale que: 
��
		
�
� h
hLPfhPf
nh
h
)()()(lim 00
0
R
.
30
Ejemplo.
Pruebe que la función f definida por
� �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
2
yx
yx
yx
xy
yxf
Es diferenciable en � �0,0 y que � � ��yxL ,
31
Notas
i. (Unicidad) La aplicación L de la definición anterior, si 
existe, es única. Se denomina Diferencial de f en 0P y
se denota con fdP0 .
Ejemplos.
1. La función f definida por � � kxf � , con mk R� ,
es diferenciable en cada nP R�0 y ��fd P0
2. Si � �mng RR ,L� entonces g es diferenciable en
cada nP R�0 y ggdP �0 .
32
ii. Si mnDf RR ��: es diferenciable en 0x , entonces f tiene 
una buena aproximación afín B en vecindades V de 0x , dada 
por:
)(..................)()()()( 000 �	
� xxxdfxfxB
Nota.
Para una función RR ��: 2Af diferenciable en P0 el gráfico 
de la buena aproximación afín de f en P0 corresponde al plano 
tangente a la superficie de ecuación ),( yxfz � en ))(,( 00 PfP .
33
Teorema:
Si mnDf RR ��: es diferenciable en P0, entonces f es 
continúa en P0.
Obs:
1. f es diferenciable f� continua. 
2. f no continua f� no diferenciable.
3. f continua f�� diferenciable. 
34
Ejemplo. La función f definida por
� �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
yx
yx
yx
xy
yxf
No es continua en � �0,0 , luego no es diferenciable allí. 
35
Teorema.
Sea mnDf RR ��: , D abierto, Dx �0 .Si f es 
diferenciable en 0x entonces las derivadas parciales )( 0
i
x
x
f
�
�
existen para cada � ni ,,1 �� y se verifica: 
� �ix efdxx
f
0
)( 0
i
�
�
�
Donde � neee ˆ,,ˆ,ˆ 11 � base canónica de nR .
36
Notas:
1. El reciproco del teorema es falso. 
Ejemplo. � � � � � �;0,0,,, 22 �
� yx
yx
xyyxf � � 00,0 �f
2. Si )( 0
i
x
x
f
�
� no existe para algún i, � ni ,,2,1 �� , entonces
f no es diferenciable en 0x
Ejemplo. � � � � � �0,0,,,
22
2/3
�
� yx
yx
xyxf ; � � 00,0 �f es 
continua en � �0,0 y )0,0(
x
f
�
� no existe. 
Luego, f no es diferenciable en � �0,0 .
37
Matriz Jacobiana. 
 
Def. Sea mnDf RR ��: diferenciable en un punto P0
de D. Se llama Matriz Jacobiana de f en P0, a la
matriz de la aplicación lineal mnP fd RR �:0 , con
respecto a las bases canónicas de nR y mR .
A la matriz Jacobiana de f en P0 la indicaremos con J� �0, Pf
38
Nota: Como para cada � ni ,,2,1 �� se verifica: 
� �iP efdPx
f
0
)( 0
i
�
�
�
entonces la matriz ! "fdP0 de la aplicación lineal fdP0 esta dada 
por
 
J� �0, Pf = 
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
)()(
)(
)()()(
0
n
0
1
0
1
2
0
n
1
0
2
1
0
1
1
P
x
fP
x
f
P
x
f
P
x
fP
x
fP
x
f
mm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
��
�
39
Observación.
1. Si f es diferenciable en 0x , entonces 
� � � �xxfJxfdx 0,0 �
2. Si � � ��		
�
� h
hxfJxfhxf
nh
h
)(,)()(lim 000
0
R
, entonces 
 f no es diferenciable en 0x
40
Ejemplo.
Sea � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
22
32
yx
yx
yx
yx
yxf
Estudie la diferenciabilidad f en � �0,0 .
41
Ejercicio.
1. Sea � �
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
	
	
�
yx
yx
yx
yx
yxf
,0
,1sin
,
2
a) Calcule, si existen, )0,0(
x
f
�
� y )0,0(
y
f
�
� .
b) ¿Es f diferenciable en )0,0( ?.
c) ¿ Es f continua en )0,0( ?.
d) ¿
x
f
�
� y
y
f
�
� son continuas en )0,0( ?
42
2. Sea � �
� �
� �
�
�
�
�
�
	
	
�
yx
yx
yxx
yxx
yxf
,0
,
,
22
2
a) ¿Es f continua en � �0,0 ?
b) Calcule, si existen, )0,0(
x
f
�
� y )0,0(
y
f
�
� .
c) ¿Es f diferenciable en )0,0( ?
d) ¿
x
f
�
� y
y
f
�
� son continuas en )0,0( ?
e) Calcule � �0,0
2
xy
f
��
� y � �0,0
2
yx
f
��
� .
43
3. Sea � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
42
2
yx
yx
yx
xy
yxf
a) ¿Es f continua en � �0,0 ?
b) Calcule, si existen, )0,0(
x
f
�
� y )0,0(
y
f
�
� .
c) ¿Es f diferenciable en )0,0( ?
d) ¿
x
f
�
� y
y
f
�
� son continuas en )0,0( ?
e) Calcule � �0,0
2
xy
f
��
� y � �0,0
2
yx
f
��
� .
44
Sea � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,,0
0,0,,
,
yx
yx
yx
xy
yxf
f) ¿Es f continua en � �0,0 ?
g) Calcule, si existen, )0,0(
x
f
�
� y )0,0(
y
f
�
� .
h) ¿Es f diferenciable en )0,0( ?
i) ¿
x
f
�
� y
y
f
�
� son continuas en )0,0( ?
j) Calcule � �0,0
2
xy
f
��
� y � �0,0
2
yx
f
��
� .
45
Definición. Sea mnDf RR ��: , DH � . Diremos que f es 
diferenciable en H si es diferenciable en cada Hx �0 .
Teorema. Sea mnDf RR ��: , DH � , y � �mffff ,,, 21 �� .
Si cada una de las derivadas parciales 
j
i
x
f
�
� , � nj ,,2,1 ��
e � mi ,,2,1 �� , son continuas sobre el abierto H
entonces f es diferenciable en H.
Notas
a) fCf H �� 1 diferenciable en H
b) Reciproco no es válido 
46
Ejemplo. Si RR �� 2: Df , � � � �221, yxyxf 
	� con
1: 22 #
 yxD , entonces f es diferenciable en D
Teorema. . Sea mnDf RR ��: , Dx �0 , y
� �mffff ,,, 21 �� . Entonces: 
f diferenciable en 0x � cada jf es diferenciable en 0x
Ejemplo: Sea � �
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� 
�
0,,0
0,,1sin
,
22
22
xyx
xyx
x
x
yxf ;
Determine todos los puntos en 2R donde f es diferenciable. 
47
Gradiente y derivada direccional
Def. (Gradiente) Sea RR �� nDf : , D abierto,
diferenciable en D. Se define la función gradiente
de f en D, f$ , como la función vectorial: 
nDf R�$ : , � � � � � � � ���
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�$ x
x
fx
x
fx
x
fxf
n
,,,
21
�
Ejemplo: Para � � 222,, zyyxzyxf 
� y � �1,2,10 	�P
calcular � �0Pf$ .
48
Observación.
a) Por notación, )(xfgrad = � �� �xf$
b) f diferenciable en 0x � � � � � hxfhfd x %$� 00 .
Propiedades
Sea RR �� nDgf :, , D abierto, diferenciable en D.
Entonces, Dx�&
a) � �� � � �� � � �� �xgxfxgf $
$�
$ '''
b) � �� � � � � �� � � � � �� �xgxfxfxgxgf $
$�$ 0
c) � �
� � � �� � � � � �� �� �
� � 20 ][ xg
xfxfxfxgx
g
f $	$
��
�
�
�
�
�$
49
Teorema.
Sea RR �� nDf : , D abierto. Si f es diferenciable en 
Dx �0 , entonces � �0ˆ
x
u
f
�
� existe para cada dirección û en nR , y 
verifica:
� �0ˆ
x
u
f
�
� = � �� � uxf ˆ0 %$
Ejemplo. Si � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
0,0,'0
0,0,,2
,
22
yx
yx
yx
xy
yxf Calcular � �0ˆ
x
u
f
�
�
en la dirección �
�
�
�
�
��
2
2,
2
2û en los puntos (1, 1) y (0,0)
50
Teorema:
Sea RR �� nDf : , D abierto y supongamos además que f
es diferenciable en Dx �0 , entonces la derivada direccional
� �0ˆ
x
u
f
�
� es máxima en la dirección del vector gradiente � �0xf$ ,
y se verifica
� � � �0
max
0ˆ
xfx
u
f
$�
�
� ,
con � �
� �0
0ˆ
xf
xfu
$
$
� .
51
Ejemplo.
Si � � zxxyzyxzyxf 	
� 222,, , � �1,2,10 �P
a) Calcule � �0ˆ
P
u
f
�
� , � �0,1,1 	�u�
b) ¿En que dirección es máxima la derivada 
direccional de f en 0P ?
52
Regla la Cadena 
Teorema:(Regla de la cadena o diferencial de la función compuesta).
Sean mnGg RR ��: es diferenciable en Gx �0
 pmHf RR ��: es diferenciable en )( 0xg ,
entonces:
pngf RR �:� es diferenciable en 0x
y se verifica: 
gdfdgfd xxgx 000 )()( �� �
53
Nota.
Bajo las condiciones de hipótesis del teorema 
J� �0, xgf � = J � �� �0, xgf J� �0, xg 
Así, si hacemos h = gf � , � �xgy � ,
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
)()(
)(
)()(
0
n
0
1
0
1
2
0
n
1
0
1
1
x
x
h
x
x
h
x
x
h
x
x
hx
x
h
pp
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
 = 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
p
pp
m
y
f
y
f
y
f
y
f
�
���
�
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
n
mm
n
g
g
x
g
x
g
x
g
�
���
�
1
1
1
1
54
Casos Particulares: 
(a) Si � �yxfw ,�define una función diferenciable, y 
supongamos que x e y son funciones diferenciables de la 
variable real t, entonces w es una función diferenciable 
de t y se verifica : 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dw
�
�
�
�
�
Ejemplo: Si xyw � , donde tx cos� , ty sin� . ¿Cuál es el 
valor de la derivada � �2/�w( ? 
Observaciones. Si � �zyxfw ,,� , en donde x , y, z son 
funciones diferenciables de la variable real t, entonces w es 
una función diferenciable de t y se verifica : 
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dw
�
�
�
�
�
�
�
55
(b) Si � �zyxfw ,,� define una función diferenciable, y
supongamos que x, y, z son funciones diferenciables de las
variables r, s, entonces w es una diferenciable de r, s, y se
verifica : 
r
z
z
f
r
y
y
f
dr
x
x
f
r
w
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
s
z
z
f
s
y
y
f
ds
x
x
f
s
w
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Ejemplo
Sea 22 zyxw 
� , donde
s
rx � , sry ln2 
� , rz 2� .
Calcular
r
w
�
� y
sr
w
��
� 2
56
Ejercicios
1.Sabiendo que 22 yxw 
� , srx 	� , sry 
�
Calcular
r
w
�
� y
s
w
�
� .
2. Sea RR �:f una función derivable y suponga que 
�
�
�
�
�
� 
�
xy
yxfxyz
Pruebe que
� �zyx
y
zy
x
zx 	�
�
�
	
�
� 22
57
3.
 Sea � �yxfh ,� , donde � � � � 0,, �
 yxfyxf yyxx y
�cosrx � , �sinry �
Pruebe que
011 2 �
 ��hr
h
r
h rrr
4. Sea � �xfw � y suponga que � �srgx ,� . Pruebe que
r
x
dx
df
r
w
�
�
�
�
� y
s
x
dx
df
s
w
�
�
�
�
�
____________________