Electro

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Universidad Andrés Bello
Electromagnetismo
Luis Alvarez Thon
Edición 2014
FMF-241
L U I S A LVA R E Z T H O N
E L E C T R O M A G N E T I S M O
F M F - 2 4 1 ( 2 0 1 4 )
D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A S
U N I V E R S I D A D A N D R É S B E L L O
© 2014 Luis Alvarez Thon
This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.
Contenido
1. Matemáticas del curso 9
1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Integrales especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Teoremas integrales importantes . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6. Operadores en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . 38
2. Electrostática 43
2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3. Principio de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.8. Aplicaciones de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 84
3. El potencial electrostático 93
3.1. Significado físico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2. Potencial eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 95
3.3. Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga . . 96
3.4. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6. Cálculo del potencial por integración . . . . . . . . . . . . 101
3.7. Las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . 104
3.8. Conexión entre el campo eléctrico, el potencial eléctrico y
la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.9. El momento dipolar eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.10. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.11. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.12. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4. Corriente eléctrica 141
4.1. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5. Conexión de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6. Dieléctricos imperfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7. Densidad de corriente en régimen permanente . . . . . . . 153
4.8. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.9. El método de las mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 luis alvarez thon
4.10. La ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Magnetismo 163
5.1. Campo magnéticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2. Fuerza magnética sobre un conductor con corriente . . . . 164
5.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . . . . 168
5.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5. Propiedades del campo magnético en el espacio libre . . . 174
5.6. La ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7. Propiedades magnéticas de la materia . . . . . . . . . . . 181
5.8. Intensidad de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 182
5.9. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.10. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.11. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.12. Inductancia e inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . 192
5.13. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Índice alfabético 201
Introducción
Estos son apuntes complementarios para el curso de “Electromagne-
tismo” (FMF241) y están basados en varios libros de texto y otras fuentes
de información. Si bien existe una buena cantidad de excelentes libros de
texto, a veces el alumno se ve sobrepasado por la gran cantidad de infor-
mación y no sabe distinguir lo que es más relevante. Estos apuntes siguen,
en estricto rigor, el orden de materias que aparecen en el “syllabus” del
curso.
Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar los
excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienen
como objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografía
tentativa es la siguiente:
Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería David K. Cheng
Edit. Addison-Wesley Longman
Fundamentos de la Teoría Electromagnética Reitz/Milford/Christy Addison-
Wesley Iberoamericana
Teoría Electromagnética Hayt/Buck Edit. Mc Graw Hill
Electromagnetismo M. Furman
Electricidad y Magnetismo Berkeley Physics Course- Volumen 2 Edit.
Reverté
Física Universitaria Sears - Zemansky - Young Edit. Pearson
El primer capitulo del curso es opcional y tiene como objetivo refrescar y
reforzar los conocimientos de matemáticas que se necesitan en este curso.
CAPÍTULO1
Matemáticas del curso
En un curso de esta categoría se asume que el estudiante tiene la
preparación adecuada en cálculo integral y diferencial, cálculo vectorial
y en el manejo de sistemas de coordenadas curvilíneas. En el transcurso
de las materias, nos encontraremos que las leyes del electromagnetismo
serán expresadas mediante integrales de línea, integrales de superficie,
ecuaciones y operadores diferenciales, y operadores vectoriales.
Usted se puede preguntar porqué he incluido este capítulo de ma-
temáticas si ya ustedes han pasado por cursos avanzados de álgebra y
cálculo. El problema es que las matemáticas y la física se enseñan en
forma independiente y a veces existe una desconexión entre ellas. Pero
las matemáticas es el lenguaje natural de la física y fueron desarrolladas
para describir y resolver problemas de la vida real. La experiencia de los
profesores de física es que los prerrequisitos matemáticos no son suficien-
tes y que los alumnos necesitan más experiencia en usar las matemáticas
eficientemente y en poseer una intuición acerca de los procesos físicos.
Este capítulo no pretende ser un curso de “Métodos Matemáticos
de la Física” sino que tiene como objetivo cubrir, en forma específica, las
técnicas y métodos justos y necesarios para resolver problemas avanzados
de electromagnetismo.
1.1 Vectores
Muchas cantidades en física e ingeniería son tratadas como vectores
porque tienen asociadas un magnitud y una dirección; la velocidad, fuer- Vector: magnitud y dirección
Escalar: magnitudza, momentum angular, campo eléctrico o magnético son algunos ejem-
plos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperatura
o densidad sólo tienen magnitud y son llamadas escalares.
¿Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitud
y dirección? Bueno, hay que reconocer que esta definición no es la
más correcta pues usted podría preguntarse: ¿acaso un auto tiene
magnitud y dirección?, ¿eso convierte a un auto en un vector?. Un
matemático diría: un vector es un elemento de un espacio vectorial.
En términos simples, un espacio vectorial en un conjunto de “co-
sas” para las cuales se ha definido la operación de adición y también
la operación de multiplicación por un escalar.
Un vector puede ser representado gráficamente mediante una flecha
y un largo proporcional a su magnitud. Además los vectores pueden ser
10 electromagnetismo fmf-241 (2014)
representados en dos o tres dimensiones.1 Si dos o más vectores tienen 1 Por simplicidad vamos a dibujarlos en
dosdimensiones por el momento.la misma dirección y magnitud entonces son iguales (ver figura 1.1). No
hay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por conveniencia
se prefiere localizarla en el origen de coordenadas.
Figura 1.1: Todos los vectores de la fi-
gura son iguales porque tienen la mis-
ma dirección y largo.
Simbólicamente un vector se representa por medio de una letra con
una flecha arriba, ~A y el largo (magnitud) como A =
∣∣∣ ~A∣∣∣.
En la mayoría de los libros de texto, un vector ~A se representa con
el símbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, en
los libros de texto, hay que tener cuidado de no confundir A con A.
1.1.1 Operaciones con vectores
En esta representación gráfica, la adición de vectores2 2 La adición de dos vectores solo tiene
sentido físico si ellos son de la misma
clase, por ejemplo si ambos son fuerzas
actuando en dos o tres dimensiones.
~C = ~A+ ~B
consiste en colocar la cola del vector ~B en la punta del vector ~A. El
vector ~C es entonces representado por una flecha dibujada desde la cola
del vector ~A hasta la punta del vector ~B. Esta forma de sumar vectores
se llama regla del triángulo. (Fig. 1.2).
Figura 1.2: Adición de dos vectores
mostrando la relación de conmutación.
La figura 1.2 también muestra la regla del paralelogramo que consiste
en trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal manera
que el vector resultante será aquel formado por la diagonal que parte de
las dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Además,
esto demuestra gráficamente que la adición de vectores es conmutativa,
es decir ~A+ ~B = ~B + ~A.
La generalización de este procedimiento para la adición de tres o más
vectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adición
(ver figura 1.3), por ejemplo
~A+ ( ~B + ~C) = ( ~A+ ~B) + ~C
La sustracción de dos vectores es muy similar a la adición (ver figura
1.4), es decir,
~A− ~B = ~A+ (− ~B)
donde − ~B es un vector de igual magnitud pero en dirección exactamente
opuesta al vector ~B. La sustracción de dos vectores iguales, ~A+ (− ~A),
da como resultado el vector nulo ~0, el cual tiene magnitud cero y no tiene
asociada ninguna dirección.
matemáticas del curso 11
Figura 1.3: Adición de tres vectores
mostrando la propiedad de asociativi-
dad.
Figura 1.4: Sustracción de dos vectores.
12 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.5: Multiplicación del vector ~A
por un escalar (λ > 0).
La multiplicación de un vector por un escalar da como resultado un
vector en la misma dirección que el original pero de una magnitud pro-
porcional (ver figura 1.5). La multiplicación por un escalar es asociativa,
conmutativa y distributiva con respecto a la adición. Para vectores arbi-
trarios ~A y ~B y escalares arbitrarios α y β se cumple
(αβ) ~A = α(β ~A) = β(α ~A)
α( ~A+ ~B) = α ~A+ α~B
(α+ β) ~A = α ~A+ β ~A
1.1.2 Vectores base y componentes
Los vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares
ordenados de números reales (a, b) y que obedecen ciertas reglas que
veremos más adelante.3 Los números a y b son llamados componentes 3 Reglas de un espacio vectorial.
del vector. El vector ~A = (a, b) puede ser representado geométricamente
mediante una flecha que va desde el origen hasta el punto (a, b).
Figura 1.6: Las componentes del vector
~A son la proyecciones en los ejes coor-
denados.
La extensión a tres dimensiones es directa. Un vector ~A puede ser
representado mediante tres números Ax,Ay y Az (ver figura 1.7)
~A = (Ax,Ay,Az)
Aunque ~A podría representar cualquier cantidad vectorial (momen-
tum, campo eléctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplazamien-
to desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z), es denotado por el
símbolo especial ~r. Entonces tenemos la elección de referirnos al despla-
zamiento ya sea como el vector ~r o las las coordenadas del punto final
(x, y, z):4 4 Este vector también se llama vector
posición.~r ↔ (x, y, z)
Figura 1.7: En tres dimensiones, las
componentes cartesianas del vector ~A
son la proyecciones en los ejes coorde-
nados.
En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios5 a lo largo 5 Vectores de magnitud o largo 1.
de cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan î, ĵ y
k̂ apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente
(ver figura 1.8). Sea ~A = (Ax,Ay,Az) entonces Axî es un vector con
matemáticas del curso 13
magnitud igual a |Ax| en la dirección x. Un vector ~A puede ser entonces
escrito como una suma de tres vectores, cada uno paralelo a un eje de
coordenadas diferente (ver figura 1.9):
Figura 1.8: Los vectores unitarios,
î, ĵ, k̂, de un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales.
~A = Axî+Ay ĵ +Az k̂
Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, o
un conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decir
cualquier vector puede ser expresado como una combinación lineal
de ellos. Los vectores base se pueden escribir también como
î = (1, 0, 0) ĵ = (0, 1, 0) k̂ = (0, 0, 1)
Figura 1.9: Los vectores unitarios,
î, ĵ, k̂, de un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales. El vector
~A es la suma vectorial de los tres vec-
tores a lo largo de los ejes coordenados.
Podemos considerar la adición y sustracción de vectores en términos
de sus componentes. La adición de dos vectores ~A y ~B se encuentra
simplemente sumando sus componentes, o sea
~A+ ~B = Axî+Ay ĵ +Az k̂+Bxî+By ĵ +Bz k̂
= (Ax +Bx)î+ (Ay +By)ĵ + (Az +Bz)k̂
y la sustracción:
~A− ~B = Axî+Ay ĵ +Az k̂− (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= (Ax −Bx)î+ (Ay −By)ĵ + (Az −Bz)k̂
¡cuidado!: No sumar magnitudes de vectores.
Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector
suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores
originales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 î es 3 y la magnitud
del vector −2 î es 2, !pero la magnitud del vector (3 î) + (−2 î) = î
es 1, no 5!.
14 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.1.3 Igualdad de vectores
En la figura 1.1 describimos gráficamente la igualdad de vectores. Aho-
ra que podemos definir un vector en forma analítica, podemos decir que
un vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas compo-
nentes de los vectores son iguales. Es decir si ~A = Axî+ Ay ĵ + Az k̂ y
~B = Bxî+By ĵ +Bz k̂, entonces ~A = ~B si
Ax = Bx y Ay = By y Az = Bz
1.1.4 Magnitud de un vector en términos de sus compo-
nentes
La magnitud
∣∣∣ ~A∣∣∣ de un vector ~A se puede inferir de la figura 1.9
∣∣∣ ~A∣∣∣ = A =√A2x +A2y +A2z
Un vector nulo ~A = 0 significa que todas sus componentes son nulas
Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.
1.1.5 El vector unitario
Como ya se explicó, los vectores î, ĵ y k̂ tienen magnitud la unidad.
Sin embargo, estos no son los únicos vectores unitarios. Es a veces útil
encontrar un vector unitario que tenga una dirección especificada. Su-
pongamos que queremos encontrar un vector unitario en la dirección del
vector ~A. Esto es muy simple, el vector unitario (Â) se obtiene dividiendo
el vector por su magnitud:
 =
~A√
A2x +A2y +A2z
=
~A∣∣∣ ~A∣∣∣
Por definición, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades.
Supongamos que r̂ es un vector unitario con dirección de 36.0° (sen-
tido antihorario, desde la dirección +x en el plano xy). El hecho de que
un vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si uno
multiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tiene
una magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Por
ejemplo, si multiplicamos el vector r̂ por 5.0m/s, obtenemos un vec-
tor velocidad (5.0m/s) r̂ que tiene una magnitud de 5.0m/s y apunta
en la misma dirección que r̂. Entonces en este caso (5.0m/s) r̂ significa
(5.0m/s) haciendo un ángulo de 36.0° con el eje x.
1.1.6 Un vector no tiene signo
Consideremos el vector
~v = (8× 106 î+ 0 ĵ,−2× 107 k̂)m/s
¿Es este vector positivo, negativo o cero?. Ninguna de las descripciones
es apropiada. La componentex de este vector en positiva, la componente
matemáticas del curso 15
y es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos,
negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no sig-
nifica nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado,
la magnitud de un vector |~v| es siempre positiva.
1.1.7 Cambio en una cantidad: la letra griega ∆
Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por
ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posición de un objeto
en movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo de
tiempo. la letra griega ∆ (la “d” por diferencia) es usada para denotar el
cambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando la
altura de un niño cambia de 1.1m hasta 1.2m, el cambio es ∆h = +0.1m,
es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000
a $130000, la variación es negativa ∆(saldo) = −$20000.
Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posición
~r1 = 3 î− 2 ĵ y ~r2 = 5 î+ 2 ĵ
el cambio de ~r1 a ~r2 se denota como ∆~r = ~r2 − ~r1
∆~r = (5 î+ 2 ĵ)− (3 î− 2 ĵ) = 2 î+ 4 ĵ
es decir hay una variación de +2m en la dirección x y una variación de
+4m en la dirección y.
La cantidad ∆~r = ~r2−~r1 también representa el vector posición relati-
vo, es decir la posición de un objeto relativo a otro. En la figura 1.10 el
objeto 1 está en la posición ~r1 y el objeto 2 en la posición ~r2. Queremos
conocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 al
objeto 2. Este es el vector ∆~r = ~r2 − ~r1. Notar que la forma es siempre
“final” menos “inicial”.
Figura 1.10: Vector posición relativo,
~r2 − ~r1.
1.1.8 Multiplicación de vectores
Podemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vec-
tores ~A y ~B como Producto escalar
16 electromagnetismo fmf-241 (2014)
~A · ~B = ~B · ~A = AB cos θ
donde A y B son las longitudes de ~A y ~B, y θ es el ángulo formado por
los dos vectores. De acuerdo a esta definición los productos punto de los
vectores unitarios î, ĵ y k̂ son
î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
î · ĵ = ĵ · î = î · k̂ = k̂ · î = ĵ · k̂ = k̂ · ĵ = 0
así se puede demostrar fácilmente que
~A · ~B = (Axî+Ay ĵ +Az k̂) · (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= AxBx +AyBy +AzBz
Esta es una expresión muy útil para encontrar el ángulo entre dos vecto-
res:
cos θ =
~A · ~B
AB
Alternativamente, la magnitud de un vector también se puede definir
como
A =
√
~A · ~A
Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una canti-
dad escalar. Hay otra definición muy útil del producto entre dos vectores
cuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vec-
torial de ~A y ~B Producto vectorial
~A× ~B = AB sin θ n̂
donde θ es el ángulo (< 180°) entre ~A y ~B y n̂ es un vector unitario
perpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencia
n̂ es perpendicular a ~A y a ~B y es paralelo a ~A× ~B. La dirección de n̂
es la misma que el avance de un tornillo de rosca derecha si ~A es rotado
hacia ~B. En la figura 1.11 se muestran dos formas de usuales de ilustrar
el producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de rosca
derecha.
Ya que sin θ = 0 si θ = 0, tenemos que para vectores paralelos ~A× ~B =
0 y en especial ~A× ~A = 0. También se cumple que
~A× ~B = − ~B × ~A
Si nos referimos a la figura 1.8 podemos aplicar las dos propiedades an-
teriores a los vectores unitarios î, ĵ y k̂:
î× î = ĵ × ĵ = k̂× k̂ = 0
î× ĵ = k̂ ĵ × î =−k̂
î× k̂ = −ĵ k̂× î = ĵ
ĵ × k̂ = î k̂× ĵ =−î
También existe una ley distributiva
~A× ( ~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C
matemáticas del curso 17
Figura 1.11: El producto cruz ilustrado
de dos maneras: regla de la mano dere-
cha y regla del tornillo de rosca derecha.
El vector unitario n̂ es perpendicular a
~A y a ~B y es paralelo a ~A× ~B.
El producto cruz de ~A y ~B en términos de î, ĵ y k̂ está dado por:6 6 Este es un buen ejercicio.
~A× ~B = (Axî+Ay ĵ +Az k̂)× (Bxî+By ĵ +Bz k̂)
= (AyBz −AzBy)î+ (AzBx −AxBz)ĵ + (AxBy −AyBx)k̂
Esto se puede escribir en forma más compacta mediante el determinante
~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣
errores comunes en multiplicación vectorial:
1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector
2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no un escalar.
1.1.9 Operaciones ilegales con vectores
Aunque el álgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de
los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes de
significado) para vectores:
Un vector no puede ser igual a un escalar.
Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar.
Un vector no puede estar en el denominador de una expresión. Es
decir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividir
un vector por un escalar).
18 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.12: Operaciones vectoriales
prohibidas.
1.1.10 Componentes de un vector en una dirección
Hemos puesto este tópico en una sección aparte para enfatizar la im-
portancia de encontrar la componente de un vector en una dirección de-
terminada. Por ejemplo si tomamos el vector ~A = Axî + Ay ĵ + Az k̂,
entonces la componente escalar de este vector en la dirección î es obvia-
mente Ax, lo que es equivalente a efectuar el producto punto
~A � î =
(
Axî+Ay ĵ +Az k̂
)
� î = Ax
Esta componente no es otra cosa que la proyección de vector ~A sobre el
eje x (ver figura 1.7). En el caso general, la proyección del vector ~A en la
dirección de un vector unitario û
~A � û =
∣∣∣ ~A∣∣∣ |û| cos θ
donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Puesto que û es un vector
unitario, |û| = 1, entonces
(a)
(b)
Figura 1.13: (a) La componente escalar
de ~A en la dirección del vector unitario
û es ~A � û. (b) La componente vectorial
de ~A en la dirección del vector unitario
û es ( ~A � û)û.
~A � û =
∣∣∣ ~A∣∣∣ cos θ
Si nos referimos a la figura 1.13 vemos claramente que
∣∣∣ ~A∣∣∣ cos θ es la
proyección del vector ~A en la dirección û. Podemos distinguir dos proyec-
ciones: la proyección escalar, ~A � û y la proyección vectorial, ( ~A � û)û, en
la dirección û.
matemáticas del curso 19
1.1.11 Campos vectoriales y escalares
Durante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo
eléctrico, campo magnético, densidad de corriente, etc. Todos ellos son
campos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres)
dimensiones, es una función ~F que asigna a cada punto (x, y) (o (x, y, z))
un vector en dos (o tres) dimensiones dado por ~F (x, y) (o ~F (x, y, z)). Es
posible que esto no parezca tener sentido, pero la mayoría de la gente ya
ha visto, por ejemplo, un esquema de las líneas de campo magnético de
la tierra (ver figura 1.14).
N
S
Figura 1.14: Las líneas del campo mag-
nético terrestre.
La notación estándar para la función ~F es,
~F (x, y) = P (x, y)î+Q(x, y)ĵ
~F (x, y, z) = P (x, y, z)î+Q(x, y, z)ĵ +R(x, y, z)k̂
Por ejemplo, en la figura 1.15 se muestran los campos vectoriales:
~F (x, y) = −yî+ xĵ y ~F (x, y) = cos(x2 + y)î+ (1 + x− y2)ĵ
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
- 2 - 1 0 1 2
- 2
- 1
0
1
2
~F (x, y) = −yî+xĵ ~F (x, y) = cos(x2 + y)î+(1+x−y2)ĵ
Figura 1.15: Las líneas de campo para
dos campos vectoriales en dos dimen-
siones.
Por otro lado, la figura 1.16 ilustra un ejemplo en tres dimensiones co-
rrespondiente a un campo con simetría radial:
~F (x, y, z) = ~r = xî+ yĵ + zk̂
- 2
0
2
- 2
0
2
- 2
0
2
Figura 1.16: Las líneas del campo vec-
torial radial ~F (x, y) = xî+ yĵ + zk̂.
Un campo escalar es un nombre elegante para una función del espacio,
es decir, una función que asocia un número real con cada posición en un
espacio. En otras palabras es una función que tiene diferente valor en ca-
da punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones φ = φ(x, y, z).
Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo de
un campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyenla
presión, P (x, y, z), en cada punto de un fluido o la distribución de tem-
peratura, T (x, y, z), a través de un material.
La representación gráfica de P (x, y, z) o T (x, y, z) no es posible debido
a que no podemos dibujar una función en cuatro dimensiones, pero sí
podemos dibujar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Hay dos formas
de representar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Una forma es
dibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos
20 electromagnetismo fmf-241 (2014)
dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f(x, y) =
k para todos los valores posibles de k.
La figura 1.17 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaña
en tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones.
Representación
en relieve
Representación en
curvas de nivel
Figura 1.17: Representación de una
campo escalar (altura de la superficie
de la montaña) en 3D y curvas de nivel
en 2D. Cada curva de nivel es del tipo
f (x, y) = k
con k = 0, 20, 40, 60, 80.
Un ejemplo más matemático sería considerar la función paraboloide
hiperbólico
z = φ(x, y) = x2 − y2
cuyas gráficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.18.
Figura 1.18: Representación del campo
escalar φ(x, y) = x2 − y2. A la izquier-
da la gráfica en 3D y a la derecha las
curvas de nivel.
matemáticas del curso 21
1.1.12 Funciones vectoriales en tres dimensiones
Anteriormente definimos el vector posición, como un vector que va
desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z)
~r = xî+ yĵ + zk̂
Ahora, si el punto (x, y, z) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces
~r(t) = x(t)î+ y(t)ĵ + z(t)k̂ es una función vectorial del tiempo. La fun-
ción ~r(t) traza una curva en el espacio cuando t varía. Podemos denotar
un punto en el espacio como ~r(x, y, z) = ~r(x(t), y(t), z(t)) = ~r(t). La
velocidad del punto se obtiene por diferenciación vectorial
~v(t) = ~r′(t) =
dx
dt
î+
dy
dt
ĵ +
dz
dt
k̂
Una aplicación interesante es la segunda ley de Newton
m
d2~r
dt2
= ~F (x, y, z)
EJEMPLO 1.1
La fuerza que actúa sobre una partícula de carga q moviéndose a una velocidad ~v en un campo magnético ~B
es ~F = q~v× ~B. Determinar la ecuación de movimiento de la partícula si ~B = Bk̂, donde B es una constante.
Solución: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magnético para resolver este problema. La
segunda ley de Newton dice
m
d2~r
dt2
= m
d~v
dt
= ~F
m
d~v
dt
= q~v× ~B
ahora necesitamos calcular ~v× ~B sabiendo que ~v = vxî+ vy ĵ + vz k̂ y ~B = Bk̂
~v× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
vx vy vz
0 0 B
∣∣∣∣∣∣∣ = vyBî− vxBĵ + 0k̂
así la ecuación de movimiento queda
m
(
dvx
dt
î+
dvy
dt
ĵ +
dvz
dt
k̂
)
= q(vyBî− vxBĵ)
de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas
m
dvx
dt
= qvyB m
dvy
dt
= −qvxB m
dvz
dt
= 0 (?)
primero se resuelve para ~v(t) y luego para ~r(t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes son
soluciones de (∗)
x(t) = a cos qBt
m
x(t) = a sin qBt
m
z(t) = bt
donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de ~r(t) y ~v(t). Esta trayectoria corresponde
a una hélice con velocidad uniforme en la dirección z.
22 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.1.13 Diferencial de un vector
En la sección anterior vimos que para obtener la velocidad a partir
de vector posición tenemos que tomar las derivadas de cada componente.
Al igual que en el caso de funciones escalares, también podemos definir
el diferencial de un vector. Supongamos que el vector ~A depende de una
variable u, entonces la derivada de ~A respecto a u es
d ~A
du
=
dAx
du
î+
dAy
du
ĵ +
dAz
du
k̂
En esto usamos la noción de que un pequeño cambio ∆ ~A en el vector ~A(u)
es el resultado de un pequeño cambio ∆u. De aquí definimos el diferencial
de ~A como7 7 Notar que d ~A es también un vector.
d ~A =
d ~A
du
du
Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posición de una partícula
en un tiempo infinitesimal dt
d~r =
d~r
dt
dt = ~vdt
Si el vector ~A depende de más de una variable, digamos u, v , escribi-
mos ~A = ~A(u, v). Entonces
d ~A =
∂ ~A
∂u
du+
∂ ~A
∂v
dv
1.2 Operadores vectoriales
Más adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares conti-
nuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y tam-
bién la integración de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobre
superficies y a través de volúmenes en el campo. En esta sección nos con-
centraremos en la definición de operadores diferenciales vectoriales y sus
propiedades.
1.2.1 Gradiente de un campo escalar
Consideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugar
a otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede ser
menor). Es decir, la temperatura en la sala dependerá de las coordenadas
(x, y, z). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como:
T = T (x, y, z)
Ahora si deseamos saber como varía la temperatura ante un cambio infi-
nitesimal de la posición (x, y, z) escribimos el diferencial de T
dT =
∂T
∂x
dx+
∂T
∂y
dy+
∂T
∂z
dz
y notemos que esta expresión se puede escribir como el producto punto
de vectores
matemáticas del curso 23
dT =
(
∂T
∂x
î+
∂T
∂y
ĵ +
∂T
∂z
k̂
)
· (dxî+ dyĵ + dzk̂) (?)
El término dxî+dyĵ+dzk̂ no es otra cosa que d~r, el vector que representa
un incremento o desplazamiento desde (x, y, z) a (x + dx, y + dy, z +
dz). El otro término del segundo miembro de (?) es el gradiente de la
temperatura y es representado por el símbolo ∇T . Entonces podemos
escribir (?) como
dT = ∇T · d~r
Usando la definición de producto punto, lo anterior también se puede
escribir como
dT = |∇T | · |d~r| cos θ
Ahora, si fijamos la magnitud de d~r en algún valor específico (por ejemplo,
en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando ∇T y
d~r son paralelos (cos θ = 1). Esto nos dice que la dirección del vector
gradiente representa la dirección del incremento más rápido (máxima
pendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente,
|∇T |, es el incremento más rápido en la dirección de máxima pendiente.
El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones físicas. En me-
cánica clásica, si V (x, y, z) representa la energía potencial, entonces el
campo de fuerza correspondiente está dado por
~F (x, y, z) = −∇V (x, y, z)
En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z) repre-
senta el potencial electrostático, entonces la intensidad del campo eléc-
trico correspondiente está dado por
~E(x, y, z) = −∇V (x, y, z)
En el caso general de una función f(x, y, z) el gradiente en coordenadas
cartesianas es El gradiente es un vector, es por eso
que algunos libros de texto se escribe
~∇f para enfatizar su naturaleza.∇f(x, y, z) =
∂f
∂x
î+
∂f
∂y
ĵ +
∂f
∂z
k̂
∇f es un vector que expresa como varía la función f en la proximidad
de un punto. Por supuesto que debemos asumir que f(x, y, z) es diferen-
ciable, de lo contrario ∇f no existiría.
Si omitimos la función f , podemos definir el operador nabla Gradiente como el operador nabla ∇.
∇ = ∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
que aplicado a una función f no da ∇f .
El vector gradiente tiene dos interpretaciones geométricas importantes:
C A SO 1: Consideremos dos puntos P yQ sobre una superficie f(x, y, z) =
C, con C constante tal como muestra la figura 1.19. Los dos puntos están
a una distancia d~r uno del otro. Al movernos del punto P al Q no hay
cambios en f (df = 0), pues f(P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que
df = ∇f · d~r = 0
24 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Para que esto ocurra debe tenerse que ∇f debe ser perpendicular a d~r.
En otras palabras, ∇f es un vector normal a la superficie f(x, y, z) = C
en cada punto.
Figura 1.19: El vector gradiente es per-
pendicular a la superficie f (x, y, z) = C
cuando el vector d~r está sobre la super-
ficie.
CA SO 2: Si ahora permitimos que d~r nos lleve desde la superficie C1
hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.20), tenemos que la variación
de f es
df = C1 −C2 = ∆C = ∇f · d~r
Figura 1.20: El vector gradiente.Si mantenemos fijo el valor de df
|d~r| = df
|∇f | cos θ
y entonces se ve que |d~r| toma un valor mínimo (camino más corto)
cuando nos movemos en forma paralela a ∇f (cos θ = 1).
Por otro lado, para un valor fijo de |d~r|
df = |∇f | · |d~r| cos θ
matemáticas del curso 25
el cambio en la función escalar f es maximizado al elegir d~r paralelo a
∇f (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir ∇f es el máximo
valor que podría tomar df .
Esto identifica a ∇f como un vector que tiene la dirección del máximo
incremento de f .
Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnos
en la figura 1.21a donde se ha representado, en 3D, una función de dos
variables f(x, y). El sentido del vector∇f en un punto es el sentido en que
debemos movernos a partir del punto para hallar el incremento más rápido
de la función f . Si colocáramos una bolita en el punto donde calculamos
el gradiente, entonces la bolita tendría máxima velocidad en la dirección
negativa de ∇f . En la figura 1.21b representa mediante vectores en el
plano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1, y1), la superficie
se eleva bruscamente.
Dirección de la
máxima pendiente
(a) (b)
Figura 1.21: La función escalar f (x, y)
está representada por la superficie en
3D en (a). En (b) se representa la fun-
ción vectorial ∇f .
26 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.2.2 Divergencia de un campo vectorial
Para un campo vectorial ~A(x, y, z), la divergencia (∇ � ~A) está definida
por8 8 En algunos libros de texto también se
usa div ~A
∇ � ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
donde Ax,Ay y Az son las componentes de ~A. Claramente ∇ � ~A, es un
campo escalar. Cualquier campo vectorial para lo cual ∇ � ~A = 0 se dice
que es solenoidal.
Por el momento pospondremos la interpretación física rigurosa de la
divergencia. Solo diremos que la divergencia puede ser considerada co-
mo una medida cuantitativa de cuanto un campo vectorial “diverge” (se
difunde o desparrama) o “converge” en un punto dado. Por ejemplo la
figura 1.22 ilustra el signo de la divergencia dependiendo de la forma
del campo vectorial ~E. Cuando ∇ · ~E > 0 en algún punto, estamos en
presencia de una fuente o manantial9 desde donde el campo vectorial ra- 9 Por ejemplo una fuente de fluido en el
interior de un volumen.dia hacia el exterior. Si ∇ · ~E < 0 estamos en presencia de un sumidero
pues el campo “converge” hacia dicho punto. Si ∇ · ~E = 0 en campo no
converge ni diverge (no hay manantiales ni sumideros).
Figura 1.22: Interpretación geométrica
del signo de la divergencia.
Un campo vectorial con divergencia nula (solenoidal) significa que las
líneas de campo no convergen ni divergen en ningún punto; no pueden
tener extremos localizados. Gráficamente las lineas solo pueden ser
cerradas, o ir del infinito al infinito (ver figura 1.22), o dar vueltas
sobre sí mismas, sin llegar a cerrarse. Por ejemplo el campo ~F (x, y) =
−yî+ xĵ (ver figura 1.15) es solenoidal pues ∇ � ~F = 0 y además las
líneas de campo describen circunferencias en torno al eje z.
En la sección anterior definimos el operador gradiente ∇ como
∇ = ∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
entonces la divergencia se puede definir en forma alternativa como el
matemáticas del curso 27
producto punto entre ~∇ y el vector ~A
∇ � ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
� (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
Hay dos ejemplos interesantes a considerar. El primero es la divergencia
del vector posición
∇ · ~r =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
� (xî+ yĵ + zk̂)
=
∂x
∂x
+
∂y
∂y
+
∂z
∂z
= 3
Otro ejemplo es la divergencia de un campo central ~rf(r) donde r =√
x2 + y2 + z2
∇ � (~rf(r)) =
∂
∂x
[xf(r)] +
∂
∂y
[yf(r)] +
∂
∂z
[zf(r)]
= 3f(r) + x
2
r
df
dr
+
y2
r
df
dr
+
z2
r
df
dr
= 3f(r) + r df
dr
1.2.3 Rotor de un campo vectorial
Siguiendo con la misma lógica de operadores, podemos efectuar el pro-
ducto cruz entre el operador ∇ y un campo escalar ~A. Así definimos otra
operación llamada rotor (o rotacional)10 10 En algunos libros de texto también
se usa rot ~A
∇× ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
× (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
(
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
)
î+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
ĵ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
k̂
lo cual se puede colocar en forma de determinante
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣
El rotor asociado a un campo vectorial ~A es otro campo vectorial, y por
lo tanto el rotor calculado en un punto da como resultado un vector.
El rotor es un operador vectorial (∇×) que muestra la tendencia de un
campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Si el rotor de un campo vectorial (por ejemplo un fluido) es cero en un
punto significa que el campo vectorial (fluido) no tiene rotaciones en ese
punto (campo irrotacional), es decir no tiene circulación, turbulencia o
remolinos. En cambio si el rotor es distinto de cero significa que el campo
tiene circulación o remolinos. La figura 1.23 ilustra los dos casos para un
campo vectorial representado por un fluido.
28 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Figura 1.23: A la izquierda el fluido
(campo vectorial) es un campo irrota-
cional pues no tiene remolinos, por lo
tanto la pelota no rota y solo se tras-
lada. A la derecha el fluido tiene circu-
lación (rotor distinto de cero) que hace
que la pelota rote.
Más adelante veremos que el campo eléctrico radiado por una carga
puntual q positiva es radial (ver figura 1.24) y se expresa como
~E = ke
q
r2
r̂
donde r̂ es un vector unitario que apunta en forma radial. Claramente
las lineas de campo no tienen circulación por lo tanto el campo eléctrico
debe ser irrotacional, ∇× ~E = 0. En efecto
∇× ~E = ∇×
(
ke
q
r2
r̂
)
= ke
q
r2
∇× r̂ = ke
q
r2
∇×
(
~r
r
)
= ke
q
r2
∇× ~r
recordemos que el rotor actúa solo sobre el vector ~r, entonces ∇× ~E = 0
pues
∇× ~r =
∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x y z
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Figura 1.24: Lineas de campo eléctrico
de una carga puntual positiva. Las li-
neas no tienen circulación, por lo tanto
este campo es irrotacional.
1.2.4 El Laplaciano
¿Que pasa si hacemos el producto punto entre dos operadores ∇?
∇ �∇ = ∇2 =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
�
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
=
(
∂
∂x
î
)
�
(
∂
∂x
î
)
+
(
∂
∂y
ĵ
)
�
(
∂
∂y
ĵ
)
+
(
∂
∂z
k̂
)
�
(
∂
∂z
k̂
)
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
= ∇2
De aquí surge la definición de Laplaciano de un campo escalar ϕ(x, y, z)11 11 Es la divergencia del gradiente,
∇2ϕ = ∇ � (∇ϕ)
∇2ϕ = ∂
2ϕ
∂x2
+
∂2ϕ
∂y2
+
∂2ϕ
∂z2
Este operador será de gran importancia en este curso, donde necesita-
remos encontrar el potencial electrostático, V (una función escalar) por
medio de una ecuación diferencial. Por ejemplo la ecuación diferencial
siguiente se llama ecuación de Poisson
∇2V = − ρ
�0
matemáticas del curso 29
donde ρ es la densidad de carga (una función escalar). Por otro lado, la
ecuación siguiente se llama ecuación de Laplace
∇2V = 0
aparece en muchas ramas de la física.
1.3 Integrales especiales
En los próximos capítulos nos vamos a encontrar con campos escalares
que varían en el espacio. también necesitaremos con frecuencia considerar
la integración de estos campos a lo largo de líneas , sobre superficies y
a través de volúmenes. En general, el integrando puede tener naturaleza
escalar o vectorial, pero la evaluación de esas integrales se verá reducida
a una o más integrales escalares. En el caso de integrales de superficie y
volumen, la evaluación implica integrales dobles o triples.
1.3.1 Integrales de línea
Las integrales de línea pueden tener la siguiente forma
ˆ
C
φd~r,
ˆ
C
~A � d~r,
ˆ
C
~A× d~r
donde φ es un campo escalar, ~A es un campo vectorial y d~r un vector
de desplazamiento infinitesimal. Las tres integrales tienen carácter vec-
torial, escalar y vectorial respectivamente. Como veremos más adelante,
las integrales del tipo
´
C
~A � d~r son las de mayor uso en electromagne-
tismo.12 La evaluación de la integral se hace a lo largo de una trayec- 12 Cuando la curva de integraciónes ce-
rrada escribimos el símbolo
¸
C
~A � d~rtoria o curva C. En coordenadas cartesianas ~A = Axî + Ay ĵ + Az k̂ y
d~r = dxî+ dyĵ + dzk̂, entonces13 13 También acostumbra a usar el sím-
bolo d~l en vez de d~r.ˆ
C
~A � d~r =
ˆ
C
(
Axî+Ay ĵ +Az k̂
)
� (dxî+ dyĵ + dzk̂)
=
ˆ
C
(Axdx+Aydy+Azdz)
=
ˆ
C
Axdx+
ˆ
C
Aydy+
ˆ
C
Azdz
Es decir, tenemos la evaluación de tres integrales “normales”. Un proce-
dimiento similar se aplica para los otros tipos de integrales.
Un campo vectorial ~A se dice que es conservativo si existe un campo
escalar ϕ tal que Campo conservativo.
~A = ∇ϕ
De aquí se deriva el teorema fundamental para gradientes, el cual expresa
que14 14 Otra forma de escribir esto es
bˆ
aC
(∇ϕ) � d~r = ϕ(b)−ϕ(a)
bˆ
aC
~A � d~r = ϕ(b)−ϕ(a)
30 electromagnetismo fmf-241 (2014)
es decir, dado que existe un potencial escalar ϕ que genera ~A, entonces
el valor de la integral de línea es dado por el valor de la función escalar
en los puntos a y b. Esto implica dos cosas
1.
´ b
aC
~A � d~r es independiente del camino C tomado desde a hasta b,
pues su valor depende de la diferencia ϕ(b)−ϕ(a).
2.
� b
aC
~A � d~r = 0 para una trayectoria cerrada,15 en otras palabras 15 La “circulación” es la integral alrede-
dor de una curva cerrada.ϕ(b)−ϕ(a) = 0 pues el punto a y el punto b son coincidentes.
EJEMPLO 1.2: Trabajo efectuado por una fuerza
La fuerza ejercida sobre un cuerpo está dada por ~F = −yî+ x~j. Calcular el trabajo efectuado al ir desde el
origen hasta el punto (1, 1).
Solución: Aquí necesitamos calcular la integral
W =
(1,1)ˆ
(0,0)
~F � d~r =
(1,1)ˆ
(0,0)
(−yî+ x~j) � (dxî+ dyĵ) =
(1,1)ˆ
(0,0)
(−ydx+ xdy)
Separando las dos integrales, obtenemos
W = −
1ˆ
0
ydx+
1ˆ
0
xdy
La primera integral no puede ser evaluada hasta que especifiquemos como varía y en función de x. Lo mismo
para la otra integral. Entonces elegimos un camino de integración (0, 0)→ (1, 0)→ (1, 1)
W = −
1ˆ
0
0dx+
1ˆ
0
1dy = 1
puesto que y = 0 a lo largo del primer segmento del camino y x = 1 a lo largo del segundo segmento. Si
ahora elegimos otro camino, (1, 0)→ (0, 1)→ (1, 1), entonces
W = −
1ˆ
0
1dx+
1ˆ
0
0dy = −1
y comprobamos que en este caso el trabajo depende de la trayectoria (~F es no conservativo).
1.3.2 Integrales de superficie
Este es otro tipo de integrales que aparecen con mucha frecuencia. Las
más comunes son
ˆ
S
ϕd~S,
ˆ
S
~A � d~S,
ˆ
S
~A× d~S
Todas estas integrales se toman sobre una superficie S, la cual puede
ser abierta o cerrada, y son por lo general, integrales dobles. Siguiendo la
matemáticas del curso 31
notación de integrales de línea, para superficies cerradas se usa el símbolo¸
S .
El diferencial vectorial d~S representa un elemento de área vectorial de
la superficie S. El elemento se define perpendicular a la superficie y a veces
se escribe como d~S = n̂dS donde n̂ es un vector unitario perpendicular a
la superficie en la posición del elemento y dS es la magnitud (escalar) de
d~S (ver figura 1.25). La superficie cerrada en 1.25-a encierra un volumen
V mientras que la superficie abierta en 1.25-b genera un perímetro C.
(a) (b)
Figura 1.25: (a) Una superficie cerrada
y (b) una superficie abierta. En cada
caso se muestra un vector normal a la
superficie d~S = n̂dS, el cual forma un
ángulo θ con el campo vectorial ~A en el
punto.
Nuevamente las integrales de superficie más comunes son las del tipo
φA =
´
S
~A � d~S. A este tipo de integrales se les llama integrales de flujo y
las encontraremos más adelante cuando veamos campo eléctrico y campo
magnético.
Una manera alternativa de definir la divergencia de un campo vec-
torial es usar las integrales de flujo. La divergencia de un campo vectorial
~A en un punto, se define como el flujo neto de salida de ~A por unidad de
volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. Es decir
en cualquier punto P
∇ � ~A = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
~A � d~S
)
(Forma integral de la divergencia)
Análogamente, puede demostrarse que los otro operadores vectoriales (ro-
tor y gradiente) se pueden definir como
∇× ~A = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
d~S × ~A
)
(Forma integral del rotor)
∇ϕ = ĺım
V→0
(
1
V
˛
S
ϕd~S
)
(Forma integral del gradiente)
En cada caso, V es un pequeño volumen que encierra el punto P y S es
la superficie que rodea a ese volumen.
32 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.3.3 Integrales de volumen
Estas integrales son más simples de calcular, ya que el elemento de
volumen dV es una cantidad escalar. En coordenadas cartesianas dv =
dxdydz16 16 En algunos libros de texto nos encon-
traremos con las notaciones d3r ó d3x
para el elemento de volumen.
ˆ
V
~Adv = î
ˆ
V
Axdv+ ĵ
ˆ
V
Aydv+ k̂
ˆ
V
Azdv
La cual se ha reducido a calcular tres integrales de volumen escalares.
1.4 Teoremas integrales importantes
1.4.1 El teorema de la divergencia
Supongamos que V representa un volumen en el espacio de tres dimen-
siones, S la superficie que encierra ese volumen, y ~A un campo vectorial.
El teorema de la divergencia establece que17 17 También conocido como teorema de
Gauss.ˆ
V
(∇ � ~A)dv =
˛
S
~A � d~S
El teorema de la divergencia puede ser usado para relacionar integrales
de volumen e integrales de superficie para cierto tipo de integrandos.
1.4.2 El teorema de Stokes
Este es un teorema fundamental para rotores
ˆ
S
(∇× ~A) � d~S =
˛
C
~A � d~r
Aquí el rotor es sobre una superficie abierta y C es la curva o períme-
tro que rodea la superficie. Este teorema puede ser usado para evaluar
integrales de superficie de la forma
´
S(∇× ~A) � d~S como integrales de
linea y vice versa. La curva C es recorrida en la dirección con respecto
a la normal, n̂ de acuerdo a la regla de la mano derecha (o la regla del
tornillo), ver figura 1.26.
Figura 1.26: La curva cerrada C es el
contorno que rodea de la superficie S.
La dirección del vector normal es deter-
minada por la regla de la mano derecha
(o tornillo), es decir los dedos apuntas
en la dirección de circulación y el pulgar
apunta en dirección del vector normal.
matemáticas del curso 33
1.5 Coordenadas curvilíneas
En problemas de electromagnetismo, nos encontraremos muy frecuen-
temente con geometrías que contengan cilindros o esferas. La geometría
del sistema de coordenadas cartesianas no es el más adecuada para tratar
geometrías esféricas y cilíndricas. En especial, si hay simetrías asociadas
con el problema tal como una invariancia con un ángulo o distancia desde
un punto dado, se pueden obtener simplificaciones considerables en los
cálculo si se usan otros sistemas de coordenadas.
Las coordenadas curvilíneas son sistemas de coordenadas en el espacio
Euclidiano donde las líneas pueden ser curvas. Estas coordenadas pueden
ser obtenidas a partir del sistema de coordenadas Cartesiano mediante
una transformación que es invertible (un mapeo 1-1) en cada punto. Estos
significa que podemos convertir un punto dado en coordenadas Cartesia-
nas a un sistema curvilíneo y vice versa.
1.5.1 Coordenadas cartesianas
Más adelante nos encontraremos con problemas donde hay que calcular
integrales expresadas en diferentes sistemas de coordenadas. Necesitare-
mos expresar cantidades infinitesimales tales como elementos de línea,
área y volumen. En el sistema cartesiano esto es simple.
Figura 1.27: Vector de desplazamiento
entre dos puntos.
Consideremos un pequeño desplazamiento entre los puntos P1 y P2 (ver
figura 1.27). este vector puede ser descompuesto y obtener el elemento
infinitesimal (o diferencial) de línea:
d~s = dxî+ dyĵ + dzk̂
El elemento infinitesimal de volumen es simple. En la figura 1.27 te-
nemos un cubo con aristas de longitud dx, dy y dz
Figura 1.28: Elemento de volumen en
coordenadas Cartesianas.
d3r = dV = dxdydz
Para el elemento infinitesimal de área (o superficie) tenemos tres op-
ciones correspondientes a tres planos
Figura 1.29: Elemento de área en coor-
denadas Cartesianas. El vector d ~A es
perpendicular a la cara y de magnitud
dA = dxdx
dA = dydz dA = dxdy dA = dxdz
Los elementos deárea son en realidad vectores donde la dirección del
vector d ~A es perpendicular al plano definido por el área. El vector área
es elegido apuntando hacia afuera desde una superficie cerrada. Entonces
para los tres casos anteriores escribimos
d ~A = dydzî d ~A = dxdyk̂ d ~A = dxdzĵ
En general, la magnitud de d ~A representa el área y a veces escribimos
d ~A = dA n̂
donde n̂ es un vector perpendicular a la superficie de área dA.
34 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.5.2 Coordenadas esféricas
En vez de localizar un punto en el espacio mediante coordenadas carte-
sianas, podemos usar coordenadas esféricas r, θ y φ. De la figura 1.30
se desprende que la relación entre los dos sistemas de coordenadas está
dada por
x = r sin θ cosφ
y = r sin θ sinφ
z = r cos θ
Figura 1.30: Una representación de un
sistema de coordenadas esféricas. Un
punto es especificado por las coordena-
das esféricas r, θ y φ.
Desafortunadamente, la convención de los símbolos θ y φ, usada aquí,
es revertida en algunos libros de texto. Eso no significa que alguien
esté equivocado, simplemente puede resultar confuso y conducir a
errores. En algunos libros el ángulo (cenit) que forma r con eje z se
denota por φ. También es frecuente encontrar que el símbolo r se
cambia por ρ, y los símbolos ϕ y ψ se usan en vez de φ.
Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas esféricas
porque la gráfica de la ecuación r = c = constante es una esfera de radio
c centrada en el origen.
Las restricciones para r, θ y φ son
0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r <∞
Algunas veces necesitaremos conocer r, θ y φ en función de x, y, z
r =
√
x2 + y2 + z2
cos θ = z
r
=
z√
x2 + y2 + z2
tanφ = y
x
En el caso de las coordenadas cartesianas tenemos una base ortonormal
de tres vectores î ĵ y k̂. Aquí definimos los vectores r̂, θ̂ y φ̂, que son la
base ortonormal en el sistema de coordenadas esféricas. De acuerdo a la
figura 1.31 debe cumplirse
r̂ � φ̂ = r̂ � θ̂ = θ̂ � φ̂ = 0
φ̂× r̂ = θ̂ r̂× θ̂ = φ̂ θ̂× φ̂ = r̂
r̂× φ̂ = −θ̂ θ̂× r̂ = −φ̂ φ̂× θ̂ = −r̂
Figura 1.31: Los tres vectores unitarios
de un sistema de coordenadas esféricas.
Los vectores r̂, θ̂ y φ̂ también están relacionados con las coordenadas
cartesianas
r̂ = sin θ cosφî+ sin θ sinφĵ + cos θk̂
θ̂ = cos θ cosφî+ cos θ sinφĵ − sin θk̂
φ̂ = − sinφî+ cosφĵ
î = sin θ cosφr̂+ cos θ cosφθ̂− sinφφ̂
matemáticas del curso 35
ĵ = sin θ sinφr̂+ cos θ sinφθ̂+ cosφφ̂
k̂ = cos θr̂− sin θθ̂
Los cantidades infinitesimales en coordenadas esféricas son un poco
más complicadas. De la figura 1.32 se puede ver que el elemento infinite-
simal (diferencial) de área es
dA = r2 sin θdθdφ
El vector diferencial de área resulta de considerar un vector perpendicular
a la superficie esférica. Ese vector es r̂
d ~A = r2 sin θdθdφr̂
Similarmente (figura 1.32) el elemento infinitesimal de volumen es sim-
plemente dV = (dA)dr
dV = r2 sin θdθdφdr
Finalmente el elemento infinitesimal de línea resulta de sumar los vec-
tores drr̂, r sin θdφφ̂ y rdθθ̂
d~s = drr̂+ r sin θdφφ̂+ rdθθ̂
Figura 1.32: Una construcción geomé-
trica del elemento diferencial de área y
volumen en coordenadas esféricas.
36 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.5.3 Coordenadas cilíndricas
Un punto en coordenadas cilíndricas se especifica mediante tres coor-
denadas (r,φ, z).18 Con referencia la figura 1.33 podemos ver que 18 También es usual utilizar el símbolo
ρ en vez de r.
x = r cosφ
y = r sinφ
z = z
Figura 1.33: Una representación de un
sistema de coordenadas cilíndricas. Un
punto es especificado por las coordena-
das cilíndricas r, φ y z.
Este sistema de coordenadas es llamado sistema de coordenadas cilíndri-
cas porque la gráfica de la ecuación r = c = constante es una cilindro de
radio c centrado en el origen.
Las restricciones para φ,r y z son
0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r <∞ −∞ < z < +∞
Algunas veces necesitaremos conocer r, φ y en función de x, y, z
r =
√
x2 + y2
tanφ = y
x
z = z
La base ortonormal la forman los vectores r̂, φ̂ y k̂.19. De acuerdo a la 19 También se acostumbra a usar ẑ en
vez de k̂.figura 1.34 debe cumplirse
r̂ � φ̂ = r̂ � k̂ = k̂ � φ̂ = 0
φ̂× k̂ = r̂ r̂× φ̂ = k̂ k̂× r̂ = φ̂
k̂× φ̂ = −r̂ φ̂× r̂ = −k̂ r̂× k̂ = −φ̂
Figura 1.34: Los tres vectores unitarios
de un sistema de coordenadas esféricas.
Los vectores unitarios también están relacionados con los vectores uni-
tarios en coordenadas cartesianas
r̂ = cosφî+ sinφĵ
θ̂ = − sinφî+ cosφĵ
k̂ = k̂
î = cosφr̂− sinφφ̂
ĵ = sinφr̂+ cosφφ̂
De la figura 1.35 se puede ver que el elemento infinitesimal (diferencial)
de área sobre el manto de cilindro es
dA = rdφdz
El vector diferencial de área resulta de considerar un vector perpendicular
a la superficie cilíndrica. Ese vector es r̂
d ~A = rdφdzr̂
También el elemento diferencial de área sobre la tapa superior del cilindro
es
matemáticas del curso 37
d ~A = rdφdrk̂
Similarmente (figura 1.35) el elemento infinitesimal de volumen es sim-
plemente dV = (dA)dr
dV = rdφdzdr
Finalmente el elemento infinitesimal de línea resulta de sumar los vec-
tores drr̂, rdφφ̂ y zk̂
d~s = drr̂+ rdφφ̂+ zk̂
Figura 1.35: Una construcción geomé-
trica del elemento diferencial de área y
volumen en coordenadas cilíndricas.
1.5.4 Coordenadas polares
No hay nada nuevo en estas coordenadas pues se trata de las mismas
coordenadas cilíndricas pero el plano xy (z = 0), es decir se pueden usar
las mismas relaciones de las coordenadas cilíndricas, pero sin considerar
la tercera componente. Un punto en el plano está determinado por dos
coordenadas (r,φ).
1.5.5 Resumen de elementos diferenciales
d~s d ~A dV
Cartesianas dx î+ dy ĵ + dz k̂ dxdy k̂; dxdz ĵ; dydz î dxdydz
Cilíndricas dr r̂+ rdφ φ̂+ dz k̂ rdφdz r̂; rdφdr k̂ rdφdzdr
Esféricas dr r̂+ r sin θdφ φ̂+ rdθ θ̂ r2 sin θdθdφ r̂ r2 sin θdθdφdr
38 electromagnetismo fmf-241 (2014)
1.6 Operadores en coordenadas curvilíneas
En la sección 1.2 definimos lo operadores escalares y vectoriales en
coordenadas Cartesianas. Ahora veremos la forma que tienen estos ope-
radores en coordenadas esféricas y cilíndricas.
Gradiente (grad ≡ ∇)
∇ = î ∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
Coordenadas cartesianas
Se aplica a un campo escalar F (x, y,x) y lo convierte en el vector∇F (x, y,x)
∇F = î ∂F
∂x
+ ĵ
∂F
∂y
+ k̂
∂F
∂z
∇ = r̂ ∂
∂r
+ φ̂
1
r
∂
∂φ
+ ẑ
∂
∂z
Coordenadas cilíndricas
Se aplica a un campo escalar F (r,φ, z) y lo convierte en el vector∇F (r,φ, z)
∇F = r̂ ∂F
∂r
+ φ̂
1
r
∂F
∂φ
+ k̂
∂F
∂z
∇ = r̂ ∂
∂r
+ θ̂
1
r
∂
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂
∂φ
Coordenadas esféricas
Se aplica a un campo escalar F (r, θ,φ) y lo convierte en el vector∇F (r, θ,φ)
∇F = r̂ ∂F
∂r
+ θ̂
1
r
∂F
∂θ
+ φ̂
1
r sin θ
∂F
∂φ
Divergencia (div ≡ ∇�)
Este operador se puede interpretar como el producto “punto” entre ∇ y
~A
∇ � ~A =
(
î
∂
∂x
+ ĵ
∂
∂y
+ k̂
∂
∂z
)
· (îAx + ĵAy + k̂Az)
Convierte el campo vectorial ~A(x, y, z) en un escalar ∇ � ~A(x, y, z)
∇ � ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
Coordenadas cartesianas
matemáticas del curso 39
∇ � ~A = 1
r
∂(rAr)
∂r
+
1
r
∂Aθ
∂θ
+
∂Az
∂z
Coordenadas cilíndricas
∇ · ~A = 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aφ
∂φ
Coordenadas esféricas
Laplaciano (∇2)
Se puede definir como el producto punto de dos operadores nabla
∇ �∇ =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
︸ ︷︷ ︸
∇
�
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
︸ ︷︷ ︸
∇
=
∂
∂x
∂
∂x
+
∂
∂y
∂
∂y
+
∂
∂z
∂
∂z
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
= ∇2
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
C
Convierte el campo escalar F (x, y, z) en un escalar ∇2F (x, y, z)
∇2F = ∂
2F
∂x2
+
∂2F
∂y2
+
∂2F
∂z2
∇2 = 1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
Coordenadas cilíndricas
Convierte el campo escalar F (r,φ, z) en un escalar ∇2F (r,φ, z)
∇2F = 1
r
∂
∂r
(
r
∂F
∂r
)
+
1
r2
∂2F
∂φ2
+
∂2F
∂z2
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
Coordenadas esféricas
Convierte el campo escalar F (r, θ,φ) en un escalar ∇2F (r, θ,φ)
∇2F = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂F
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂∂θ
(
sin θ∂F
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2F
∂φ2
40 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Rotor (∇×)
Este operador se puede interpretar como el producto “cruz” entre ∇ y ~A
∇× ~A =
(
∂
∂x
î+
∂
∂y
ĵ +
∂
∂z
k̂
)
× (Axî+Ay ĵ +Az k̂)
=
(
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
)
î+
(
∂Ax
∂z
− ∂Az
∂x
)
ĵ +
(
∂Ay
∂x
− ∂Ax
∂y
)
k̂
el cual se puede colocar en forma de determinante
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Coordenadas cartesianas
matemáticas del curso 41
PROBLEMAS
1.1 Dados los puntos M (−1, 2, 1),N(3,−3, 0) y P (−2,−3,−4). Encontrar (a) ~RMN ; (b) ~RMN + ~RMP ; (c)
|~rM |; (d) R̂MP ; (e) |2~rP − 3~rN |
Sol.: (a) 4î− 5ĵ − k̂; (b) 3î− 10ĵ − 6k̂; (c) 2.45; (d) −0.14î− 0.7ĵ − 0.7k̂; (e) 15.56
1.2 Encontrar el ángulo entre los vectores: ~a = î+ 2ĵ + 3k̂ y ~b = 2î+ 3~j + 4k̂
Sol.: 0.12 rad
1.3 Mostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triangulo rectángulo:
~A = 2î− ĵ + k̂ ~B = î− 3ĵ − 5k̂ ~C = 3î− 4ĵ − 4k̂
1.4 Un campo vectorial ~S es expresado en coordenadas rectangulares como
~S(x, y, z) = 125
(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z + 1)2
[
(x− 1)î+ (y− 2)ĵ + (z + 1)k̂
]
(a) Evaluar ~S en P (2, 4, 3). (b) Determinar un vector unitario que de la dirección de ~S en P . (c) Especificar la
superficie f(x, y, z) cuando
∣∣∣~S∣∣∣ = 1.
Sol.: (a) 5.95î+ 11.90ĵ + 23.8k̂; (b) 0.218î+ 0.436ĵ + 0.873k̂; (c)
√
(x− 1)2 + (y− 2)2 + (z + 1)2 = 125
1.5 Considere el campo vectorial ~G = yî− 2.5xĵ + 3k̂ y el punto Q(4, 5, 2). Encontrar (a) ~G(~rQ) (~G en Q);
(b) la componente escalar de ~G(~rQ) en la dirección ~a = 13 (2î+ ĵ − 2k̂); (c) la componente vectorial de ~G(~rQ)
en la dirección ~a; (d) el ángulo θ entre ~G(~rQ) y ~a.
Sol.: (a) ~G(~rQ) = 5î− 10ĵ + 3~k; (b) −2; (c) −1.333î− 0.667ĵ + 1.333k̂; (d) 99.9°
1.6 Los tres vértices de un triangulo están localizados en A(6,−1, 2), B(−2, 3,−4) y C(−3, 1, 5). Encontrar:
(a) ~RAB × ~RAC ; (b) Un vector unitario perpendicular al plano del triangulo.
Sol.: (a) 24î+ 78ĵ + 20k̂; (b) 0.286î+ 0.928ĵ + 0.238k̂
1.7 Demuestre que
d
dt
(~u � ~v) =
d~u
dt
� ~v+ ~u �
d~v
dt
1.8 El potencial electrostático producido por el momento dipolar ~µ localizado en el origen y dirigido a lo largo
del eje x está dado por
V (x, y, z) = µx
(x2 + y2 + z2)3/2
(x, y, z 6= 0)
Encontrar la expresión de campo eléctrico asociado a este potencial.
Sol.: ~E = î
[
3µx2
(x2+y2+z2)5/2
− µ
(x2+y2+z2)3/2
]
+ ĵ
[
3µxy
(x2+y2+z2)5/2
]
+ k̂
[
3µxz
(x2+y2+z2)5/2
]
1.9 Calcular la integral de línea de la función vectorial ~v = y2î+ 2x(y+ 1)ĵ desde el punto (1, 1, 0) al punto
(2, 2, 0), a lo largo de las trayectorias: (a) (1, 1, 0)→ (2, 1, 0)→ (2, 2, 0) y (b) (1, 1, 0)→ (2, 2, 0)
Sol.: (a) 11; (b) 10
CAPÍTULO2
Electrostática
Era muy conocido por los antiguos griegos que al frotar un trozo de
ámbar se “electrificaba” al ser frotado con piel y a la vez podía atraer
pequeños objetos. De hecho la palabra "electricidad" viene del vocablo
Griego ámbar (elektron).
En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el término
electricidad. Las fuerzas eléctricas son las que sostienen el mundo mate-
rial. Estas fuerzas enlazan los electrones y núcleos para formar átomos,
a su vez los átomos son enlazados a otros átomos para formar moléculas.
El objetivo de la electrostática es estudiar las fuerzas y otros efectos
que se producen entre los cuerpos que poseen carga eléctrica en reposo,
además de los campos eléctricos que no cambian en el tiempo.
2.1 Carga eléctrica
¿Qué es la carga eléctrica?
Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales se designan
como positiva (+) y negativa (−). Cuando frotamos una varilla de vidrio
contra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda “electrificada” o
“cargada” y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varilla
de goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carga
negativa (Fig. 1.1).
Goma
Piel de gato
Vidrio
Seda
Figura 2.1: La varilla de goma queda
cargada negativamente al ser frotada
con piel. La varilla de vidrio queda car-
gada positivamente al ser frotada con
seda.
También se puede comprobar experimentalmente (Figura 2.2) que car-
gas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.
¿Pero cual es el origen la carga eléctrica?
La materia está constituida de átomos. Cada átomo consiste de un núcleo,
que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por un
44 electromagnetismo fmf-241 (2014)
Goma
Goma
Vidrio
Goma
(a) (b)
Figura 2.2: Comprobación de que car-
gas iguales se atraen y cargas distintas
se repelen.
cierto número de electrones. La figura 2.3 muestra esquemáticamente un
átomo de Litio (Li). En el lado izquierdo está el átomo de litio neutro
(carga cero), que consiste en un núcleo de tres protones (+) y cuatro
neutrones (carga cero), y tres electrones (-) moviéndose alrededor del
núcleo. En el medio está el mismo átomo con un electrón de menos, por
lo tanto, el ion litio (Li+) tendrá una carga neta de +1e. En el lado
derecho se ha agregado un electrón al átomo y tendremos el ion (Li−)
con una carga en exceso de −1e.
Figura 2.3: Esquema de un átomo de li-
tio neutro Li y los iones Li− y Li+. Los
electrones no tienen trayectorias defini-
das así que las curvas azules en la fi-
gura sólo tienen carácter esquemático.
Sea positivo, done un electrón.
La fuerza de repulsión o atracción entre dos cuerpos cargados depende-
rá de la “cantidad neta de carga” que posean. Por carga neta se entiende
la carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparado
con el mismo cuerpo neutro.
Carga positiva Carga neutra Carga negativa
Figura 2.4: Un cuerpo neutro posee
la misma cantidad de cargas negativas
que positivas. En un cuerpo con una
carga neta, alguno de los dos tipos de
cargas está en exceso.
electrostática 45
2.1.1 Cuantización de la carga
Los experimentos demuestran además que la carga está cuantizada.
Esto quiere decir que la carga viene en múltiplos enteros de una carga
elemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entonces
necesariamente se cumple que
Q = Ne
donde N = 1, 2, 3, · · · es un número entero y e es la carga fundamental,
que tiene un valor de 1.602× 10−19 C. Donde la unidad de carga es lla-
mada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga más Coulomb (C) es la unidad de carga.
pequeña que 1.602× 10−19 C.
Notar que la unidad de carga eléctrica (1 Coulomb) es una cantidad
extremadamente grande, ya que son necesarios 6× 1018 electrones
para completar una carga de −1.0C. Por ejemplo, si dos cargas de
un Coulomb cada una están separadas un metro, entonces aplicando
la ley de Coulomb, la fuerza de repulsión es aproximadamente 9×
109 N. ¡Esto es alrededor de un millón de toneladas!.
Para darse una idea del tamaño de las partículas que constituyen un
átomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones y
neutrones junto con sus respectivas cargas.
Partícula Masa (kg) Carga (C)
electrón 9.11× 10−31 −1.602× 10−19 (−e)
protón 1.673× 10−27 +1.602× 10−19 (+e)
neutrón 1.675× 10−27 0
Tabla 2.1: Masas y cargas de las partí-
culas que forman un átomo.
EJEMPLO 2.1: Carga de electrones
¿Cual es la carga total de 75.0 kg de electrones?
Solución: La masa de un electrón es 9.11× 10−31 kg, de tal manera que una masa M = 75.0 kg contiene
N =
M
me
=
75 kg
9.11× 10−31 kg = 8.3× 10
31electrones
La carga de de un electrón es −e = −1.602× 10−19 C, por lo tanto la carga de N electrones es
Q = N(−e) = 8.3× 1031 × (−1.602× 10−19 C) = −1.32× 1013 C
2.1.2 Ley de conservación de la carga
Esta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece
constante.
Si un sistema parte con un número igual de cargas positivas y nega-
tivas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa o
positiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera del
46 electromagnetismo fmf-241 (2014)
sistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si al-
gún sistema parte con una cierta carga neta (+ o -),por ejemplo +100e,
el sistema tendrá siempre +100e, a menos que se le permita al sistema
interactuar con el exterior.
2.1.3 Tipos de materiales
Las fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La
mayoría de los objetos son eléctricamente neutros; tienen igual cantidad
de cargas positivas que negativas.
Los metales son buenos conductores de carga eléctrica, mientras que
los plásticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La carga
no fluye muy fácilmente en los aislantes comparado con los metales.
Los materiales están divididos en tres categorías, dependiendo cuan
fácilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.
Estos son: Tipos de materiales.
Conductores - por ejemplo los metales.
Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.
Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plástico.
2.1.4 Modos de cargar un objeto
Hay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:
1. Por fricción: esto es útil para cargar aisladores.
2. Por conducción: es útil para cargar metales y otros conductores. Si un
objeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga será trans-
ferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductor
quedará cargado con el mismo signo que la carga del objeto.
3. Por inducción: también es útil para cargar metales y otros conductores.
La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esfera
metálica por el método de inducción:
(a) (b) (c)
(d) (e)
Tierra
Figura 2.5: (a) Una esfera conductora
y aislada. (b) Se acerca una barra car-
gada negativamente y las cargas en la
esfera se polarizan, pero la esfera sigue
siendo neutra. (c) Se conecta un cable a
tierra y las cargas negativas fluyen ha-
cia la tierra. (d) Se desconecta el cable
y la esfera queda cargada positivamen-
te y la tierra negativamente. (d) Se ale-
ja la barra y las cargas positivas en la
esfera se distribuyen uniformemente en
su superficie.
electrostática 47
2.2 Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736–1806) se las arregló para medir las magnitudes de
las fuerzas eléctricas entre dos objetos cargados. Coulomb confirmó que
la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es
proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r, es
decir
F ∝ 1/r2
si las cargas son q1 y q2, entonces la magnitud de la fuerza está dada por:
Figura 2.6: La fuerza de atracción entre
dos cargas depende de la separación de
las dos cargas.
F = ke
|q1| |q2|
r2
donde ke es llamada la constante de Coulomb:
ke = 8.9875× 109 N.m2/C2
también esta constante se puede expresar como
ke =
1
4π�0
donde �0 = 8.8542×10−12 C2/N.m2 es la permitividad del espacio
vacío.
La ley de Coulomb es válida cuando dos objetos cargados actúan
como cargas puntuales. Una esfera conductora cargada interactúa
con otro objeto cargado como si toda la carga estuviera concentrada
en el centro de la esfera.
Ahora, sabemos que la fuerza es un vector, así que la forma correcta
de formular la ley de Coulomb en forma vectorial es1 1 El vector r̂12 apunta de “1” a “2” y
el símbolo ~F12 significa “fuerza 1 sobre
2”, pero en otros libros de texto la fuer-
za sobre la carga q2 también se escribe
simplemente ~F2.
~F12 = ke
q1q2
r2
r̂12
Según la figura 2.7-(a), r̂12 es un vector unitario que apunta desde la
carga q1 a la q2 y ~F12 es la fuerza sobre la carga q2 debido a la carga q1.
Puesto que esta fuerza debe obedecer al la tercera ley de Newton entonces
debe cumplirse que ~F12 = −~F21
~F12 = ke
q1q2
r2
r̂12 = −~F21
(a) (b)
Figura 2.7: Repulsión y atracción de
dos cargas. El vector unitario r̂12 apun-
ta en la dirección de la fuerza que ejerce
q1 sobre q2. En ambos casos se cumple
la tercera ley de Newton ~F12 = −~F21.
En otros libros de texto la forma vectorial de la ley de Coulomb es como
sigue: si ~r1 es el vector posición de la carga q1 y ~r2 es el vector posición
de la carga q2, entonces las distancia entre las cargas está dada por el
módulo del vector ~r12 = ~r2 − ~r1 (ver figura 2.8), así la fuerza de la carga
q1 sobre la q2 es
~F12 = ke
q1q2
r212
r̂12
48 electromagnetismo fmf-241 (2014)
la escribimos
~F12 = ke
q1q2
r212
~r12
r12
donde hemos reemplazado el vector unitario2 r̂12 por ~r12r12 y r12 = |~r12| =
2 Recordar que para obtener un vector
unitario que apunte en la dirección de
~A, debemos dividir ese vector por su
módulo, es decir  = ~A|A|
|~r2 − ~r1|. Así podemos expresar la fuerza en diferentes formas:
~F12 = ke
q1q2
|~r2 − ~r1|2
~r12
|~r2 − ~r1|
= ke
q1q2
|~r2 − ~r1|3
~r12 = keq1q2
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
Adoptamos la expresión siguiente por ser la más usada:
~F12 = keq1q2
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
(2.1)
Figura 2.8: La posición de las cargas en
función de los vectores de posición.
pregunta:
¿Quién descubrió la ley de Coulomb?
respuesta:
¡Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; ¡fue Henry Cavendish!. Henry
Cavendish (1731–1810) fue un científico brillante, pero también era muy
retraído, solitario, misógino y excéntrico. También fue el primero en de-
terminar el valor de la constante de gravitación universal (G). El des-
cubrió que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (como
se pensaba). El también determinó la ley de fuerzas para cargas eléctri-
cas (F = kq1q2/R2). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sus
hallazgos. Así que años más tarde, fue Coulomb quien recibió todos los
créditos al descubrir la ley de fuerza eléctrica.
electrostática 49
EJEMPLO 2.2
Fuerza sobre la carga 2
Las cargas y coordenadas de dos partículas fijas
en el plano xy son: q1 = +3.0µC, x1 = 3.5 cm,
y1 = 0.5 cm, y q2 = −4.0µC, x2 = −2.0 cm,
y2 = 1.5 cm. Encontrar la magnitud y dirección
de la fuerza electrostática sobre q2.
Solución: De acuerdo al esquema, claramente q2
será atraída por q1. Primeramente, encontramos
la distancia entre los dos puntos:
r =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
=
√
(−2.0− 3.5)2 + (1.5− 0.50)2
= 5.59 cm=5.59×10−2 m
luego encontramos la magnitud de la fuerza sobre q2
F = ke
|q1| |q2|
r2
=
(
8.9× 109 N.m
2
C2
)
(3.0× 10−6 C)(4.0× 10−6 C)
(5.59× 10−2 m)2 = 34N
Puesto que q2 es atraída por q1, la dirección de la fuerza es la misma que el vector ~r que apunta de q2 hacia
q1. Ese vector es:
~r = ~r21 = (x1 − x2)î+ (y1 − y2)ĵ = (5.5 cm)î+ (−1.0 cm)ĵ
y su dirección (ángulo formado con el eje x):
θ = arctan
(
−1.0
+5.5
)
= −10.3◦
La fuerza en forma vectorial se escribe:
~F = F r̂21 = 34N×
(5.5)î+ (−1.0)ĵ
5.59 = (33.45î− 6.08ĵ) N
otra forma: Habiendo calculado la magnitud
de la fuerza, es más fácil obtener el vector fuerza
considerando el ángulo α de la figura. Sabemos
que la fuerza va en la dirección de ~r21, entonces
expresamos ~F en función de sus componentes:
~F = F cosα î−F sinα~j
Notar que hemos colocado un signo menos en la
componente y de la fuerza porque eso lo sabemos
50 electromagnetismo fmf-241 (2014)
de la figura. A partir del gráfico obtenemos
~F = 34× 5.55.59 î− 34×
1.0
5.59 ĵ
= (33.45î− 6.08ĵ) N
Notar que en la solución hemos usado los valores absolutos de las cargas y la dirección de la fuerza la
hemos determinado “a mano”. Puesto que nos están pidiendo ~F12, podemos resolver este problema en
forma alternativa usando
~F12 = ke
q1q2
r3
~r12
Primero obtenemos ~r12
~r12 = (−5.5 cm)î+ (1.0 cm)ĵ = (−5.5× 10−2 m)î+ (1.0× 10−2 m)ĵ
Además r3 = (5.59× 10−2 m)3 = 1.746× 10−4 m3 entonces
~F12 =
(
8.9× 109 N.m
2
C2
)
(3.0× 10−6 C)(−4.0× 10−6 C)
1.746× 10−4 m3
(
−5.5× 10−2 m î+ 1.0× 10−2 m ĵ
)
= 33.5 î− 6.1 ĵ
Aquí hemos dejado que las matemáticas funcionen, pues hemos usado las cargas con sus respectivos
signos y no hemos hecho ninguna consideración acerca de la dirección de la fuerza.
EJEMPLO 2.3
Dos esferas pequeñas cargadas tienen una carga total combinada de 5.0× 10−5 C. Si las esferas se repelen
con una fuerza electrostática de 1.0N, cuando las esferas están a una distancia de separación de 2.0m, ¿Cual
es la carga de cada esfera?
Solución: Sean q1 y q2 las dos cargas. La condición dada es que la carga combinada (suma) sea
q1 + q2 = 5.0×10−5 C (?)
dela ecuación
F12 = ke
q1q2
r2
⇒ q1q2 =
F12r2
ke
q1q2 =
(1.0N)(2.0m)2
8.9 109 N.m2C2
= 4.449× 10−10 C2
Combinado esta expresión con (?) obtenemos
q21 − (5.0×10−5 C)q1 + 4.449× 10−10 C2 = 0
Esta es una ecuación de segundo grado en q1
q1 = 5.0×10−5 ±
√
(5.0×10−5)− 4(4.449× 10−10)
2 =
3.84××10−5 C1.16××10−5 C
La solución para q2 sale de (?)
q2 = 5.0×10−5 C− q1
electrostática 51
Tenemos dos valores para q1. Probamos con q1 = 3.84××10−5 C
q2 = 5.0×10−5 C− 3.84××10−5 C = 1.16C
y con q1 = 1.16××10−5 C
q2 = 5.0×10−5 C− 1.16××10−5 C = 3.84C
Ambos son las misma solución. La respuesta es que las cargas son 1.16C y 3.84C.
EJEMPLO 2.4
Una cierta carga Q es dividida en dos partes q y (Q− q), las cuales están separadas por una cierta distancia.
¿Cual debe ser el valor de q en términos de Q para que la fuerza de repulsión sea máxima entre las dos
cargas?
Solución: Si suponemos que la distancia entre las dos cargas es r entonces la magnitud de la fuerza es:
F = ke
|q| |Q− q|
r2
sabemos que q y Q tienen el mismo signo, así que podemos omitir los valores absolutos y asegurarnos de que
F sea positiva
F = ke
q(Q− q)
r2
= ke
qQ− q2
r2
para encontrar el valor de q que hace máxima esta repulsión derivamos F con respecto a q e igualamos a
cero:
dF
dq
= ke
Q− 2q
r2
= 0
ecuación que tiene como solución q = Q/2. Es decir, la máxima repulsión es cuando dividimos Q por la
mitad.
52 electromagnetismo fmf-241 (2014)
2.3 Principio de Superposición
¿Que pasa si tenemos muchas cargas y queremos calcular al fuerza
ejercida sobre una de ellas debido al resto de las cargas?
La ley de Coulomb se aplica a cada par de cargas puntuales. Cuando
dos o más cargas están presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de las
cargas es simplemente la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre esa
carga por el resto de las cargas. Por ejemplo si tenemos 3 cargas, la fuerza
resultante (~F3) sobre la carga q3 debido a q1 y q2 será La fuerza sobre q3 es la suma de las
otras dos cargas sobre ella.
~F3 = ~F13 + ~F23
En general si tenemos N cargas, entonces la fuerza sobre i-ésima carga
debido al resto de las cargas es3 3 La expresión j 6= i significa sumar so-
bre todos los valores de j excepto cuan-
do j = i.
~Fi = keqi
N∑
j 6=i
qj
r2ji
r̂ji = keqi
N∑
j 6=i
qj
r3ji
~rji
Otra forma de expresar lo anterior es en función de las posiciones de las
cargas
~Fi = keqi
N∑
j 6=i
qj
~ri − ~rj∣∣~ri − ~rj∣∣3
EJEMPLO 2.5
Tres cargas están configuradas de acuerdo a la figura. Encontrar al fuerza
sobre la carga q3 asumiendo que q1 = 6.0× 10−6 C, q2 = −q1 = −6.0×
10−6 C, q3 = +3.0× 10−6 C y a = 2.0× 10−1 m.
Solución: Usando el principio de superposición, la fuerza sobre q3 es
~F3 = ~F13 + ~F23 = ke
(
q1q3
r213
r̂13 +
q2q3
r223
r̂23
)
la tarea “complicada” aquí es encontrar los vectores unitarios r̂13 y r̂23.
De acuerdo a la figura, el vector ~r13 apunta desde la carga q1 hacia la
carga q3:
~r13 =
√
2a cos θî+
√
2a sin θĵ
así, si dividimos este vector por su módulo (
√
2a) obtenemos el vector unitario r̂13
r̂13 = cos θî+ sin θĵ =
√
2
2 (î+ ĵ)
puesto que cos θ = sin θ =
√
2
2 . El vector r̂23 es más fácil, pues éste apunta en la dirección positiva de x:
r̂23 = î
Así la fuerza total es:
~F3 = ke
q1q3
r213
√
2
2 (î+ ĵ) + ke
q2q3
r223
î
electrostática 53
y sabiendo que r13 =
√
2a y r23 = a, obtendremos finalmente:
~F3 =
keq1q3
(
√
2a)2
√
2
2 (î+ ĵ) +
keq2q3
a2
î =
keq1q3
a2
√
2
4 (î+ ĵ) +
keq2q3
a2
î
Si reemplazamos los valores numéricos, obtendremos ~F3 (en unidades de Newton):
~F3 = −2.615î+ 1.429ĵ
La magnitud de ~F3 es
√
(−2.615)2 + 1.4292 ≈ 3.0N.
Una forma alternativa de resolver este problema es primero calcular las magnitudes de cada una de las
las fuerzas F = ke |Q1||Q2|r2 y luego calcular sus componentes.
EJEMPLO 2.6
Ahora un problema más difícil. En la figura se muestran dos cargas positivas
+q y una carga negativa −Q que puede moverse libremente y que se encuentra
inicialmente en reposo. Si las dos cargas q están fijas:
a) Determinar el periodo de movimiento de la carga −Q.
Solución: puesto que las dos cargas positivas atraen a −Q, esta carga se des-
plazará a lo largo del eje x. Una vez que pase hacia el lado negativo, volverá
a ser atraída hacia el lado positivo, y así sucesivamente, de manera que −Q
comenzará a moverse de una lado para otro describiendo un movimiento osci-
latorio.
La magnitud de la fuerza ejercida por una de las cargas q sobre −Q será
FqQ = ke
qQ
r2
donde r =
√
x2 + (d/2)2. Puesto que por simetría la fuerza resultante, debido a las dos cargas q, será en la
dirección horizontal, debemos entonces calcular la componente horizontal de FqQ
Fx = FqQ cos θ = ke
qQ
r2
cos θ
donde θ es el ángulo entre la línea qQ y el eje horizontal, es decir cos θ = xr =
x√
x2+(d/2)2
Fx = ke
qQ
r2
x
r
= ke
qQ
x2 + (d/2)2
x√
x2 + (d/2)2
= ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
pero, en la expresión anterior Fx es la fuerza debido a una sola carga, por lo tanto, la magnitud de la fuerza
total sobre −Q será el doble
2ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
Ahora, para describir el movimiento de −Q, usamos la segunda ley de Newton (F = ma = md2x
dt2 )
2ke
qQx
(x2 + (d/2)2)3/2
= −md
2x
dt2
donde m es la masa de −Q y se ha introducido el signo (−) debido que la fuerza sobre la carga −Q actúa
como restauradora (como en un resorte). Lamentablemente esta es una ecuación diferencial difícil de resolver,
54 electromagnetismo fmf-241 (2014)
pero podemos hacer una aproximación razonable si suponemos que x es pequeño comparado con d (x� d),
entonces
(
x2 + (d/2)2
)3/2 es aproximadamente igual (0+(d/2)2)3/2 = (d/2)3, por lo tanto podemos escribir
16keqQx
d3
= −md
2x
dt2
⇒ d
2x
dt2
+
16keqQx
md3
= 0
Si definimos ω2 = 16keqQ
md3 , nuestra ecuación queda:
d2x
dt2
+ ω2x = 0
Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, cuya solución se conoce y el periodo T = 2π/ω
T =
2π
ω
=
π
2
√
md3
keqQ
b) ¿Cual será la rapidez de −Q cuando esté en el punto medio de las dos cargas q, si inicialmente es soltada
a una distancia a� d desde el centro?
Solución: La rapidez será máxima en el punto medio de oscilación y está dada por
vmax = ωA
donde A es la amplitud máxima que en este caso es a
vmax = ωa =
√
16keqQ
md3
a = 4a
√
keqQ
md3
electrostática 55
2.4 Campo eléctrico
La presencia de una carga eléctrica produce una fuerza sobre todas las
otras cargas presentes. La fuerza eléctrica produce una “acción a distan-
cia”; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.
Figura 2.9: La presencia de una carga
produce perturbaciones a su alrededor.
Viendo la figura 2.9, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerza
ejercida por la carga q2 sobre la q1. Si acercamos la carga q2 hacia q1
entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementará. Sin embargo,
este cambio no ocurre instantáneamente (ninguna señal se puede propagar
más rápidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otras
mediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.
Estas perturbaciones se llaman campos eléctricos. Cada objeto cargado
genera un campo eléctrico que influencia el espacio alrededor.
Figura 2.10: Una carga de prueba q0 en
presencia del campo eléctrico generado
por la carga Q.
El campo eléctrico ~E generado por una carga Q puede ser medido po-
niendo una carga de prueba q0 en alguna posición (ver figura 2.10). La car-
ga de prueba “sentirá” una fuerza eléctrica de magnitud F = keq0Q/r2.
Entonces se define el campo eléctrico ~E a una distancia r de la carga Q
como
~E ≡
~F
q0
Definición de campo eléctrico.
2.4.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
Queremos encontrar el campo eléctrico ejercido por una carga puntual
positiva q. Como en la figuras 2.11 y 2.12, si ponemos una carga de prueba
q0 a una distancia r de q, la fuerza sobre q0 es
~F = ke
qq0
r2
r̂
(a) (b)
Figura 2.11: Si q > 0, la carga de prue-
ba será repelida y en el punto P habrá
un campo eléctrico en la misma direc-
ción que ~F .
(a) (b)
Figura 2.12: