Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap06

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Apuntes Mecánica de Sólidos 
136 
 
CAPÍTULO 6 ESFUERZO DE CORTE TRANSVERSAL 
6.1 Teoría de Jourawsky 
 
 
Fig. 6- 14 Esfuerzo de corte transversal. Variable 𝒚𝟏 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒚 → 𝒄 
 
 𝐹 = 0 
 
 𝜎𝑥 + 𝑑𝜎𝑥 𝑑𝐴
∗ −
𝐴∗
 𝜎𝑥 𝑑𝐴
∗ −
𝐴∗
𝜏𝑥𝑦 𝑡𝑑𝑥 = 0 
 
𝜏𝑥𝑦 𝑡𝑑𝑥 = 𝑑𝜎𝑥 𝑑𝐴
∗
𝐴∗
 
 
Como: 
𝑑𝜎𝑥 =
𝑑𝑀
𝐼𝑧
𝑦 
Se tiene: 
𝜏𝑥𝑦 𝑡𝑑𝑥 = 
𝑑𝑀
𝐼𝑧
𝑦1 𝑑𝐴
∗
𝐴∗
=
𝑑𝑀
𝐼𝑧
 𝑦1 𝑑𝐴
∗
𝐴∗
 
Como: 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 
Y tomando Q: 
𝑄 𝑦 = 𝑦1 𝑑𝐴
∗
𝐴∗
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
137 
 
Se obtiene la Fórmula de Jourawsky: 
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑉 𝑥 · 𝑄(𝑦)
𝐼𝑧 · 𝑡
 (6. 01) 
6.2 Interpretación de la Integral Q 
 
 
Fig. 6- 2 Interpretación de Q. 
 
𝑄 𝑦 = 𝑦1 𝑑𝐴
∗
𝐶
𝑦
= 𝑦1 · 𝐴
∗ (6. 02) 
 
Ejemplo 1: Sección Rectangular 
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑉 𝑥 · 𝑄 𝑦 
𝐼𝑧 · 𝑡
 
 
𝑄 𝑦 = 𝑏 · 
ℎ
2
− 𝑦 · 𝑦 + 
ℎ
2
− 𝑦 ·
1
2
 
𝑄 𝑦 =
1
2
 𝑏 
ℎ
2
 
2
− 𝑦2 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝐼𝑧 =
𝑏 ℎ3
12
= 𝐴 ·
ℎ2
12
 
 
𝜏𝑥𝑦 =
3
2
·
𝑉(𝑥)
𝐴
 1 − 4 
𝑦
ℎ
 
2
 (6. 03) 
 
 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑉(𝑥) 
6.3 Esfuerzo de Corte en Sección de Perfiles Estructurales 
 
Ejemplo 2: 
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑧 · 𝑡 · 
ℎ
2
−
𝑡
2
 
𝐼𝑧 · 𝑡
 
 
Como ℎ ≫ 𝑡 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · ℎ
2 · 𝐼𝑧
· 𝑧 
Para el alma de la viga 
 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
=
𝑉
𝐼𝑧 · 𝑡
· 
𝑏 · 𝑡
2
· ℎ − 𝑡 + 𝑡 · 
ℎ
2
− 𝑡 − 𝑦 · 𝑦 +
1
2
· 
ℎ
2
− 𝑡 − 𝑦 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑉
𝐼𝑧
· 
𝑏 · ℎ
2
+ 
ℎ
2
− 𝑦 · 𝑦 +
1
2
· 
ℎ
2
− 𝑦 𝑐𝑜𝑛 ℎ ≫ 𝑡 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑉
2 · 𝐼𝑧
· 𝑏 · ℎ + 
ℎ
2
 
2
− 𝑦2 
 
Ejemplo 3: Sección Circular 
 
𝐼𝑍 = 𝜋
𝑅4
4
 𝑡 = 2 𝑅2 − 𝑦2 
𝑄 𝑦 = 𝑦1 𝑑𝐴
∗
𝐶
𝑦
 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝐴∗ = 2 · 𝑡 · 𝑑𝑦1 
𝑄 𝑦 = 2 𝑅2 − 𝑦1
2 
1
2 𝑑𝑦1
𝐶
𝑦
 
𝑄 𝑦 =
2
3
 𝑅2 − 𝑦2 
3
2 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Así 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
=
𝑉 𝑥 ·
2
3
 𝑅2 − 𝑦2 
3
2
𝜋
𝑅4
4
· 2 𝑅2 − 𝑦2 
1
2
 
𝜏𝑥𝑦 =
4
3
𝑉
𝜋 𝑅4
· 𝑅2 − 𝑦2 
 
𝜏𝑥𝑦 =
4
3
𝑉
𝐴
· 1 −
𝑦2
𝑅2
 (6. 04) 
 
6.4 Centro de Corte 
 
Punto que determina la línea de acción de la carga externa con el plano neutro de 
manera que no se produzca torsión en la sección. 
 
Secciones simétricas respecto al eje Y 
 
Hay simetría respecto a y en la distribución de esfuerzos. 
 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑉 
 𝜏𝑥𝑦 · 𝑧 𝑑𝐴 +
𝐴
 𝜏𝑥𝑧 · 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 
Luego el centro de corte coincide en G. 
 
Fig. 6- 3 Centro de Corte sección simétrica. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Si no hay simetría respecto a Y 
 
En este caso: 
 𝜏𝑥𝑦 · 𝑧 𝑑𝐴 +
𝐴
 𝜏𝑥𝑧 · 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑀𝑥 
𝑉 · 𝑒 = 𝑀𝑥 𝑒 =
𝑀𝑥
𝑉
 
 
𝑒 =
𝑀𝑥
𝑉
 (6. 05) 
 
 
Fig. 6- 4 Centro de Corte sección no simétrica. 
 
Ejemplo4: 
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
=
𝑉 · 𝑧 · 𝑡 ·
ℎ
2
𝐼𝑧 · 𝑡
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · ℎ
2 · 𝐼𝑧
· 𝑧 
Para el alma de la viga 
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
=
𝑉
𝐼𝑧 · 𝑡
· 
𝑏 · 𝑡
2
·
ℎ
2
+ 𝑡 · 
ℎ
2
− 𝑦 · 𝑦 +
1
2
· 
ℎ
2
− 𝑦 
 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑉
2 · 𝐼𝑧
· 𝑏 · ℎ + 
ℎ
2
 
2
− 𝑦2 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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 𝑀0 = 0 
 
𝑉 · 𝑒 = 𝐹 · ℎ =
1
2
 
𝑉 · ℎ · 𝑏
2 · 𝐼𝑧
· 𝑏 · 𝑡 · ℎ 𝑒 =
𝑏2 · ℎ2 · 𝑡
4 𝐼𝑍
 
 
 
Ejemplo5: 
 
Determine el centro de corte 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝑃 − 𝑉 = 0 𝑃 = 𝑉 
 
Equilibrio de momentos en la sección 
𝑃 · 𝑒 = 𝐹 · ℎ 𝑒 =
𝐹 · ℎ
𝑉
 
Cálculo de F: 
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧 · 𝑡
=
𝑉 · 𝑧 · 𝑡 ·
ℎ
2
𝐼𝑧 · 𝑡
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · ℎ
2 · 𝐼𝑧
· 𝑧 
Luego 
𝑉 · 𝑒 = 𝐹 · ℎ =
1
2
 
𝑉 · ℎ · 𝑏
2 · 𝐼𝑧
· 𝑏 · 𝑡 · ℎ 𝑒 =
𝑏2 · ℎ2 · 𝑡
4 𝐼𝑍
 
 
 
Ejemplo 6: 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Momento de inercia: 
 
𝐼𝑧𝑧 =
2,5 · 303
12
+ 2 · 
25 · 2,53
12
+ 25 · 2,5 · 16,25 
𝐼𝑧𝑧 = 38698,0 𝑐𝑚
4 
 
Esfuerzo de corte en extremos: 
 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧𝑧 · 𝑡
=
𝑦 · 𝑧 · 2,5 · 16,25
𝐼𝑧 · 2,5
 
𝜏𝑥𝑧 = 16,25 ·
𝑉
𝐼𝑧𝑧
· 𝑧 
𝜏𝑥𝑧 = 4,2 · 10
−4 · 𝑉 · 𝑧 
 
𝜏𝑥𝑧 𝑧 = 75 = 31,5 · 10
−4 · 𝑉 
 
𝜏𝑥𝑧 (𝑧 = 175) = 73,5 · 10
−4 · 𝑉 
 
Esfuerzo de corte en el alma 
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑉 · 𝑄
𝐼𝑧𝑧 · 𝑡
= 𝑉 · 
25 · 25 · 16,25 + 15 − 𝑦 · 2,5 · 𝑦 +
15−𝑦
2
 
𝐼𝑧𝑧 · 2,5
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑉
𝐼𝑧𝑧
· 406,25 + 0,5 · 225 − 𝑦2 
𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 0 = 518,75 ·
𝑉
𝐼𝑧𝑧
= 134 · 10−4 𝑉 
 
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𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 15 = 406,25 ·
𝑉
𝐼𝑧𝑧
 = 105 · 10−4 𝑉 
 
Localización del centro de corte 
 
𝑉 · 𝑒 = 17,5 · 2,5 ·
73,5
2
· 10−4 · 𝑉 · 32,5 − 7,5 · 12,5 ·
31,5
2
· 10−4 · 𝑉 · 32,5 
𝑒 = 4,26 𝑐𝑚