Ejercicio n3

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Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
EJERCICIO N°3 
VARIABLE ALEATORIA. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN. ESPERANZA MATEMÁTICA Y VARIANZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jacinto Pedro Mendoza Solís 
Docente de Teoría de la Probabilidad 
UNMSM 
 
 
 
Lida Q. Trebejo 
Estudiante de Matemática 
UNMSM 
Nicole G. De la Cruz 
Estudiante de Matemática 
UNMSM 
Alex C. Lázaro 
Estudiante de Matemática 
UNMSM 
David M. Huamán 
Estudiante de Matemática 
UNMSM 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
Ejercicio N°3 
Un grupo de 5 personas está formado por 2 mujeres y 3 hombres. Sea la variable 
aleatoria X; número de mujeres en una comisión de tres personas elegidas al azar. 
a) Obtener la función de cuantía de X 
b) Hallar P (X ≥ 1) 
c) Hallar E(X) y V(X) 
 
Solución: 
 
a) Obtener la función de cuantía de X 
 
 
 
 
Sea el experimento aleatorio 
𝜀: elegir una comisión de tres personas de un total de 5 
El espacio muestral es 
𝛺 = {(𝐴𝐵𝐶), (𝐴𝐵𝐴′), (𝐴𝐵𝐵′), (𝐴𝐶𝐴′), (𝐴𝐶𝐵′), (𝐴𝐴′𝐵′), (𝐵𝐶𝐴′), 
(𝐵𝐶𝐵′), (𝐵𝐴′𝐵′), (𝐶𝐴′𝐵′)} 
 
Si (𝐴𝐵𝐶) = 𝑤1, (𝐴𝐵𝐴
′) = 𝑤2, (𝐴𝐵𝐵
′) = 𝑤3, (𝐴𝐶𝐴
′) = 𝑤4, (𝐴𝐶𝐵
′) = 𝑤5 
(𝐴𝐴′𝐵′) = 𝑤6, (𝐵𝐶𝐴
′) = 𝑤7, (𝐵𝐶𝐵
′) = 𝑤8, 
(𝐵𝐴′𝐵′) = 𝑤9, (𝐶𝐴
′𝐵′) = 𝑤10 
 
Entonces 𝛺 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, 𝑤5, 𝑤6, 𝑤7, 𝑤8, 𝑤9, 𝑤10} 
 
Variable aleatoria X: número de mujeres en una comisión de tres personas 
 
𝑋(𝐴𝐵𝐶) = 𝑋(𝑤1) = 0 𝑋(𝐴𝐴
′𝐵′) = 𝑋(𝑤6) = 2 
𝑋(𝐴𝐵𝐴′) = 𝑋(𝑤2) = 1 𝑋(𝐵𝐶𝐴
′) = 𝑋(𝑤7) = 1 
𝑋(𝐴𝐵𝐵′) = 𝑋(𝑤3) = 1 𝑋(𝐵𝐶𝐵
′) = 𝑋(𝑤8) = 1 
𝑋(𝐴𝐶𝐴′) = 𝑋(𝑤4) = 1 𝑋(𝐵𝐴
′𝐵′) = 𝑋(𝑤9) = 2 
𝑋(𝐴𝐶𝐵′) = 𝑋(𝑤5) = 1 𝑋(𝐶𝐴
′𝐵′) = 𝑋(𝑤10) = 2 
𝐷𝑜𝑚(𝑋) = 𝛺 𝑅𝑎𝑛(𝑋) = {0,1,2} 
 
 
 
 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
Eventos: 
𝑖) [𝑋 = 0] = 𝑤1 → 𝑃[𝑋 = 0] = 𝑃(𝑤1) =
1
10
 
𝑖𝑖) [𝑋 = 1] = 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, 𝑤5, 𝑤7, 𝑤8 → 𝑃[𝑋 = 1] = 𝑃(𝑤2) + 𝑃(𝑤3) + 𝑃(𝑤4) 
+ 𝑃(𝑤5) + 𝑃(𝑤7) + 𝑃(𝑤8) =
1
10
+
1
10
+
1
10
+
1
10
+
1
10
+
1
10
=
3
5
 
 
𝑖𝑖𝑖) [𝑋 = 2] = 𝑤6, 𝑤9, 𝑤10 → 𝑃[𝑋 = 2] = 𝑃(𝑤6) + 𝑃(𝑤9) + 𝑃(𝑤10) 
=
1
10
+
1
10
+
1
10
=
3
10
 
 
𝑝(𝑥) =
{
 
 
 
 
1
10
, 𝑠𝑖 𝑥 = 0
3
5
, 𝑠𝑖 𝑥 = 1
3
10
, 𝑠𝑖 𝑥 = 2
0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
 
X 0 1 2 total 
P(x) 1
10
 
3
5
 
3
10
 
1 
 
 
b) Hallar P (X ≥ 1) 
 
Por la propiedad N°2 de la función de distribución de una variable aleatoria 
discreta: 
𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝐹(𝑋 < 𝑎) = 1 − 𝐹(𝑎 − 1), 𝑎𝜖ℤ 
 
Siendo 𝑎 = 1 
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝐹(𝑋 < 1) = 1 − 𝐹(1 − 1) 
= 1 − 𝐹(0) = 1 −
1
10
 
𝑃(𝑋 ≥ 1) =
9
10
 
 
 
 
 
 
Teoría de la Probabilidad Grupo 2 
 
 
c) Hallar E(X) y V(X) 
 
Cálculo de la Esperanza Matemática de X: 𝐸(𝑋) = 𝜇 
 
𝐸(𝑋) = 𝜇 =∑𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖) = 0𝑝(0) + 1𝑝(1) + 2𝑝(2)
2
𝑖=0
 
= 0(
1
10
) + 1 (
3
5
) + 2 (
3
10
) =
6
5
= 1,2 
Interpretación. 
Se espera elegir aproximadamente 1 mujer en una comisión de tres personas 
elegidas al azar. 
 
 
Cálculo de la varianza de X: 𝑉(𝑋) = 𝜎𝑥
2 
 
Por la propiedad: 𝑉(𝑋) = 𝜎𝑥
2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 
𝐸(𝑋2) = ∑𝑥𝑖
2𝑝(𝑥𝑖) = 0
2𝑝(0) +
2
𝑖=0
12𝑝(1) + 22𝑝(2) 
= 0(
1
10
) + 1 (
3
5
) + 4 (
3
10
) =
9
5
 
 
𝑉(𝑋) = 𝜎𝑥
2 =
9
5
− (
6
5
)
2
=
45 − 36
25
=
9
25
= 0,36