Probabilidad y estadistica p7 - Mari Cim

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Probabilidad y estadística 
 
 
 
Diagramas de tallo y hojas. 
Un procedimiento semi-gráfico de presentar la información para variables cuantitativas, que es 
especialmente útil cuando el número de datos de la muestra es pequeño, es el Diagrama de Tallo y 
Hojas de Tukey. Los principios para construirlos son: 
a. Redondear los datos a dos o tres cifras significativas, expresándolos en unidades convenientes. 
b. Disponerlos en una tabla con dos columnas separadas por una línea como sigue: 
b.1. Para datos con dos dígitos, escribir a la izquierda de la línea las decenas -que forma el tallo- y a la 
derecha las unidades, que serán las hojas. Por ejemplo, 87 se escribe 8 / 7 
b.2. Para datos con tres dígitos el tallo estará formado por los dígitos de las centenas y las decenas, que 
se escribirán a la izquierda de la línea, separados de las unidades. 
c. Cada tallo define una clase, y se escribe sólo una vez. El número de hojas representa la frecuencia 
de dicha clase. 
 
 
 
 
Problema 19. En un experimento que media el porcentaje de encogimiento al secar, 50 especímenes de 
prueba de arcilla plástica produjeron los siguientes resultados: 
 
19.3 15.8 20.7 18.4 14.9 17.3 21.3 16.1 18.6 20.5 20.5 16.9 18.5 
 18.7 12.3 19.5 22.8 18.8 18.3 16.9 17.9 17.1 22.5 18.8 19.4 17.4 
 18.5 17.5 16.5 17.5 17.3 19.5 19.1 17.5 16.8 16.3 19.0 18.2 17.4 
18.2 17.2 22.5 17.9 17.5 19.3 18.8 19.0 17.4 17.4 22.5 
 
Diagrama de Tallo y Hojas: 
 
Tallo Hojas 
12 3 
13 
14 9 
15 8 
16 1 9 9 5 8 3 
17 3 9 1 4 5 5 3 5 4 2 9 5 4 4 
18 4 6 5 7 8 3 8 5 2 2 8 
19 3 5 4 5 1 0 3 0 
20 7 5 5 
21 3 
22 8 5 5 5 
 
a. Agrupe estos datos en una tabla de frecuencias con intervalos del 1% comenzando en 12. 
 
Intervalos 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
[12, 13] 12.5 1 2 1 2 
(13, 14] 13.5 0 0 1 2 
(14, 15] 14.5 1 2 2 4 
(15, 16] 15.5 1 2 3 6 
(16, 17] 16.5 6 12 9 18 
(17, 18] 17.5 14 28 23 46 
(18, 19] 18.8 13 26 36 72 
(19, 20] 19.5 6 12 42 84 
(20, 21] 20.5 3 6 45 90 
(21, 22] 21.5 1 2 46 92 
(22, 23] 22.5 4 8 50 100 
 n = 50 
¿Es recomendable esta agrupación? NO, Son demasiados intervalos (11), además existe un ERROR de 
sobrecubrimiento del RANGO porque deberíamos de iniciar la agrupación en 12.3 y finalizarla en 22.8, 
siempre y cuando sea posible 
 
Buscaremos una mejor agrupación, aplicando el criterio de que el número de intervalos 
depende del tamaño de la muestra cómo se recomienda 
 
 
 
➢ Aplicaremos la regla de Sturges, para lo cual calculamos el valor de 1 + 3.3log (50) = 6.60, por lo tanto, 
el número de intervalos es k = 7 
Calcular el Rango: R = M – m = 22.8-12.3 = 10.5 
Posteriormente determinamos la longitud de cada intervalo, la cual se define como 
 𝒍 = 
𝑹
𝒌
=
𝟏𝟎.𝟓
𝟕
= 𝟏. 𝟓 
 
Iniciamos la construcción de los intervalos con el dato menor 
 
Intervalos 
Marca de 
Clase 
Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa 
(%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
(%) 
 
[12.3, 13.8] 13.05 1 2 1 2 𝑥1 
(13.8, 15.3] 14.55 1 2 2 4 𝑥2 
(15.3, 16.8] 16.05 5 10 7 14 𝑥3, 𝑥4, . . , 𝑥7 
(16.8, 18.3] 17.55 19 38 26 52 𝑥8, 𝑥9, . . , 𝑥26 
(18.3, 19.8] 19.05 16 32 42 84 𝑥27, 𝑥28, . . , 𝑥42 
(19.8, 21.3] 20.55 4 8 46 92 𝑥43, 𝑥44, 𝑥45, 𝑥46 
(21.3, 22.8] 22.05 4 8 50 100 𝑥47, 𝑥48, 𝑥49, 𝑥50 
 n = 50 
 
• MEDIDAS DESCRIPTIVAS 
Media Aritmética 
 
�̅� =
∑ 𝑚𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
(13.05 ∗ 1) + (14.55 ∗ 1) + (16.05 ∗ 5) + (17.55 ∗ 19) + (22.05 ∗ 4)
50
 
�̅� =
916.5
50
= 18.33 ➔ El porcentaje de encogimiento promedio de los 50 especímenes es del 18.33% 
 
Moda 
Primeramente, identificamos el intervalo en el que se encuentra la moda, que es el de mayor 
frecuencia: (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (16.8, 18.3], el valor de la moda es: 
 
�̂� = 𝐿𝑚−1 + [
(𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1)
𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1) + 𝑓𝑚 − 𝑓𝑚+1)
] 𝑙𝑚 = 16.8 + [
(19 − 5)
(19 − 5) + (19 − 16)
] (1.5) 
�̂� = 16.8 + [
14
14 + 3
] (1.5) = 16.8 + 1.23 = 18.03 
El porcentaje de encogimiento más común de los 50 especímenes es del 18.03% 
 
Mediana 
Primeramente, debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra la mediana, el cual es 
(𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (16.8, 18.3] , el valor de la mediana es: 
�̃� = 𝐿𝑚−1 + [
𝑛
2
− 𝑭𝒎−𝟏
𝑓𝑚
] 𝑙𝑚 = 16.8 + [
25 − 7
19
] (1.5) = 16.8 + 1.42 = 18.22 
 
El porcentaje de encogimiento central de los 50 especímenes es del 18.22%