Variables aleatorias discretas - Mari Cim

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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 
 
1. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de 
radio muy popular tiene una probabilidad de 0.02 de que la línea no esté ocupada. 
Suponga que las llamadas son independientes. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que 
realiza una persona? 
 
P(X = 10) = 0.02 · (1 - 0.02)10-1 ≈ 0.016675 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para 
hallar desocupada la línea? 
 
P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)] 
 
P (X ≤ 5) = ∑𝟓 𝒑 · (1 - p)
x-1 = 𝒑
(𝟏−𝒑)𝟒(𝟏−𝒑)−𝒑 
= 𝟏 − (𝟏 − 𝒑)𝟓 
−𝒑 
 
1 – (1 – 0.02)5 ≈ 0.096079 
 
1 – 0.096070 = 0.903921 
 
c. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que deben de hacerse para hallar 
desocupada la línea? 
μx = E(X) = 
𝟏 
= 
𝟎.𝟎𝟐 
 
2. Un sistema de satélite consta de 4 elementos y puede funcionar adecuadamente 
sólo si por lo menos 2 de los 4 componentes están en condiciones de funcionar. Si 
cada componente está, independientemente, en condiciones de funcionar con una 
probabilidad de 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione 
adecuadamente? 
P (x  3) = (0.6) 4 · 3 + (0.6) 4 (0.4) 4 – k) 
 
P (x  3) = 0.3456 + 0.0196 
 
P (x  3) = 0.4752 
50 
3. Las tarjetas de circuito impreso se envían en una prueba de funcionamiento 
después de haber montado en ellas todos los chips. Un lote contiene 140 tarjetas y 
se toman 20 sin reemplazo para hacerles la prueba de funcionamiento. 
a. Si 20 tarjetas están defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de 
ellas se encuentren en la muestra? 
P(X ≤ 2) 
 
(𝟐𝟎𝟐)(𝟎. 𝟏𝟒𝟐𝟖)𝟐(𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟑𝟐𝟖)𝟏𝟖 
 
190 · 0.0203 · 0.0624 = 0.2406 
 
b. Si 5 tarjetas están defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de 
ellas se encuentren en la muestra? 
 
𝟓 
(𝟏)(𝟏𝟒𝟎 − 𝟓) 
𝟐𝟎 − 𝟏 
𝟏𝟒𝟎 
𝟐𝟎 
 
= 0.394 
 
4. El número de baches en la carretera Hermosillo-Guaymas que requieren 
reparación urgente, puede modelarse con una distribución de Poisson que tiene 
una media de 2 baches por cada 5 kilómetros. 
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches qué reparar en un tramo de 10 
kilómetros? 
 
𝟐 = 0.4 
𝟓 
P(0)= ((e^-0.4)(0.4^0))/(0¡)= 0.67032 
 
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un 
tramo de un kilómetro? 
 
P(1)= ((e^-0.4)(0.4^1))/(1¡)= 0.268128 
 
c. ¿cuántos baches se espera reparar, en promedio, en un tramo de cien kilómetros? 
 
Se espera reparar 40 baches en promedio en un tramo de 100 km 
 
5. Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en 
existencia100 libras de cierto producto, que vende a clientes en lotes de 5 libras. 
Sea X = número de lotes ordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga 
que la función de distribución de probabilidades es: 
 
xi 1 2 3 4 
P(xi ) 0.2 0.4 0.3 0.1 
Determine E(X) y V(X) e interprete estos valores. 
 
E(x) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 2.3 
 
V(X) = (1 - 2.3)2(0.2) + (2 – 2.3)2(0.4) + (3 – 2.3)2(0.3) + (4 – 2.3)2(0.1) = 0.81 
 
La media de la variable aleatoria es de 2.3, mientras que su variable es de 0.81