TP 4 - MIT - ELECTROTECNIA - Inés Martínez Mendoza

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MELISA ROCÍO VALDIVIEZO – ESTUDIANTE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL - 
FI – UNJu - 2019 
Instructores: M.Sc. Ing. Luis E. Ituarte, Ing. Humberto Villanueva 
2019 
 
Trabajo Práctico n° 4 
 
 
 
Enunciado del Problema: 
 
a. Determine la proporción │v2│ / │v1│ en el siguiente 
circuito acoplado magnéticamente, utilizando análisis 
de mallas, fasores y la regla de los puntos. 
 
 
 
 
 
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Instructores: M.Sc. Ing. Luis E. Ituarte, Ing. Humberto Villanueva 
2019 
DESARROLLO 
 
Los circuitos acoplados magnéticamente presentan un fenómeno 
causado por la inductancia mutua M. 
 
Para comenzar con la resolución del problema aplicamos la 
regla de los puntos: 
 
 
REGLA DE LOS PUNTOS 
 
Podemos observar que el fasor de corriente 𝕀1 entra al punto 
y el fasor de corriente 𝕀2 también entra al punto, por lo 
tanto: 
 
 
EL SIGNO DE L = SIGNO DE M 
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Analizamos los datos de las tensiones, resistencias y 
bobinas: 
 
 
 
 
Tensiones 
 
𝑉1 = 100 ∗ cos(1000𝑡) [𝑉] 
 
De V1 tenemos como dato la frecuencia angular 
 
𝑤 = 1000 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 
 
Resistencias 
 
𝑅1 = 2 [Ω] 
 
𝑅2 = 40 [Ω] 
 
Bobinas 
 
𝐿1 = 2 ∗ 10−3 [𝐻] 
 
𝐿2 = 20 ∗ 10−3 [𝐻] 
 
 
El valor de la inductancia es: 
 
𝑀 = 0,5 ∗ 10−3 [𝐻] 
 
 
 
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FASORES 
 
Con el objetivo de simplificar el ejercicio vamos a 
considerar cada una de las resistencias y bobinas como 
impedancias: 
 
 
Analizamos los datos: 
 
𝕍1 = 100∠0° 
 
𝕍1 = 100 
 
Cálculo ℤ1 
 
ℤ1 = 𝒿 (1000) ∗ 2 ∗ 10−3 [Ω] 
 
ℤ1 = 𝒿2 [Ω] 
 
Cálculo ℤ2 
 
ℤ2 = 𝒿 (1000) ∗ 20 ∗ 10−3 [Ω] 
 
ℤ2 = 𝒿20 [Ω] 
 
ℤ3 = 2 [Ω] 
 
ℤ4 = 40 [Ω] 
 
Cálculo de la inductancia mutua 
 
𝕄 = 𝒿(1000) ∗ 0,5 ∗ 10−3 [Ω] 
 
𝕄 = 𝒿0,5 [Ω] 
 
 
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Una vez establecido lo anterior, procedemos a realizar los 
cálculos. Cabe destacar que omitimos el uso de las unidades 
por simplicidad del ejercicio, las cuales serán colocadas 
en el resultado final. 
 
ANÁLISIS DE MALLAS 
 
 
MALLA 1 
 
−𝕍1 + ℤ3 ∗ 𝕀1 + ℤ1 ∗ 𝕀1 + 𝕄 ∗ 𝕀2 = 0 
 
−𝕍1 + (ℤ3 + ℤ1) ∗ 𝕀1 + 𝕄 ∗ 𝕀2 = 0 
 
−100 + (2 + 𝒿2) ∗ 𝕀1 + 𝒿0,5 ∗ 𝕀2 = 0 
 
Ecuación 1 
 
(2 + 𝒿2) ∗ 𝕀1 + 𝒿0,5 ∗ 𝕀2 = 100 
 
 
MALLA 2 
 
ℤ2 ∗ 𝕀2 + ℤ4 ∗ 𝕀2 + 𝕄 ∗ 𝕀1 = 0 
 
(ℤ2 + ℤ4) ∗ 𝕀2 + 𝕄 ∗ 𝕀1 = 0 
 
Ecuación 2 
 
𝒿0,5 ∗ 𝕀1 + (𝒿20 + 40) ∗ 𝕀2 = 0 
 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
 
(2 + 𝒿2) ∗ 𝕀1 + 𝒿0,5 ∗ 𝕀2 = 100 
 
𝒿0,5 ∗ 𝕀1 + (𝒿20 + 40) ∗ 𝕀2 = 0 
 
 
 
NOTACIÓN MATRICIAL 
 
 
(2 + 𝒿2) 𝒿0,5 𝕀1 100 
* = 
 𝒿0,5 (𝒿20 + 40) 𝕀2 0 
 
 
 
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REGLA DE CRAMER 
 
 
DETERMINANTE Δ 
 
 
 
(2 + 𝒿2) 𝒿0,5 
 = ∆ 
 𝒿0,5 (𝒿20 + 40) 
 
 
 
∆= (2 + 𝒿2) ∗ (𝒿20 + 40) − [ 𝒿0,5 ∗ 𝒿0,5] 
 
 
∆=
161
4
+ 𝒿120 
 
DETERMINANTE Δ1 
 
 
 
 100 𝒿0,5 
 = ∆1 
 0 (𝒿20 + 40) 
 
 
 
∆1 = 100 ∗ (𝒿20 + 40) − [0] 
 
 
∆1 = 4000 + 𝒿2000 
 
DETERMINANTE Δ2 
 
 
 
 (2 + 𝒿2) 100 
 = ∆2 
 𝒿0,5 0 
 
 
 
∆2 = 0 − [ 𝒿0,5 ∗ 100] 
 
 
∆2 = −𝒿50 
 
 
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CÁLCULO DE LOS FASORES DE CORRIENTE 
 
 
FASOR DE CORRIENTE 1 
 
𝕀1 =
Δ1
Δ
= 25,03111333 − 𝒿24,93748074 [𝐴] 
 
𝕀1 = 35,33319374[𝐴]∠ − 44,89263764° 
 
En el dominio del tiempo 
 
 𝑖1(𝑡) = 35,333194 ∗ cos (1000𝑡 − 44,892638°𝐴] 
 
FASOR DE CORRIENTE 2 
 
𝕀2 =
Δ2
Δ
= −0,374530374 − 𝒿0,1256237296[𝐴] 
 
𝕀2 = 0,3950371154[𝐴]∠ − 161,4576888° 
 
En el dominio del tiempo 
 
𝑖2(𝑡) = 0,3950371154 ∗ cos (1000𝑡 − 161,4576888°)[𝐴] 
 
 
CÁLCULO DE LOS FASORES DE TENSIÓN 
 
 
FASOR DE TENSIÓN 𝕍1 
 
𝕍1 = 100∠0° [𝑉] 
 
En el dominio del tiempo 
 
𝑉1 = 100 ∗ cos(1000𝑡) [𝑉] 
 
FASOR DE TENSIÓN 𝕍2 
 
𝕍2 = ℤ4 ∗ 𝕀2 
 
𝕍2 = 40 ∗ (−0,374530374 − 𝒿0,1256237296) 
 
𝕍2 = −14,98121496 − 𝒿5,024949185 [𝑉] 
 
𝕍2 = 15,80148461∠ − 161,4576888° 
 
En el dominio del tiempo 
 
𝑉2(𝑡) = 15,801485 ∗ cos (1000𝑡 − 161,457689°)[𝑉] 
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CÁLCULO DE LA PROPORCIÓN DE LAS TENSIONES 
 
 
PROPORCIÓN DEL FASOR DE TENSIÓN 𝕍2/𝕍1 
 
 
𝕍2
𝕍1
=
−14,98121496 − 𝒿5,024949185 [𝑉]
100 [𝑉]
 
 
 
𝕍2
𝕍1
=
15,80148461∠ − 161,4576888° [𝑉]
100∠0° [𝑉]
 
 
 
𝕍2
𝕍1
= −0,1498121496 − 𝒿0,05024949185
[𝑉]
[𝑉]
 
 
 
𝕍2
𝕍1
= 0,158015∠ − 161,457689°
[𝑉]
[𝑉]
 
 
 
 
 
PROPORCIÓN DEL FASOR DE TENSIÓN │v2│ / │v1│ 
 
 
𝑉2
𝑉1
= 0,158015
[𝑉]
[𝑉]
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
𝕍2
𝕍1
= 0,158015∠ − 161,457689°
[𝑉]
[𝑉]
 
 
𝑉2
𝑉1
= 0,158015
[𝑉]
[𝑉]
 
 
 
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Instructores: M.Sc. Ing. Luis E. Ituarte, Ing. Humberto Villanueva 
2019 
REFERENCIA 
 
1. Unidad 3, Capitulo 13: Autoinducción e inducción mutua: 
Joseph A. Edminister M.S.E 
 
2. Apuntes de Clases de Consulta - Ing. Villanueva., H - 
Cátedra de Electrotecnia – Facultad de Ingeniería. 
UNJu. Jujuy. 2019 
 
3. M.Sc. Ing. Luis E. Ituarte, Ing. Humberto Villanueva. 
Apuntes de Cátedra. Facultad de Ingeniería. UNJu. 
Jujuy. 2019