Distribuciones discretas y continuas - Luisa Rámirez

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (Año 2013) 
 
 Distribuciones discretas y continuas 
 
 
 
Problema 1: La siguiente tabla muestra la función de distribución acumulada de una variable 
aleatoria X: 
 
 
x 1 2 3 4 
F(x) 1/8 3/8 3/4 1 
 
a) Determine la función de probabilidad puntual de X. 
b) Calcule P(1 ≤ X ≤ 3 ), P ( X < 3 ) y P ( X > 1.4 ). 
c) Calcule e interprete la esperanza matemática, varianza y desvío estándar de X. 
 
Problema 2: De un lote de 20 artículos, 4 son defectuosos. Se eligen al azar 3 artículos. Sea X: 
número de artículos defectuosos encontrados. 
a) Determine la distribución de X cuando los artículos se extraen con reposición. 
b) Determine la distribución de X cuando los artículos se extraen sin reposición. 
 
Problema 3: En una fábrica dos máquinas producen el mismo artículo. La máquina A produce 
diariamente el doble de artículos que la B. El 2 % de los artículos producidos por la máquina A son 
defectuosos al igual que el 3 % de los producidos por B. Si se combina la producción diaria de 
ambas máquinas y luego se toman al azar 10 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo 
sumo dos defectuosos? 
 
Problema 4: El número de grietas por espécimen de concreto, con cierto tipo de mezcla de 
cemento, es una variable aleatoria Y con distribución de Poisson de parámetro λ = 2.5. 
a) Calcule la probabilidad de que un espécimen de concreto elegido al azar tenga por lo menos una 
grieta. 
b) Calcule P (E(Y) - σ (Y) < Y < E(Y) + σ (Y)). 
c) Si se eligen al azar 5 especímenes, calcule la probabilidad de que a lo sumo uno tenga por lo 
menos una grieta. 
 
Problema 5: Un sistema está formado por 10 componentes conectadas en paralelo. La probabilidad 
de que una componente funcione en un período de tiempo [0 ; t) es 0.95. Calcule la probabilidad de 
que el sistema funcione en ese mismo período de tiempo. ¿Debió realizar algún supuesto? 
 
Problema 6: El número de imperfecciones en una placa es una v.a con distribución de Poisson, a 
razón de 1 imperfección por cada 20 cm². 
a) Calcule la probabilidad de que en una muestra de 30 cm² haya al menos una imperfección. 
b) Si se toman en forma independiente 5 muestras de 30 cm², calcule la probabilidad de que 
exactamente una de las muestras no tenga imperfecciones. 
c) En las condiciones del punto b), ¿cuál es el número promedio de placas sin imperfecciones? 
 
 
Problema 7: La probabilidad de que una viga falle por compresión es 0.02. 
a) Calcule la probabilidad de que en una muestra de 100 vigas fallen a lo sumo 4 vigas. 
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b) Calcule la probabilidad de que la décima viga inspeccionada sea la primera en fallar. 
c) ¿Cuál es el número promedio de vigas a inspeccionar hasta encontrar la primera fallada? 
 
Problema 8: Un sistema consta de dos dispositivos ( A y B )que funcionan independientemente. 
La duración en horas del dispositivo A es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetros 
α = 0.02 horas –1. La duración en horas para el dispositivo B es una variable aleatoria con distribución 
uniforme en el intervalo [9 , 13 ]. 
a) Calcule la probabilidad de que fallen ambos dispositivos antes de las 12 horas de funcionamiento. 
b) Calcule la probabilidad de que el dispositivo A funcione al cabo de las 22 horas sabiendo que funciona al 
 cabo de las 10 horas. 
 
Problema 9: Un inspector desea localizar en una tubería las juntas soldadas que son defectuosas. 
Las soldaduras se encuentran entre si a una distancia de 30 m. La probabilidad de que una soldadura 
sea defectuosa es de 0.05. 
Si el inspector realiza la inspección hasta encontrar 3 soldaduras defectuosas, calcule la 
probabilidad de que el inspector tenga que recorrer 1500 metros. 
 
Problema 10: En cierto punto de la ruta, se coloca un dispositivo para contar el número de autos 
que pasan por allí en un período dado de tiempo. 
El número de autos que pasan por minuto es un v.a de Poisson con parámetro λ = 6. 
El dispositivo puede fallar con una probabilidad 0.01 (se entiende por fallar que pase un vehículo y 
el dispositivo no lo registra). 
a) Calcule la probabilidad de que en un período de 2 minutos pasen 7 autos. 
b) Calcule la probabilidad de que el dispositivo registre 5 autos cuando en realidad pasaron 7. 
 
Problema 11: Un lote de 25 piezas contiene 3 que son defectuosas. Un comprador utiliza el 
siguiente plan de muestreo para la aceptación. Si en una muestra de tamaño 5 (sin reposición) 
encuentra al menos una pieza defectuosa, rechaza el lote; de lo contrario lo acepta. 
a) Calcule la probabilidad de que el lote sea aceptado. 
b) ¿Es válido aproximar la probabilidad del punto a) a través de la distribución binomial? 
Explique. 
c) Si se inspeccionan 100 lotes, ¿cuál es el número promedio de lotes rechazados? 
 
Problema 12: El número de accidentes de trabajo que se producen por semana en una empresa de 
construcción es una variable aleatoria X con distribución de Poisson. La probabilidad de que 
durante una semana cualquiera no se produzcan accidentes es e – 2 . 
a) Calcule la probabilidad de que se produzcan a lo sumo cinco accidentes en el transcurso de dos 
semanas. 
b) Calcule la probabilidad de que en el transcurso de 5 semanas, en por lo menos una de ellas no 
se produzcan accidentes. 
 
Problema 13: El tiempo en minutos que un auto permanece en una playa de estacionamiento es una 
v.a. X normalmente distribuida con E(X) = 50 min. Se conoce además que la probabilidad de que 
un auto permanezca en la playa por más de 54 min. es 0.0668. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto permanezca en la playa por más de 52 min. ? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, sobre un total de 10 autos, por lo menos dos permanezcan por 
más de 52 minutos? 
 
 
Problema 14: Un fabricante de aviones desea obtener remaches para montar los propulsores de sus 
aviones. El esfuerzo a la tensión mínima necesario de cada remache es de 25000 libras. Se pide a 
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tres fabricantes de remaches A, B y C que proporcionen toda la información pertinente con 
respecto a los remaches que producen. Los tres fabricantes aseguran que la resistencia a la tensión 
de sus remaches se encuentra distribuida normalmente con medias 28.000, 30.000 y 29.000 libras, 
respectivamente. ¿Tiene el fabricante suficiente información para hacer una elección? Explique. 
 
Problema 15: El número de pedidos de asistencia que recibe un servicio de remolque de vehículos 
es una variable aleatoria con distribución de Poisson a razón de cuatro pedidos por hora. 
a) Calcule la probabilidad de que en un período de 2 horas se reciban 10 pedidos. 
b) Si los operadores de las grúas de remolque descansan durante 30 minutos, ¿cuál es la 
probabilidad de que en ese período de tiempo no se desatienda ninguna llamada de asistencia? 
c) ¿Qué distribución de probabilidad tiene la variable aleatoria T: tiempo transcurrido hasta que se 
produce la primera solicitud (o tiempo transcurrido entre dos solicitudes sucesivas)? 
 
Problema 16: La duración de cierto tipo de refrigerador es una variable aleatoria con distribución 
normal con media 4.8 años y desvío estándar 1.3 años. 
 
a) Si el aparato está garantizado por dos años, ¿cuál es la probabilidad de que deba ser 
reemplazado durante el período cubierto por la garantía? 
b) ¿Cuánto tiempo de garantía debe otorgar el fabricante si desea reemplazar sólo el 0.5 % de los 
aparatos? 
c) Si se envía un lote de 10 refrigeradores, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 9 de ellos 
cumplan con la garantía de 2 años? 
d) ¿Cuál es la esperanza matemática del número de refrigeradores en el lote que cumplen con la 
garantía? 
 
Problema 17: El tiempo en minutos que una persona demora en ir de su casa a una estación de tren 
es una variable aleatoria T con distribución uniforme en el intervalo [20, 25]. 
 
a) Calcule la probabilidad de que si la persona deja su casa a las 07:05:00, alcance el tren que 
parte a las 07:28:00. 
b) Calcule el tiempo promedio que la persona demora en realizar el trayecto desde sucasa a la 
estación de tren. 
 
Problema 18: Muchas empresas recurren al muestreo de aceptación para controlar las remesas, 
materias primas, etc. que reciben. Electrónica Norbety acepta un lote de determinado proveedor si 
las partes defectuosas en él no son más del 1%. 
Se inspecciona una muestra aleatoria de 5 artículos de un embarque. Suponiendo que el 1% del 
embarque es defectuoso, calcule la probabilidad de que: 
a) ninguna de las partes de la muestra esté defectuosa. 
b) una de las partes de la muestra esté defectuosa. 
c) una o más partes de la muestra estén defectuosas. 
 
En una ciudad sobre un total de 50 obras, 6 de ellas violan el código de construcción. 
Si se seleccionan al azar 4 obras calcule la probabilidad de que: 
a) ninguna de las obras viola el código de construcción, 
b) una viola el código de construcción, 
c) dos violan el código de construcción, 
d) al menos tres violan el código de construcción. 
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La probabilidad de que la báscula de un comercio este alterada es 0.03. 
Calcule la probabilidad de que un inspector enviado por la Secretaría de Comercio encuentre que la 
sexta báscula examinada sea la primera en mostrar alteraciones.