Superficies 04 Método de las Generatrices - Axel

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SUPERFICIES: MÉTODO DE LAS GENERATRICES 
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Determinar la ecuación que describe a una superficie es el primer paso para muchos conceptos e ideas de trabajo 
en matemáticas. 
 
 
Sin embargo, no siempre es sencillo encontrar a esa ecuación. Como hemos mencionado en muchas ocasiones, la 
ecuación de un lugar geométrico está íntimamente relacionado con el sistema de referencia elegido. 
 
 
En las siguientes páginas hablaremos de un método para encontrar la ecuación cartesiana de una superficie. Se 
conoce como método de las generatrices. 
 
 
Para empezar, recordemos que toda superficie se construye tomando como base dos tipos de curvas: la directriz 
y la generatriz. 
 
 
Curva directriz: es una curva fija, que define la dirección en la que habrá de moverse otra curva, para con ese 
desplazamiento definir a la superficie. 
 
 
Curva generatriz: es una curva que se desplaza tocando siempre a la directriz, y al hacerlo modifica su tamaño y 
posición, y con ello dando origen a una superficie. 
 
 
Por ejemplo, el cilindro circular recto puede generarse con circunferencias paralelas que van tocando a una recta. 
 
 
 
Pero el mismo cilindro puede generarse con rectas paralelas que siguen al perímetro de una circunferencia. 
 
 
 
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Este ejemplo ya nos brinda una conclusión importante: existen muchas maneras de generar a una superficie, basta 
con elegir directriz y generatriz diferentes. 
 
 
Para el método de las generatrices, debemos tomar en cuenta lo siguiente: 
 
 
Una generatriz se mueve cambiando de posición o de tamaño, y para hacerlo utilizamos unas variables libres a 
las cuales les llamamos parámetros. Usualmente las designamos con letras griegas minúsculas, pero nada impide 
utilizar cualquier otra notación. 
 
 
En cambio, las directrices deben ser curvas perfectamente definidas en nuestro sistema de referencia. 
 
 
¿Siempre se puede utilizar el método de las generatrices para construir la ecuación cartesiana de la superficie? La 
respuesta es NO. 
 
 
El método sólo funciona cuando el número de directrices que se tienen es igual al número de parámetros que 
presenta la generatriz disminuidos en una unidad. 
 
 
Si la generatriz presenta dos parámetros, se requiere una directriz; si la generatriz presenta tres parámetros, se 
requieren dos directrices; si la generatriz presenta cuatro parámetros, se requieren tres directrices; y así 
sucesivamente. 
 
 
Si no cumplimos con estas condiciones, tendremos que generar a la superficie con otro método. 
 
 
Esta es una limitante importante para aplicar el método. Sin embargo, cuando sí se verifica, el método es muy 
sencillo en su utilización. 
 
 
PASO 1. Con la generatriz, y para cada una de las directrices, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos 
a una ecuación que sólo tendrá parámetros en ella. A esta ecuación la llamamos ecuación de condición. Habrá 
una ecuación de condición por cada directriz. 
 
 
PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y a todas las ecuaciones de condición que encontramos, se van eliminando 
los parámetros, hasta llegar a una ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. Esta será la ecuación cartesiana 
de la superficie. 
 
 
 
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Revisemos un ejemplo sencillo para aplicar el método. 
 
 
Vamos a generar un cilindro circular recto que tenga por directriz a una circunferencia contenida en el plano 
cartesiano XZ, con centro el origen y radio 2. La generatriz será una familia de rectas paralelas al eje Y que toquen 
siempre a la circunferencia. 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas lucen así: 
 
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑥2 + 𝑧2 = 4
𝑦 = 0
 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑥 = 𝛼
𝑧 = 𝛽 
 
 
Observa como las ecuaciones de la directriz están perfectamente definidas, mientras que en las ecuaciones de la 
generatriz, los parámetros la convierten en una recta que cambia de posición pero siempre es paralela al eje Y. 
 
 
La generatriz presenta dos parámetros, por lo tanto se requiere de una directriz, la cual sí conocemos. Entonces 
es aplicable el método de las generatrices. 
 
 
PASO 1. Con la generatriz y la directriz, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos a una ecuación de 
condición. 
 
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 ∶ 𝛼2 + 𝛽2 = 4 
 
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PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y la ecuación de condición se eliminan los parámetros, hasta llegar a una 
ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. 
 
 
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 ∶ 𝑥2 + 𝑧2 = 4 
 
 
Su gráfica se ilustra a continuación. 
 
 
Como se puede apreciar, el método es muy sencillo en su aplicación. 
 
 
Ahora intentemos algo un poco más elaborado. Vamos a generar la ecuación de un cilindro que tiene por directriz 
a la circunferencia contenida en el plano cartesiano XZ, con centro en el origen y radio 2. 
 
 
Las generatrices serán una familia de rectas que sean 
paralelas al vector 
 
�̅� = ( 1 , 3 , 0 ) 
 
Pero que siempre pasen por la circunferencia directriz. 
 
 
Todas estas rectas serán paralelas al plano XY, ya que 
la tercera componente del vector �̅� es igual a cero. 
 
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Si utilizamos una vista superior y una vista lateral de nuestro esquema, podemos apreciar las siguientes imágenes 
 
Vista superior Vista lateral 
 
 
 
Como las rectas son paralelas al plano XY, su altura 𝑧 es una constante, pero la vamos a variar utilizando un 
parámetro para que puedan tocar siempre a la directriz. 
 
 
La vista superior nos permite ver como la pendiente de todas las rectas generatrices es igual a 3, puesto que todas 
son paralelas. Pero cada una de ellas tendrá una ordenada al origen diferente, puesto que se está moviendo al 
seguir a la directriz. Está ordenada al origen será otro parámetro. 
 
 
De esta forma, podemos escribir a la directriz y a la generatriz así 
 
 
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑥2 + 𝑧2 = 4
𝑦 = 0
 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑦 = 3𝑥 + 𝛼
𝑧 = 𝛽
 
 
 
La generatriz presenta dos parámetros, por lo tanto se requiere de una directriz, la cual sí conocemos. Entonces 
es aplicable el método de las generatrices. 
 
 
PASO 1. Con la generatriz y la directriz, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos a una ecuación de 
condición. 
 
𝑠𝑖 𝑦 = 0 ⟹ 3𝑥 + 𝛼 = 0 ∴ 𝑥 = −
𝛼
3
 
 
 
 
 
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Con este resultado, y sabiendo que 𝑧 = 𝛽, escribimos la ecuación de condición 
 
 
(−
𝛼
3
)
2
+ 𝛽2 = 4 ⟹ 
𝛼2
9
+ 𝛽2 = 4 
 
 
PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y la ecuación de condición se eliminan los parámetros, hasta llegar a una 
ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. 
 
 
De la generatriz 
𝛼 = 𝑦 − 3𝑥 ; 𝑧 = 𝛽 
 
 
Entonces, al sustituir en la ecuación de condición 
 
 
(𝑦 − 3𝑥)2
9
+ 𝑧2 = 4 Ecuación de la superficie 
 
 
Esta ecuación la podemos llevar a su forma general al desarrollar los cuadrados y simplificar 
 
 
9𝑥2 + 𝑦2 + 9𝑧2 − 6𝑥𝑦 − 36 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otra perspectiva. Usaremos por generatrices a una familia de 
circunferencias paralelas al plano XZ, con radio 2 y el centro cambiando de posición sobre el eje del cilindro. 
 
 
 
La directriz será la recta sobre la costilla superior del cilindro, y por lo tanto, siempre está a la altura 𝑧 = 2 
 
Vista lateral Vista superior 
 
 
 
La pendiente de la recta directriz es 𝑚 = 3 con 
relación sólo de las variables 𝑥 , 𝑦 
 
 
La coordenada en 𝑧 del centro de las circunferencias siempre será cero, mientras que el valor de 𝑥 se encuentra 
en frecuente cambio. 
 
 
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En base a lo anterior, podemos escribir las ecuaciones de la directriz y la generatriz: 
 
 
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑦 = 3𝑥
𝑧 = 2
 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
(𝑥 − 𝛼)2 + 𝑧2 = 4
𝑦 = 𝛽
 
 
 
PASO 1. Con la generatriz y la directriz, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos a una ecuación de 
condición. 
 
𝑠𝑖 𝑧 = 2 → (𝑥 − 𝛼)2 + (2)2 = 4 ⟹ (𝑥 − 𝛼)2 = 0 ∴ 𝑥 = 𝛼 
 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 𝛽 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ö𝑛: 𝛽 = 3𝛼 
 
 
PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y la ecuación de condición se eliminan los parámetros, hasta llegar a una 
ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. 
 
 
𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = 3𝛼 → 𝛼 =
𝑦
3
 
 
 
Al sustituir en la generatriz 
( 𝑥 −
𝑦
3
 )
2
+ 𝑧2 = 4 
 
 
Desarrollando los términos algebraicos 
 
𝑥2 −
2
3
𝑥𝑦 +
𝑦2
9
+ 𝑧2 = 4 
 
 
Multiplicando todo por 9 e igualando a cero 
 
 
9𝑥2 + 𝑦2 + 9𝑧2 − 6𝑥𝑦 − 36 = 0 
 
 
Que es la misma ecuación cartesiana obtenida anteriormente. 
 
 
 
 
 
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Vamos a plantear una superficie reglada en la cual, 
las rectas generatrices siempre toquen a la recta en 
color rojo 
 
2𝑦 = 3𝑧 
 
 
que se encuentra contenida en el plano 𝑥 = 5 , y 
también tocarán a la recta contenida en el eje Y. 
 
 
 
Como las generatrices siempre tocarán al eje Y, 
siempre tendrán la cota al origen referido al eje Z con 
valor cero, pero sus pendientes deberán ir cambiando 
conforme se mueven en planos paralelos al plano XZ 
 
 
Por lo tanto, la generatriz puede escribirse así 
 
 
𝐺 ∶ { 
𝑧 = 𝛼𝑥
𝑦 = 𝛽 
 
 
 
La directriz es una recta contenida en el plano 𝑥 = 5 
con pendiente 
𝑚 =
2
3
 
 
 
en relación a las variables 𝑦 , 𝑧 por lo tanto 
 
𝐷 ∶ { 𝑧 =
2
3
𝑦
𝑥 = 5
 
 
 
 
Tenemos una directriz para dos parámetros, por lo tanto podemos aplicar el método de las generatrices. 
 
 
 
 
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PASO 1. Con la generatriz y la directriz, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos a una ecuación de 
condición. 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 = 5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧 = 5𝛼 
 
 
𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑦 = 𝛽 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 
 
 
5𝛼 =
2
3
𝛽 𝐸𝑐 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y la ecuación de condición se eliminan los parámetros, hasta llegar a una 
ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. 
 
𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝛼 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝛼 =
𝑧
𝑥
 
 
 
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 5
𝑧
𝑥
=
2
3
𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑦𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 
 
 
Acomodando los términos 
15𝑧 = 2𝑥𝑦 ⟹ 15𝑧 − 2𝑥𝑦 = 0 
 
 
Que es la ecuación cartesiana de un paraboloide hiperbólico girado 45° con relación a los ejes 𝑋 , 𝑌 
 
 
 
 
 
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Ahora vamos a plantear un ejemplo con dos directrices. Se trata de un hiperboloide elíptico de 1 manto. 
 
 
Las generatrices son una familia de elipses paralelas al 
plano XY, que cuando cambian de altura, cambian los 
radios mayor y menor de cada elipse. 
 
 
Entonces podemos escribir sus ecuaciones así 
 
 
𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ∶ { 
𝑥2
𝛼2
+
𝑦2
𝛽2
= 1
𝑧 = 𝛾
 
 
 
Como la generatriz presenta tres parámetros, se necesitan de dos directrices para poder aplicar el método de las 
generatrices. 
 
 
La primera directriz será la hipérbola en color rojo 
contenida en el plano XZ 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas son: 
 
 
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 1 ∶ { 𝑥
2 −
𝑧2
9
= 1
𝑦 = 0
 
 
 
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La segunda directriz será la hipérbola en color verde 
contenida en el plano YZ 
 
 
Sus ecuaciones cartesianas son: 
 
 
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 2 ∶ { 
𝑦2
4
−
𝑧2
9
= 1
𝑥 = 0
 
 
 
 
 
PASO 1. Con la generatriz, y para cada una de las directrices, se eliminan las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 con lo que llegamos 
a una ecuación de condición por cada directriz. 
 
 
Empecemos con la generatriz y la directriz 1: 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑦 = 0 → 
𝑥2
𝛼2
= 1 ⟹ 𝑥2 = 𝛼2 
 
 
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 𝛾 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 1 
 
 
𝛼2 −
𝛾2
9
= 1 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 1 
 
 
Continuamos con la generatriz y la directriz 2: 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 = 0 → 
𝑦2
𝛽2
= 1 ⟹ 𝑦2 = 𝛽2 
 
 
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 𝛾 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 2 
 
 
𝛽2
4
−
𝛾2
9
= 1 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 2 
 
 
 
 
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PASO 2. Utilizando sólo a la generatriz y las ecuaciones de condición se eliminan los parámetros, hasta llegar a 
una ecuación que sólo tendrá a las variables 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. 
 
𝐺 ∶ { 
𝑥2
𝛼2
+
𝑦2
𝛽2
= 1
𝑧 = 𝛾
 𝐶1 ∶ 𝛼
2 −
𝛾2
9
= 1 𝐶2 ∶ 
𝛽2
4
−
𝛾2
9
= 1 
 
 
Al sustituir 𝑧 = 𝛾 en ambas ecuaciones de condición 
 
 
𝛼2 −
𝑧2
9
= 1 → 𝛼2 = 1 +
𝑧2
9
 
𝛽2
4
−
𝑧2
9
= 1 → 𝛽2 = 4 ( 1 +
𝑧2
9
 ) 
 
 
Con estos últimos resultados en la generatriz 
 
 
 𝑥2 
1 +
𝑧2
9
+
𝑦2
4 ( 1 +
𝑧2
9 
)
= 1 
 
 
El divisor común se traslada al segundo lado de la igualdad 𝑥2 +
𝑦2
4
= 1 +
𝑧2
9
 
 
 
𝑥2 +
𝑦2
4
−
𝑧2
9
= 1 
 
 
𝐸𝑐 𝑑𝑒 𝑢𝑛 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑜 
 
 
Desarrollando los términos e igualando con cero 
 
 
36𝑥2 + 9𝑦2 − 4𝑧2 − 36 = 0 
 
 
Existen muchas formas de elegir directrices y generatrices. Algunas serán más sencillas y otras serán más 
elaboradas. Sólo la práctica podrá ayudarnos a elegir adecuadamente.