SEMANA 1 1 SIST DE MEDIDA ANGULAR NEO 2021-II - Patricia Torres

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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
PRE 2021-II
1.1 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
1.2 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
1,1
Definición:
Es aquel ángulo generado por la rotación de un rayo en un plano,
alrededor de un punto fijo, llamado vértice, desde una posición inicial
(lado inicial) hasta una posición final (lado final).
 : medida del ángulo trigonométrico
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
A
B

O : vértice
OA : lado inicial
OB : lado final
O
Convención:
 Cuando el rayo gira en el sentido de las manecillas de un reloj
(sentido horario) se generan ángulos de medida negativa, mientras
que, cuando el rayo gira en sentido contrario a las manecillas de un
reloj (sentido antihorario), se generan ángulos de medida positiva.
Sentido antihorario Sentido
horario
Observaciones
:
 La magnitud de un ángulo trigonométrico asume cualquier valor
real.
Ángulo de una
vuelta
 Cuando el rayo gira en sentido antihorario hasta que el lado final
coincide por primera vez con el lado inicial, se denomina ángulo
de una vuelta o una revolución.
Consideración:
 Para operar ángulos trigonométricos, estos deben estar dibujados
con el mismo tipo de rotación, de preferencia antihorario, pues las
propiedades que vamos a utilizar son geométricas y los ángulos
deben tener medida positiva. Por ello se recomienda el siguiente
criterio para cambiar el sentido en que se genera el ángulo:
θ
𝑶
𝑩
𝑨
–θ
𝑶
𝑩
𝑨
APLICACIÓN 01:
De acuerdo a lo mostrado en el gráfico,
exprese x en función de β y θ.
𝐃
𝐂
𝐁
𝐎 𝐀
𝛃
𝛉
𝐱
A) 90o + β − θ B) 90o − β + θ
C) θ + β − 90o D) θ − β − 90o
E) β − θ − 90o
RESOLUCIÓN:
Como sabemos, debemos colocar todos los ángulos en sentido
antihorario, para poder aprovechar alguna propiedad geométrica.
Cambiando la rotación se tiene:
𝐃
𝐂
𝐁
𝐎 𝐀
−𝛃
𝛉
𝐱
Completamos la medida del ángulo AOB:
𝛉 − 𝐱
Observe ahora que:
θ − x + −β = 90°
θ − x − β = 90°
Finalmente: x = θ − β − 90°
CLAVE: D
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
I. SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado
sexagesimal (1°), que se define como la 360ava parte del ángulo de una
vuelta, es decir:
En este sistema se tienen como subunidades el minuto
sexagesimal (1′) y el segundo sexagesimal (1′′), donde:
Consideracione
s: 
 a°b′c" = a° + b′ + c"  a° = 60a′  a° = 3600a"  a′ = 60a"
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚
𝟑𝟔𝟎
= 𝟏𝐨 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎
𝐨
𝟏𝐨 = 𝟔𝟎′ 𝟏′ = 𝟔𝟎" 𝟏𝐨 = 𝟑𝟔𝟎𝟎"
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
II. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un grado centesimal 
(1g), que se define como la 400ava parte del ángulo de una vuelta, es decir:
En este sistema se tienen como subunidades el minuto centesimal (1m) y 
el segundo centesimal (1s), donde: 
Consideraciones: 
 agbmcs = ag + bm + cs  ag = 100am  ag = 10000as  am = 100as
𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚
𝟒𝟎𝟎
= 𝟏𝐠 𝐦∡𝟏𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟒𝟎𝟎𝐠
𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝐦 𝟏𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝐬 𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐬
Donde: π ≈ 3,141593
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
III. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O INTERNACIONAL:
Es el sistema cuya unidad fundamental de medida es un radián (1rad), que
se define como la medida del ángulo central en una circunferencia, que
subtiende en ella un arco de igual longitud que el radio de dicha
circunferencia.
O
A
B
R
R
L
θ
Además, se demuestra que:
https://www.youtube.com/watch?v=NMjWyyB3mpA
En la figura: Si: L = R ⇒ 𝛉 = 𝟏𝐫𝐚𝐝
π ≈ 3 + 2 π ≈
22
7
𝐦∡𝟏 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟐𝛑𝐫𝐚𝐝
https://www.youtube.com/watch?v=NMjWyyB3mpA
RELACIONES ENTRE LAS UNIDADES DE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
De donde:
Simplificando:
Se sabe que: m∢1vuelta <> 360° <> 400g <> 2πrad
𝟏𝟖𝟎° <> 𝟐𝟎𝟎𝐠 <> 𝛑𝐫𝐚𝐝
𝟗° <> 𝟏𝟎𝐠 <>
𝛑
𝟐𝟎
𝐫𝐚𝐝
𝟐𝟕′ <> 𝟓𝟎𝐦 𝟖𝟏" <> 𝟐𝟓𝟎𝐬
Consideración: 
 Dado que:m∡1vuelta <> 360° <> 400g <> 2πrad ⇒ 1rad > 1° > 1g
9o <> 10g
⇒ 9 60′ <> 10(100m)
⇒ 27′ <> 50m
CONVERSIÓN DE UNIDADES ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR:
Es el proceso de cambio de unidades en que se expresa un ángulo. El
método a utilizar será el del FACTOR DE CONVERSIÓN, que consiste en
multiplicar la medida del ángulo a convertir por una fracción que vale 1,
pero que estará escrita con dos medidas equivalentes; una en el
numerador en las unidades del sistema que deseamos y otro en el
denominador en las unidades del sistema que ya no deseamos.
Por ejemplo:
01) Convertir: θ = 54º al sistema radial
Multiplicamos a: θ = 54º × m ∢ sistema radial 
m ∢ sistema sexagesimal 
⇒ θ = 54° ×
πrad
180°
⇒ θ =
3π
10
rad
02) Convertir: θ = 40g al sistema radial
Multiplicamos a: θ = 40g × m ∢ sistema radial 
m ∢ sistema centesimal 
⇒ θ = 40g ×
πrad
200g
⇒ θ =
π
5
rad
03) Convertir: θ = 63º al sistema centesimales
Multiplicamos a: θ = 63º ×
m ∢ sistema centesimal 
m ∢ sistema sexagesimal 
⇒ θ = 63° ×
10g
9°
⇒ θ = 70g
Consideraciones adicionales: 
 1rad ≈ 57°17′44,8"  1rad ≈ 63g66m19,8s
04) Convertir: θ = 
π
48
rad al sistema sexagesimal
Multiplicamos a: θ = 
π
48
rad ×
m ∢ sistema sexagesimal
m ∢ sistema radial
⇒ θ =
π
48
rad ×
180°
πrad
⇒ θ = 3°45′
θ = 3,75°⇒ θ = 3° + 0,75(60′)
⇒ θ = 3° + 45′
APLICACIÓN 02:
Sabiendo que: a + b + c = 65; además:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
aob′c"+boc′a" + coa′b" = xoy′z“
Calcular:
x
y + z
RESOLUCIÓN:
En la condición: aob′c"+boc′a" + coa′b" = xoy′z"
Descomponiendo y agrupando convenientemente:
ao + b′ + c" + bo + c′ + a" + co + a′ + b" = xoy′z"
a + b + c o + b + c + a ′ + c + a + b " = xoy′z"
65 65 65
Tendríamos entonces:
xoy′z" = 65o + 65′ + 65"
xoy′z" = 65o + 66′ + 5" ⇒ xo y′z" = 66o + 6′ + 5"
⇒ x°y′z" = 66o6′5"
x = 66
y = 6
z = 5
Piden calcular:
x
y + z
=
66
6 + 5
x
y + z
= 6
CLAVE: D
APLICACIÓN 03:
A) 30 B) 34 C) 35 D) 49 E) 50
Si se cumple que:
2π
7
rad ≈ 5ao2b′4c" . Calcular: a2 + b2 + c2
RESOLUCIÓN:
Vamos a convertirlo al sistema sexagesimal: θ =
2π
7
rad ×
180o
πrad
=
360o
7
θ ≈ 51,42857143o
θ ≈ 51o + 0,42857143o
Sea: θ =
2π
7
rad
= 51o + 0,42857143(60′)
θ ≈ 51o + 25,7142858′ = 51o + 25′ + 0,7142858′
= 51o + 25′ + 0,7142858(60")
θ ≈ 51o + 25′ + 42,85" ⇒ θ ≈ 51o25′43"
2π
7
rad ≈ 51o25′43" = 5ao2b′4c" ⇒ a = 1; b = 5; c = 3
Piden: a2 + b2 + c2 = 12 + 52 + 32
Finalmente:
a2 + b2 + c2 = 35
Entonces:
CLAVE: C
APLICACIÓN 04:
De la figura calcule la medida radial del
ángulo positivo AOB; si además x > 0.
𝐁
𝐎
𝐀
𝟓𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 ′
𝟏𝟎 + 𝐱 − 𝟗𝐱𝟐
𝐦
A)
π
30
B)
π
20
C)
π
15
D)
π
10
E)
π
9
RESOLUCIÓN:
Colocando los ángulos en sentido antihorario:
𝐁
𝐎
𝐀
𝟓𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 ′
𝟗𝐱𝟐 − 𝐱 − 𝟏𝟎
𝐦
Sea: θ = 5x2 − 2x − 15 ′
Lo convertimos a minutos
centesimales para poder igualar:
θ = 5x2 − 2x − 15 ′ ×
50m
27′
=
50
27
5x2 − 2x − 15 m
Igualamos: 50
27
5x2 − 2x − 15 = 9x2 − x − 10
Operando: 7x2 − 73x − 480 = 0 ⇒ 7x + 32 x − 15 = 0
Como x > 0 ⇒ x = 15
⇒ m∡AOB = 1080′ = 18o ×
πrad
180o
Finalmente:
m∡AOB =
π
10
rad CLAVE: D
RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LAS MEDIDAS DE UN MISMO ÁNGULO EN 
LOS TRES SISTEMAS
Se cumple que: S° <> Cg <> Rrad
𝑆°
A
B
O 𝐶
𝑔 𝑅 𝑟𝑎𝑑
De donde: S°
360°
=
Cg
400g
=
Rrad
2πrad
Reduciendo: 𝐒
𝟏𝟖𝟎
=
𝐂
𝟐𝟎𝟎
=
𝐑
𝛑
De donde también:
𝐒
𝟗
=
𝐂
𝟏𝟎
=
𝟐𝟎𝐑
𝛑
Donde:
S: número de grados sexagesimales
C: número de grados centesimales
R: número de radianes; de un mismo ángulo
Si medimos un ángulo en los
tres sistemas conocidos:
Observaciones importantes:
 Si el ángulo es generado en sentido antihorario:
 Si el ángulo es generado en sentido horario:
Siendo S el número de grados sexagesimales, C el número de grados
centesimales y R el número de radianes de un mismo ángulo; se cumple:
𝐂 > 𝐒 > 𝐑
𝐂 < 𝐒 < 𝐑
 Para un ángulo no
nulo:
𝐒
𝐂
=
𝟗
𝟏𝟎
 De la relación general: 𝐒
𝟏𝟖𝟎
=
𝐂
𝟐𝟎𝟎
=
𝐑
𝛑
𝐒 = 𝟏𝟖𝟎𝐤; 𝐂 = 𝟐𝟎𝟎𝐤;𝐑 = 𝛑𝐤
𝐒 = 𝟗𝐤; 𝐂 = 𝟏𝟎𝐤;𝐑 =
𝛑𝐤
𝟐𝟎
 Para todo ángulo: 𝟏𝟎𝐒 = 𝟗𝐂
𝐒
𝐑
=
𝟏𝟖𝟎
𝛑
𝐂
𝐑
=
𝟐𝟎𝟎
𝛑
APLICACIÓN05:
A) 1 B) 1,25 C) 1,5
D) 2,25 E) 2,75
Siendo S, C y R los números de grados sexagesimales, grados
centesimales y radianes, que contiene un ángulo no nulo; simplifique:
9πC2 − 500SR
10πS2 − 540CR
RESOLUCIÓN:
Sea U la expresión, ordenamos: U =
9πC2 − 500SR
10πS2 − 540CR
=
9C πC − 10S 50R
10S πS − 9C 60R
Recuerde que: 10S = 9C
Simplificando: U =
πC − 50R
πS − 60R
S = 180k
C = 200k
R = πk
⇒ U =
π(200k) − 50(πk)
π(180k) − 60(πk)
=
150πk
120πk
Finalmente: U =
9πC2 − 500SR
10πS2 − 540CR
= 1,25 CLAVE: B
APLICACIÓN 06:
Calcule la medida radial de un ángulo si su número de grados
sexagesimales (S), número de grados centesimales (C) y número de
radianes (R); verifican: R2 + 2SR
C2 + C R + S − 10C
=
π
200
A)
π
8
B)
π
6
C)
π
5
D)
π
4
E)
π
2
RESOLUCIÓN:
En la condición, factorizando:
R R + 2S
C C + R + S − 10
=
π
200
Recuerde que:
C
200
=
R
π
⇒
R
C
=
π
200
Simplificando:
R + 2S
C + R + S − 10
= 1 ⇒ R + 2S = C + R + S − 10 ⇒ C − S = 10
Ahora utilizaremos: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
Reemplazamos en: C – S = 10
10k − 9k = 10 ⇒ k = 10
La medida radial es: R =
πk
20
=
π(10)
20
Finalmente:
R =
π
2 CLAVE: E
APLICACIÓN 07:
Calcule la medida radial de un ángulo si su número de grados
sexagesimales y número de grados centesimales son dos múltiplos
consecutivos de 5.
A)
π
8
B)
π
6
C)
π
5
D)
π
4
E)
π
2
RESOLUCIÓN:
Interpretando el enunciado:
Número de grados sexagesimales: S = 5k
Número de grados centesimales: C = 5(k + 1)
Sabemos que:
S
C
=
9
10
⇒ 10S = 9C
Reemplazando:
5k
5(k + 1)
=
9
10
⇒ k = 9
El número de grados sexagesimales es:
S = 5k = 5 9 = 45
Si el ángulo es x, su medida es:
x = 45o ×
πrad
180o
Finalmente:
x =
π
4
CLAVE: D
Consideraciones adicionales:
Sistema # de grados # de minutos # de segundos
Sexagesimal S 60S 3600S
Centesimal C 100C 10000C
Sistema Ángulo Complemento Suplemento
Sexagesimal S 90 – S 180 – S 
Centesimal C 100 – C 200 – C 
Radial R
π
2
− R π − R
1. Relación entre los números de grados, minutos y segundos de un mismo 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal.
2. Relación entre los números de grados sexagesimales, centesimales y
radianes complemento y el suplemento de un mismo ángulo en los tres
sistemas.
APLICACIÓN 08:
A)
π
8
B)
π
6
C)
π
5
D)
π
4
E)
π
2
Calcule la medida radial de un ángulo si su número de minutos
centesimales excede a su número de minutos sexagesimales en 1840.
RESOLUCIÓN:
Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; hacemos:
a: número de minutos sexagesimales ⇒ a = 60S
b: número de minutos centesimales ⇒ b = 100C
Interpretando el enunciado: b − a = 1840
Reemplazando: 100C − 60S = 1840
Utilizaremos: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
100C − 60S = 1840 ⇒ 100(10k) − 60(9k) = 1840
⇒ 460k = 1840 ⇒ k = 4
El número de radianes es: R =
πk
20
=
π(4)
20
Finalmente:
R =
π
5
CLAVE: C
APLICACIÓN 09:
A)
π
40
B)
π
50
C)
π
80
D)
π
120
E)
π
200
Calcule la menor medida radial que puede tomar un ángulo, si la
diferencia de la doscientava parte de su número de segundos
centesimales y la ciento veinteava parte de su número de segundos
sexagesimales es igual a: x2 + 4x + 27; x ∈ ℝ
RESOLUCIÓN:
Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; hacemos:
a: número de minutos sexagesimales ⇒ a = 3600S
b: número de minutos centesimales ⇒ b = 10000C
Interpretando el enunciado:
b
200
−
a
120
= x2 + 4x + 27
Reemplazando:
10000C
200
−
3600S
120
= x2 + 4x + 4 + 23
50C − 30S = x + 2 2 + 23
Utilizaremos: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
⇒ 50(10k) − 30(9k) = x + 2 2 + 23
Nos quedaría: 230k = x + 2 2 + 23 Sabemos que: ∀x ∈ ℝ: x2 ≥ 0
De esta manera: x + 2 2 ≥ 0 ⇒ x + 2 2 +23 ≥ 23
230k
⇒ 230k ≥ 23 ⇒ k ≥
1
10
Para que la medida radial sea la menor posible, el valor de k debe ser el menor:
R =
πk
20
⇒ kmínimo =
1
10
La menor medida radial sería: Rmínimo =
πkmínimo
20
=
π
20
1
10
Finalmente:
Rmínimo =
π
200 CLAVE: E
Consecuencias importantes: (∀x ∈
ℝ; a, b y c son constantes)
 𝐒𝐢: 𝐤 = 𝐚 + 𝐱𝟐 ⇒ 𝐤𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨 = 𝐚; 𝐱 = 𝟎  𝐒𝐢: 𝐤 = 𝐚 − 𝐱
𝟐 ⇒ 𝐤𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨 = 𝐚; 𝐱 = 𝟎
 𝐒𝐢: 𝐤 = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜; 𝐚 > 𝟎 ⇒ 𝐤𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨 =
𝟒𝐚𝐜−𝐛𝟐
𝟒𝐚
; 𝐱 = −
𝐛
𝟐𝐚
 𝐒𝐢: 𝐤 = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜; 𝐚 < 𝟎 ⇒ 𝐤𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨 =
𝟒𝐚𝐜−𝐛𝟐
𝟒𝐚
; 𝐱 = −
𝐛
𝟐𝐚
APLICACIÓN 10:
A)
π
8
B)
π
6
C)
π
5
D)
π
4
E)
3π
8
Calcule la medida radial de un ángulo si la suma de los números que
representan su medida en los tres sistemas es igual al triple de la suma
de los números que representan el complemento de dicho ángulo, en los
mismos sistemas.
RESOLUCIÓN:
Si para el ángulo S, C y R son lo conocido; interpretamos:
S + C + R = 3 90 − S + 100 − C +
π
2
− R
Operando convenientemente: S + C + R = 3 190 +
π
2
− 3 S + C + R
4 S + C + R = 3
380 + π
2
Utilizaremos: S = 180k; C = 200k; R = πk
⇒ 4 180k + 200k + πk = 3
380 + π
2
4k 380 + π = 3
380 + π
2
⇒ k =
3
8
⇒ R = πk = π
3
8
Finalmente: R =
3π
8
4 S + C + R = 3
380 + π
2
CLAVE: E
PROBLEMA 01
De acuerdo a lo mostrado en el
gráfico, señale la relación que
verifican la medidas de los ángulos
trigonométricos mostrados.
A) β–  = 90° B) θ − β = 90°
C) β − θ = 90° D) β +  = 90°
E) β +  = −90°
𝛃
𝛉
𝐎
𝐃
𝐂
𝐁
𝐀
RESOLUCIÓN:
Como sabemos, debemos colocar todos los ángulos en sentido
antihorario, para poder aprovechar alguna propiedad geométrica.
Después de los cambios, tendríamos el siguiente gráfico:
𝛃−𝛉
𝐎
𝐃
𝐂
𝐁
𝐀
Completamos ángulos: ∡BOC
𝟗𝟎° − 𝛃
Observe ahora que:
90° − β + −θ = 180°
−β − θ = 180° − 90°Ordenando:
Finalmente:
β + θ = −90° CLAVE: E
PROBLEMA 02
En la figura mostrada, calcule el valor de ,
cuando β adopta su menor valor entero.
4β° − α°
β° − α°
α° − β°A) 122 B) 121 C) 119
D) 118 E) 116
RESOLUCIÓN:
Colocando los ángulos en sentido antihorario, se tiene:
4β° − α°
α° − β°
α° − β°
Observe que: α° − β° > 0° ⇒ α > β
4β° − α° > 0° ⇒ α < 4β
Además: 2 α° − β° + 4β° − α° = 180°
2β + α = 180 ⇒ α = 180 − 2β
Como: α < 4β ⇒ 180 − 2β < 4β
6β > 180 ⇒ β > 30
⇒ βmínimo entero = 31
Luego, como: α = 180 − 2β ⇒ α = 180 − 2(31)
Finalmente:
α = 118 CLAVE: D
PROBLEMA 03
Si en la figura OP es bisectriz del
ángulo AOB, calcular:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
𝛉𝐠
𝐀
𝐁
𝐂
𝐏
𝐎
𝛂𝐎
𝛃′
β
9θ − 10α
RESOLUCIÓN:
Como puedes ver en la figura, tenemos ángulos cuya medida está
expresada en diferentes unidades y con diferente tipo de rotación.
Entonces habrá que realizar cambios de rotación y conversiones…
−𝛉𝐠
𝐀
𝐁
𝐂
𝐏
𝐎
−𝛂𝐎
𝛃′
Colocando los ángulos en sentido antihorario, se tiene:
Completamos la medida del ángulo POB:
−𝛂𝐨 − −𝛉𝐠Pero como OP es bisectriz del ángulo AOB:
m∡AOP = m∡POB
⇒ β′= −αo + θg
Convirtiendo al sistema sexagesimal:
β
60
o
= −αo + θg ×
9o
10g
⇒
β
60
=
9θ
10
− α ⇒
β
60
=
9θ − 10α
10
⇒
β
9θ − 10α
=
60
10
Finalmente:
β
9θ − 10α
= 6
CLAVE: E
PROBLEMA 04:
Se crea un nuevo sistema de medición angular M, cuya unidad 1∗
resulta ser la trescientava parte del ángulo de una vuelta. Si en un
triángulo sus ángulos interiores miden 75∗; 7x + 4 o y
π
6
rad. Calcular x.
A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
RESOLUCIÓN:
En el sistema M:
m∡1vuelta
300
= 1∗ ⇒ m∡1vuelta = 300∗
Entonces: 𝟑𝟎𝟎∗ <> 𝟑𝟔𝟎𝐨 ⇒ 𝟓∗ <> 𝟔𝐨
Sea ABC el triángulo 
mencionado:
𝟕𝟓∗
𝟕𝐱 + 𝟒 𝐨
𝛑
𝟔
𝐫𝐚𝐝
𝐀
𝐁
𝐂
Como: m∡A +m∡B +m∡C = 180o
Convertiremos al sistema sexagesimal:
m∡B = 75∗ ×
6o
5∗
= 90o
m∡C =
π
6
rad ×
180o
πrad
= 30o 7x + 4 O + 90o + 30o = 180o
⇒ 7x + 124 = 180
Finalmente: x = 8
Como:m∡A +m∡B +m∡C = 180°
CLAVE: D
PROBLEMA 05
Si el número de minutos sexagesimales que contiene un ángulo se expresa
como: a ≠ 0
a +
7
a
2
+ 7a −
1
a
2
+ 8. Calcular la medida centesimal de dicho ángulo si
es la menor posible.
A) 1m B) 2m C) 1g D) 2g E) 4g
RESOLUCIÓN:
Del enunciado, si el ángulo mide z′; entonces: z = a +
7
a
2
+ 7a −
1
a
2
+ 8
Desarrollando: z = a2 + 2 a
7
a
+
49
a2
+ 49a2 − 2 7a
1
a
+
1
a2
+ 8
Reduciendo: z = 50a2 +
50
a2+ 8 = 50 a2 +
1
a2
+ 8
Recuerde que: ∀𝐱 > 𝟎: 𝐱 +
𝟏
𝐱
≥ 𝟐 ∀𝐱 > 𝟎: 𝐱 +
𝟏
𝐱
𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨
= 𝟐 ⇔ 𝐱 = 𝟏
En la última relación: z = 50 a2 +
1
a2
+ 8
Para que la medida centesimal del ángulo sea la menor posible, la medida
sexagesimal también lo debe ser. Entonces:
zmínimo = 50 a
2 +
1
a2
+ 8
mínimo = 2
⇒ zmínimo = 50 2 + 8 ⇒ zmínimo = 108
La medida sexagesimal mínima sería: 108′
Convertimos al sistema centesimal:108′ ×
50m
27′
= 200m
Finalmente: menor medida centesimal = 2g CLAVE: D
Consideración importante: (∀𝐱 ∈ ℝ − 𝟎 )
 𝐒𝐢 𝐱 > 𝟎 ⇒ 𝐱 +
𝟏
𝐱
≥ 𝟐  𝐒𝐢 𝐱 < 𝟎 ⇒ 𝐱 +
𝟏
𝐱
≤ −𝟐
Una forma de demostrar:
Sea: 𝑘 = 𝑥 +
1
𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ − 0 ⇒ 𝑥2 − 𝑘𝑥 + 1 = 0
En la ecuación de segundo grado: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−𝑘) ± (−𝑘)2−4(1)(1)
2(1)
El discriminante: 𝑘2 − 4 ≥ 0⇒ (𝑘 + 2)(𝑘 − 2) ≥ 0
⇒ 𝑥 =
𝑘 ± 𝑘2 − 4
2
⇒ 𝑘 ≤ −2 𝑜 𝑘 ≥ 2
∗ 𝑆𝑖 𝑥 < 0 ⇒ 𝑥 +
1
𝑥
≤ −2; 𝑥 +
1
𝑥 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
= −2 ⇔ 𝑥 = −1
∗ 𝑆𝑖 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 +
1
𝑥
≥ 2; 𝑥 +
1
𝑥
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
= 2 ⇔ 𝑥 = 1
PROBLEMA 06:
Si los números de grados sexagesimales (S) y grados centesimales (C)
de un ángulo positivo; cumplen:
S = n5 −
1
n
; C = n5 +
6
n
Calcule la medida centesimal de dicho ángulo.
A) 24g B) 27g C) 32g D) 35g E) 42g
RESOLUCIÓN:
Partimos de la relación: 10S = 9C ⇒ 10 n5 −
1
n
= 9 n5 +
6
n
Operando: ⇒ n = 2
Luego, como piden la medida centesimal, calculamos: C = 25 +
6
2
⇒ C = 35
Finalmente:
10n5 −
10
n
= 9n5 +
54
n
⇒ n5 =
64
n
⇒ n6 = 64
medida centesimal = 35g CLAVE: D
PROBLEMA 07
Siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo; cumpliéndose que:
10πS + 7R2
18πC − 13R2
+
20πC − 13R2
9πC + 7R2
= 2. Calcular la medida radial de dicho ángulo.
A) 27 B) 45 C) 60 D) 90 E) 270
RESOLUCIÓN:
En la condición, usaremos: 10S = 9C
10πS + 7R2
18πC − 13R2
+
20πS − 13R2
9πC + 7R2
= 2 ⇒
10πS + 7R2
9C 2π − 13R2
+
20πS − 13R2
9C π + 7R2
= 2
10πS + 7R2
10S 2π − 13R2
+
20πS − 13R2
10S π + 7R2
= 2 ⇒
10πS + 7R2
20πS − 13R2
+
20πS − 13R2
10πS + 7R2
= 2
Observa que: 𝐚 𝟏/𝐚
Tendríamos entonces la siguiente igualdad:
a +
1
a
= 2; donde: a =
10πS + 7R2
20πS − 13R2
Igualdad que solo es posible si: 𝐚 = 𝟏 ⇒
10πS + 7R2
20πS − 13R2
= 1
⇒ 10πS + 7R2 = 20πS − 13R2 ⇒ 20R2 = 10πS
Despejando convenientemente: 2R = π
S
R
⇒ 2R = π
180
π
⇒ R = 90
Finalmente:
medida radial = 90rad
CLAVE: D
PROBLEMA 08:
Se tiene un ángulo generado en sentido antihorario, medido en los tres
sistemas conocidos, de manera que la diferencia del cuádruplo del
intermedio de dichos números con el triple del mayor, es igual a:
x − 2 2 + 8 − x 2. Calcule la menor medida radial de dicho ángulo.
A)
π
20
B)
π
10
C)
3π
20
D)
π
5
E)
π
4
RESOLUCIÓN:
Sea el ángulo positivo θ, tal que:
S: número de grados sexagesimales
C: número de grados centesimales
R: número de radianes
𝐂 > 𝐒 > 𝐑Interpretando:
4S − 3C = x − 2 2 + 8 − x 2
Usaremos: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
Reemplazamos y operamos:
4 9k − 3 10k = x2 − 4x + 4 + 64 − 16x + x2
6k = 2x2 − 20x + 68 ⇒ 3k = x2 − 10x + 34
3k = x2 − 10x + 25 + 9 ⇒ 3k = x − 5 2 + 9
𝐱 − 𝟓 𝟐
A partir de la última relación: 3k = 9 + x − 5 2
Para que la medida sea la menor posible: k ⟶ mínimo
3kmínimo = 9 + x − 5
2
𝟎
⇒ kmínimo = 3
Luego, la menor medida radial
es:
Rmínimo =
πkmínimo
20
=
π(3)
20
Finalmente: menor medida radial =
3π
20
rad CLAVE: C
Consideración 
importante:
 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨
=
𝐤𝟐
𝟐
; 𝐚 = 𝐛 =
𝐤
𝟐
 𝐚𝐛 𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨 =
𝐤𝟐
𝟒
; 𝐚 = 𝐛 =
𝐤
𝟐
Si: 𝐚 + 𝐛 = 𝐤; 𝐤: 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
Una forma de demostrar:
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 + 𝑏 = 𝑘
𝑆𝑒𝑎: Σ = 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ Σ = 𝑎2 + (𝑘 − 𝑎)2
⇒ Σ = 2𝑎2 − 2𝑘𝑎 + 𝑘2
Σ =
𝑘2
2
+ 2 𝑎 −
𝑘
2
2
Completando cuadrados:
⇒ Σ𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜=
𝑘2
2
𝑆𝑒𝑎: 𝑃 = 𝑎𝑏 ⇒ 𝑃 = 𝑎(𝑘 − 𝑎)
⇒ 𝑃 = 𝑎𝑘 − 𝑎2
Completando cuadrados:
𝑃 =
𝑘2
4
− 𝑎 −
𝑘
2
2
⇒ 𝑃𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜=
𝑘2
4
De esta forma, otra forma de resolver el problema; interpretando, sería:
4S − 3C = x − 2 2 + 8 − x 2 ⇒ 4 9k − 3 10k = x − 2 2 + 8 − x 2
⇒ 6k = x − 2 2 + 8 − x 2
Como: 𝐱 − 𝟐 + 𝟖 − 𝐱 = 𝟔 ⇒ 𝐱 − 𝟐 𝟐 + 𝟖 − 𝐱 𝟐
𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨
=
𝟔𝟐
𝟐
= 𝟏𝟖
Además: x − 2 = 8 − x ⇒ x = 5
Luego: 6kmínimo = 18 ⇒ kmínimo = 3
Entonces, la menor medida radial es: Rmínimo =
πkmínimo
20
=
π(3)
20
Finalmente:
menor medida radial =
3π
20
rad CLAVE: C
PROBLEMA 09:
Calcule la medida radial del menor de dos ángulos suplementarios, si el
número de grados centesimales del mayor excede al número de grados
sexagesimales del menor en 48.
A)
π
4
B)
π
5
C)
2π
5
D)
3π
5
E)
3π
4
RESOLUCIÓN:
Planteando:
De los datos: x1 > x2
S1 + S2 = 180 C1 − S2 = 48
Sumando: C1 + S1 = 228
S1 = 9k;
C1 = 10k;
R1 =
πk
20
Reemplazando:
10k + 9k = 228 ⇒ k = 12
Ángulo Sexagesimal Centesimal Radial
𝐱𝟏 𝐒𝟏 𝐂𝟏 𝐑𝟏
𝐱𝟐 𝐒𝟐 𝐂𝟐 𝐑𝟐
Luego, su medida radial es:
R1 =
πk
20
=
π(12)
20
Finalmente:
R1 =
3π
5
CLAVE: D
PROBLEMA 10:
Si el producto de los números que representan el complemento de un
ángulo en el sistema sexagesimal y su suplemento en el sistema
centesimal, es igual a 2160; calcule la medida radial de dicho ángulo.
A)
π
4
B)
π
5
C)
2π
5
D)
3π
5
E)
3π
4
RESOLUCIÓN:
Planteando:
Ángulo Sexagesimal (S) Centesimal (C)
Complemento 𝟗𝟎 − 𝐒 𝟏𝟎𝟎 − 𝐂
Suplemento 𝟏𝟖𝟎 − 𝐒 𝟐𝟎𝟎 − 𝐂
Interpretando: 90 − S 200 − C = 2160
Reemplazamos: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
90 − 9k 200 − 10k = 2160
10 − k 20 − k = 24
Operando:
200 − 30k + k2 = 24
⇒ k2 − 30k + 176 = 0
Factorizando: k2 − 30k + 176 = 0
k − 8 k − 22 = 0
k = 8
k = 22 …no lo puede tomar
Si tomamos: k = 8 ⇒ R =
π(8)
20
Finalmente:
R =
2π
5 CLAVE: C
PROBLEMA 11:
Si la diferencia de los recíprocos de los números de minutos
sexagesimales y minutos centesimales de un ángulo es igual a
23/1350; calcular la medida centesimal de dicho ángulo.
A) 10m B) 20m C) 30m D) 40m E) 50m
RESOLUCIÓN:
Sea el ángulo:θ
No grados sexagesimales: S
No grados centesimales: C
Interpretando:
1
60S
−
1
100C
=
23
1350
⇒
1
6S
−
1
10C
=
23
135
Reemplazamos: S = 9k; C = 10k
⇒
1
6(9k)
−
1
10(10k)
=
23
135
⇒
1
54k
−
1
100k
=
23
135
⇒
23
2700k
=
23
135
⇒ k =
1
20
Entonces, la medida centesimal es:
C = 10k ⇒ C = 10
1
20
=
1
2
Entonces: θ =
1g
2
=
100m
2
Finalmente: θ = 50m CLAVE: E
PROBLEMA 12
Si la diferencia de la ciento veinteava parte del número de segundos
sexagesimales de un ángulo con la cuatrocientava parte de su número de
segundos centesimales, es igual a:
9x2 + 16(x + 1)
x
; x > 0. Calcular la menor medida radial de dicho
ángulo.A)
π
40
B)
π
20
C)
π
10
D)
π
9
E)
π
5
RESOLUCIÓN:
Planteando: Sistema # de grados # de minutos # de segundos
Sexagesimal S 60S 3600S
Centesimal C 100C 10000C
#seg. sexagesimales
120
−
#seg. centesimales
400
=
9x2 + 16x + 16
x
Reemplazando: 3600S
120
−
10000C
400
=
9x2 + 16x + 16
x
30S − 25C =
9x2
x
+
16x
x
+
16
x
Reduciendo y 
ordenando:
S = 9k
C = 10k
R =
πk
20
Entonces, la expresión quedaría así:
30 9k − 25 10k = 9x +
16
x
+ 16 ⇒ 20k = 9x +
16
x
+ 16… (1)
Recuerde que ∀𝐱 ∈ ℝ: 𝐱𝟐 ≥ 𝟎
Dados a y b números reales positivos: a − b
2
≥ 0 ⇒ a − 2 ab + b ≥ 0
⇒ 𝐚 + 𝐛 ≥ 𝟐 𝐚𝐛
Entonces, tomando en cuenta (1); ya que: x >
0
9x +
16
x
≥ 2 9x
16
x
⇒ 9x +
16
x
≥ 24 ⇒ 9x +
16
x
+ 16 ≥ 24 + 16
20k
⇒ k ≥ 2
Como la medida radial debe ser mínima: k ⟶ mínimo ⇒ 𝐤𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨 = 𝟐
Luego, la menor medida radial es: Rmínimo =
πkmínimo
20
=
π(2)
20
Finalmente: menor medida radial =
π
10
rad
CLAVE: C
Consideraciones finales:
 Si x > 0
A partir de a, b ∈ ℝ+: a + b ≥ 2 ab
⇒ 𝐚𝐱 +
𝐛
𝐱
𝐦í𝐧𝐢𝐦𝐨
= 𝟐 𝐚𝐛 ⇔ 𝐱 =
𝐛
𝐚
 También:
⇒ ax +
b
x
≥ 2 ab
 Si x < 0 ⇒ a x +
b
x
≥ 2 ab ⇒ a −x +
b
−x
≥ 2 ab
⇒ ax +
b
x
≤ −2 ab ⇒ 𝐚𝐱 +
𝐛
𝐱
𝐦á𝐱𝐢𝐦𝐨
= −𝟐 𝐚𝐛 ⇔ 𝐱 = −
𝐛
𝐚
a + b ≥ 2 ab ⇒
𝐚 + 𝐛
𝟐
≥ 𝐚𝐛
Desigualdad de medias:
media aritmética ≥ media
geométrica
En general: 𝐚𝟏 + 𝐚𝟐 + 𝐚𝟑 +⋯+ 𝐚𝐧
𝐧
≥
𝐧
𝐚𝟏 𝐚𝟐 𝐚𝟑 … 𝐚𝐧 ;∀𝐚𝟏, 𝐚𝟐, 𝐚𝟑, … , 𝐚𝐧 > 𝟎
 La desigualdad se convierte en igualdad si: 𝐚𝟏 = 𝐚𝟐 = 𝐚𝟑 = ⋯ = 𝐚𝐧
PROBLEMA 13
Si la medida centesimal de un ángulo α se expresa como:
πS2
36
+
2
CR
g
; siendo S, C y R lo conocido para un ángulo β generado en
sentido antihorario.
A)
6 π
10
B)
6
3π
10
C)
6
2π3
10
D)
6
3π3
10
E)
33 π
10
Si la medida de α es la menor posible, calcular la raíz cúbica del producto
de los números de radianes ambos ángulos.
RESOLUCIÓN:
El número de grados centesimales de α
es:
Cα =
πS2
36
+
2
CR
Por desigualdad de medias:
πS2
36 +
2
CR
2
≥
πS2
36
2
CR
De donde, ordenando convenientemente:
πS2
36
+
2
CR
≥ 2
π
18
S
C
S
R
⇒ Cα ≥ 2
π
18
9
10
180
π
⇒ Cα ≥ 6
Como la medida centesimal de α debe ser mínima: Cα mínimo = 6
Entonces la medida de α es: α = 6g
Convertimos a radianes: α = 6g ×
πrad
200g
⇒ α =
3π
100
rad
Para que Cα tome su mínimo valor, se verifica la igualdad de medias; lo cual 
implica que:
πS2
36
+
2
CR
2
=
πS2
36
2
CR
⇒
πS2
36
=
2
CR
Resolviendo:
πS2
36
=
2
CR
⇒ S2C R =
72
π
⇒ 9k 2 (10k) (
πk
20
) =
72
π
⇒ k4 =
16
9π2
⇒ k =
2
3π
Entonces la medida radial de β es:
R =
πk
20
=
π
20
2
3π
⇒ β =
3π
30
rad
Piden:
x =
3 3π
100
3π
30
=
3 3 π 3
1000
Finalmente:
x =
6
3π3
10 CLAVE: D
PROBLEMA 01
En la figura mostrada L1 y L2 son rectas
paralelas, determine una relación entre , β y .
A) + β–  = 540° B) + β–  = 360°
C) – β +  = 360° D)  + β– = 180°
E) β–+  = 540°
α
β
θ
L1
L2
RESOLUCIÓN:
Colocando los ángulos en sentido antihorario, se tiene:
β
θ
L1
L2
−𝛂
𝟑𝟔𝟎° − 𝛃
𝟏𝟖𝟎° + 𝛂
Ahora, nota que: 180° + α + 360° − β = θ
⇒ 540° + α − β = θ
Completando ángulos:
Finalmente:
β − α + θ = 540° CLAVE: E
PROBLEMA 02
Si: a°b′c′′ + b°c′a′′ + c°a′b′′ = 5a + b °b′
Donde: a + b + c = 60; calcule: 2b + c
c − a + b
A) 1/7 B) 3/7 C) 5/6 D) 6/7 E) 7/6
RESOLUCIÓN:
De: a°b′c′′ + b°c′a′′ + c°a′b′′ = a + b + c ° + b + c + a ′ + (c + a + b)′′
5a + b °b′ = 60° + 60′ + 60" = 60° + 1° + 1′ = 61°1′
b = 1
Piden:
2b + c
c − a + b
=
2 1 + 47
47 − 12 + 1
Finalmente:
2b + c
c − a + b
=
7
6
CLAVE: E
a = 12
c = 47
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA 03
α′ − αm = 100m;Si se cumple que: calcule el valor de:
23α
50
A) 50 B) 54 C) 56 D) 60 E) 65
Recordamos la equivalencia: 27′ <> 50m
En la condición: α′(
50m
27′
) − αm = 100m ⇒
50α
27
− α = 100 ⇒
23α
27
= 100
⇒ 23α = 100(27)
Finalmente:
23α
50
= 54
CLAVE: B
PROBLEMA 04
Si θ =
π
7
rad; es la medida de un ángulo que también se puede expresar
como: θ = 2a°b2′c1′′ b < 6 y c < 6 o θ = 2pgq7mr4s q < 9 y r < 9
Calcule: p + q + r − (
)
a + b +
c .
A) − 3 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 3
RESOLUCIÓN:
Convertimos a grados sexagesimales: θ =
π
7
rad <>
180°
7
≈ 25,7142°
Expresamos 25,7142° en grados minutos y segundos:
θ = 25,7142° = 25° + 0,7142(60′)
⇒ θ = 25° + 42,852′ = 25° + 42′ + 0,852(60")⇒ θ = 25° + 42′ + 51,12"
⇒ θ = 25°42′51" = 2a°b2′c1" ⇒ 𝐚 = 𝟓; 𝐛 = 𝟒; 𝐜 = 𝟓
Convertimos a grados centesimales: θ =
π
7
rad <>
200g
7
≈ 28,5714g
Expresamos 28,5714g en grados minutos y segundos:
θ = 28,5714g = 28g + 0,5714(100m)
⇒ θ = 28g + 57,14m = 28g + 57m + 0,14(100s) ⇒ θ = 28g + 57m + 14𝑠
⇒ θ = 28g57m14s = 2pgq7mr4s ⇒ 𝐩 = 𝟖; 𝐪 = 𝟓; 𝐫 = 𝟏
Piden: p + q + r − a + b + c = 8 + 5 + 1 − 5 + 4 + 5
Finalmente:
p + q + r − a + b + c = 0 CLAVE: C
PROBLEMA 05
Del gráfico adjunto, calcule:
x
360 + y (y − 40)g
x′A)1/54 B) 53 C) 54
D) 55 E) 56
RESOLUCIÓN:
Colocando los ángulos en sentido 
antihorario:
De la figura planteamos:
x′ + 40 − y g = 360°
(y − 40)g
x′
(40 − y)g
x′
Convertimos al sistema sexagesimal:
x′ ×
1°
60′
+ 40 − y g ×
9°
10g
= 360°
Operando:
x
60
+
9(40 − y)
10
= 360 ⇒ x + 54 40 − y = 21600
⇒ x + 2160 − 54y = 21600 ⇒ x − 54y = 19440
⇒ x = 54(360 + y)
Finalmente:
x
360 + y
= 54
CLAVE: C
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA 06
Si se crea un nuevo sistema de medida angular donde una vuelta equivale
a 300 grados de dicho sistema y a su vez cada grado posee 20 minutos y
cada minuto 20 segundos, ¿a cuántos segundos del nuevo sistema
equivale un segundo centesimal?
A) 3/100 B) 7/100 C) 1/50 D) 1/100 E) 1/40
Sea 1n la unidad en el nuevo sistema 
además:
1min la subunidad para los minutos
1seg la subunidad para los segundos
Dato del problema: m∡1vuelta = 300n; 1n = 20min; 1min = 20seg
⇒ 1s
1g
10000s
300n
m∡1V
m∡1V
400g
20min
1n
20seg
1min
× × × ××
Finalmente: 1s =
3
100
seg
CLAVE: A
PROBLEMA 07
Sabiendo que: SC = RS. Calcule S1/9. Siendo S, C y R los números de
grados sexagesimales, centesimales y radianes de un ángulo no nulo.
A)
π
45
B)
π
60
C)
π
72
D)
π
90
E)
π
180
RESOLUCIÓN:
En la condición: SC = RS ⇒ R = S C/S ⇒ R = S10/9…(1)
Pero:
S
180
=
R
π
⇒ R =
Sπ
180
En (1):
Sπ
180
= S10/9 ⇒
π
180
=
S10/9
S
Finalmente:
S1/9 =
π
180
CLAVE: E
PROBLEMA 08
Sean los ángulos complementarios α y β, tal que el triple del número de
grados sexagesimales de α, es igual al número de grados centesimales de
β. Entonces el número de radianes del menor de dichos ángulos es:
A)
3π
37
B)
4π
37
C)
5π
37
D)
6π
37
E)
7π
37
RESOLUCIÓN:
Del enunciado:
Ángulo Sexagesimal Centesimal
𝜶 𝑺𝜶 𝑪𝜶
𝜷 𝑺𝜷 𝑪𝜷
Datos:
Sα + Sβ = 90 3Sα = Cβ
3Sα + 3Sβ = 270 ⇒ Cβ + 3Sβ = 270
Haremos los cambios: S = 9k; C = 10k; R =
πk
20
Cβ + 3Sβ = 270 ⇒ 10k + 3(9k) = 270 ⇒ k =
270
37
⇒ β =
πk
20
⇒ β =
π
20
270
37
⇒ β =
27π
74
Entonces: α =
π
2
−
27π
74
=
10π
74
Finalmente: α =
5π
37 CLAVE: C
PROBLEMA 09
Si las medidas de un ángulo trigonométrico no nulo en distintas
unidades están dadas de la siguiente forma:
π
z
x
4
−
3y
5
x"; ym o
z
100
rad;
Calcule:
A) 1500 B) 1200 C) 900 D) 750 E) 600
RESOLUCIÓN:
Sea θ el ángulo en mención, para el cual:
S: número de grados sexagesimales
C: número de grados centesimales
R: número de radianes
De los datos: x = 3600S y = 100C
R =
z
100
⇒ z = 100R
Sea P la expresión pedida, la ordenamos: P =
π
z
x
4
−
3y
5
=
π
4
x
z
−
3π
5
y
z
Reemplazando: P =
π
4
3600S
100R
−
3π
5
100C
100R
Simplificando y cambiando S,C y R en función de una constante 
k:
P =
π
4
36(180k)
(πk)
−
3π
5
200k
(πk)
S = 180k
C = 200k
R = πk
Reduciendo: P = 1620 − 120
Finalmente: P = 1500 CLAVE: A
PROBLEMA 01
En la figura mostrada OP es bisectriz del
ángulo AOB y OQ es bisectriz del ángulo
COD, ¿Cuál de las siguientes relaciones
entre  y β es correcta?
O
α
β
A
B
C
D
PQ
A) α + β = 300° B) α − β = 300°
C) α + β = 315° D) α − β = 315°
E) α − β = 33°
PROBLEMA 02
Si se cumple: (S + C)3 = C4 – SC3, siendo S y C los números que
representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal respectivamente. Calcule C.
A)
19
10
B)
192
10
C)
193
10
D)
193
100
E)
194
1000
PROBLEMA 03
Siendo S, C y R los números de grados sexagesimales, centesimales y
radianes de un mismo ángulo, determine la medida de dicho ángulo, si se
cumple:
C +
S + R
2
= 583,1416
A) 180g B) 180° C) 360g D) 400g E) 720°
PROBLEMA 04
En el gráfico mostrado se cumple
Calcule α, si β adopta su mayor valor posible.
β =
1500x
x2 + 6x + 4
, x > 0
α°
β°
A) − 150 B) − 120 C) 120 D) 150 E) 240
PROBLEMA 05
Entre las 5 y las 6. ¿A qué hora las agujas del minutero y horario
forman por primera vez un ángulo recto?
A) 4 hrs 5 min y 6/11 seg B) 5 hrs 10 min y 54 6/11 seg
C) 5 hrs 5 min y 53 6/11 seg D) 5 hrs 10 min y 53 6/11 seg
E) 4 hrs 10 min y 54 6/11 seg
PROBLEMA 06
Se crea un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad fundamental
es el grado 1A, que se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 81
partes iguales. Las subunidades de este sistema son:
1A < > 50AA, 1AA< > 40AAA
Entonces el equivalente de 27° en este sistema es
A) 6A+ 7AA+ 5AAA B) 7A+ 6AA+ 5AAA C) 6A+ 3AA+ 30AAA
D) 7A+ 2AA+ 27AAA E) 6A+ 2AA+ 30AAA