Pre 01-15 Nociones Básicas Semana 1a Resolución - Jared Sánchez

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1a
CONJUNTOS CONVEXOS 
SEGMENTOS - ÁNGULOS
MATERIAL DE ESTUDIO
2021-2
Problemas del 01 al 15
PROBLEMA 01
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. La distancia entre dos puntos diferentes es un número real.
II. Alguna intersección de dos semirrectas es un segmento sin los
extremos.
III. El axioma es una proposición que se admite sin demostración.
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVF E) VVV
RESOLUCIÓN 01
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. La distancia entre dos puntos diferentes es un número real.
II. Alguna intersección de dos semirrectas es un segmento sin los extremos.
III. El axioma es una proposición que se admite sin demostración.
I. Falsa:
Por postulado es un número mayor que cero.
II. Verdadera.
A B
La intersección de las semirrectas es el segmento AB sin los 
extremos.
III. Verdadera.
Por definición.
Clave: B 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Alguna intersección de dos segmentos contenidos en una recta es el
vacío.
II. La unión de dos rayos no colineales con un punto en común es un
ángulo.
III. Para cada par de puntos distintos de una recta, existen infinitos puntos
de la recta que están entre dichos puntos.
A)FFV B) VFV C)VVF
D)FVV E) FVF
PROBLEMA 02
RESOLUCIÓN 02 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Alguna intersección de dos segmentos contenidos en una recta es el vacío.
II. La unión de dos rayos no colineales con un punto en común es un ángulo.
III. Para cada par de puntos distintos de una recta, existen infinitos puntos de
la recta que están entre dichos puntos.
I. Verdadera:
A B DC
En la figura, los segmentos AB y CD no se intersecan.
II. Falsa:
En la figura, la unión de los rayos no es un ángulo.
III. Verdadera:
Se deduce a partir de la definición de segmentos.
Clave: B 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si dos ángulos no se intersecan entonces cada uno de ellos está
contenido en el exterior del otro.
II. Si una partición de un plano consta de tres elementos los cuales
son conjuntos convexos, entonces uno de ellos es una recta.
III.Dos rectas paralelas determinan en el plano que lo contiene alguna
partición de 5 elementos.
A) FVF B) FFF C) FVV
D) VVV E) VVF
PROBLEMA 03
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si dos ángulos no se intersecan entonces cada uno de ellos está
contenido en el exterior del otro.
II. Si una partición de un plano consta de tres elementos los cuales son
conjuntos convexos, entonces uno de ellos es una recta.
III. Dos rectas paralelas determinan en el plano que lo contiene alguna
partición de 5 elementos.
RESOLUCIÓN 03
I. Falsa:
En la figura, el ángulo PQR esta contenido en el interior del 
ángulo AOB.
Q
R
PA
B
OII. Verdadera:
Se deduce a partir del postulado de la separación del plano.
III. Verdadera:
La partición consta de los dos semiplanos, las dos 
rectas y la figura comprendida entre las dos rectas.
Clave: C 
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Sea S la unión de dos rectas secantes contenidas en un plano P.
Entonces existe una partición de P – S , formado por cuatro conjuntos
convexos.
II. Una colección de subconjuntos y disjuntos de un conjunto dado es una
partición de dicho conjunto.
III.Alguna unión de dos conjuntos convexos y disjuntos es un conjunto
convexo.
A)VFV B) FFV C) VVF 
D)FVV E) FFF
PROBLEMA 04
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Sea S la unión de dos rectas secantes contenidas en un plano P. Entonces
existe una partición de P – S , formado por cuatro conjuntos convexos.
II. Una colección de subconjuntos y disjuntos de un conjunto dado es una
partición de dicho conjunto.
III. Alguna unión de dos conjuntos convexos y disjuntos es un conjunto
convexo.
RESOLUCIÓN 04
I. Verdadera:
S1
S2
S3
S4
{S1 ,S2, S3 ,S4} es una partición de P – S y cada uno de los 
elementos de la partición es un conjunto convexo.
II. Falsa:
Se deduce a partir de la definición de una partición.
III. Verdadera:
A BC
El rayo AB y la semirrecta AC son dos conjuntos 
convexos y disjuntos.
Clave: A 
PROBLEMA 05
A)VFV B)VVF C)VFF
D)FFV E)FFF
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si A – C – B, entonces par todo punto D, AB ∩ CD es un conjunto
convexo.
II. BC − B, C es un conjunto convexo.
III. Si A, B y C son colineales, entonces A – B – C.
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si A – C – B, entonces para todo punto D, AB ∩ CD es un conjunto convexo.
II. BC − B, C es un conjunto convexo.
III. Si A, B y C son colineales, entonces A – B – C.
RESOLUCIÓN 05
I. Verdadera:
Un segmento y un rayo son conjuntos convexos, entonces por teorema la 
intersección de ellos es un conjunto convexo.
II. Verdadera:
Se deduce a partir de la definición de conjunto convexo.
III. Falsa
En la figura , los puntos A, B y C son colineales; 
pero, B – A – C.
AB C
Clave: B 
PROBLEMA 06
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo que 
BD + AC +BE + AD + CE = (AE)(BD). Calcule 
1
AE
+
1
BD
.
A) 
1
3
B) 3 C)
1
2
D) 2 E)
1
6
RESOLUCIÓN 06 
• En la recta se ubican los puntos A, B, C, D y E
• Según los datos: 
• Por hallar :
BD + AC +BE + AD +CE = (AE)(BD)
BD + AE +BD + DE + AD = (AE)(BD)
BD + AE +BD + AE = (AE)(BD)
2(BD + AE) = (AE)(BD)
• •• • •
EDCBA
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo 
que BD + AC +BE + AD + CE = (AE)(BD). Calcule 
1
AE
+
1
BD
.
1
AE
+
1
BD
1
AE
+
1
BD
=
1
2
Clave: C 
PROBLEMA 07
Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Si
A) m-4 B) m+2 C) m D) m-1 E) m-3
AC
BC
+ 
BD
CD
+
CE
DE
+
DF
EF
= m, calcule 
AB
BC
+ 
BC
CD
+
CD
DE
+
DE
EF
.
RESOLUCIÓN 07
• En la recta se ubican los puntos A, B, C, D, E y F
x = m - 4 
• Por calcular:
• • •• • •
FEDB CA
Clave: A 
AC
BC
+
BD
CD
+
CE
DE
+
DF
EF
= m
x = 
AB
BC
+
BC
CD
+
CD
DE
+
DE
EF
AB+ BC
BC
+
BC+CD
CD
+
CD+DE
DE
+
DE+EF
EF
= m
AB
BC
+ 1 +
BC
CD
+ 1 +
CD
DE
+ 1 +
DE
EF
+ 1 = m
Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Si
AC
BC
+ 
BD
CD
+
CE
DE
+
DF
EF
= m, calcule 
AB
BC
+ 
BC
CD
+
CD
DE
+
DE
EF
.
PROBLEMA 08 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que B
es punto medio de AD. Si se cumple que (AC)(AD) = 32 y
2
AC
=
1
AB
+
1
CD
,
entonces CD es
RESOLUCIÓN 08
• Dato: (AC)(AD) = 32 
(2m-x) ( 2m) = 32
→(2m-x) ( m) = 16 … (1)
• Efectuando:
2mx = ( 2m-x)m +(2m-x)x … (2) 
• Reemplazando (1) en (2)
2mx - (2m-x)x= 16
x = 4 
• Además
• • ••
A B C D
m m
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que 
B es punto medio de AD. Si se cumple que (AC)(AD) = 32 y 
2
AC
= 
1
AB
+
1
CD
, 
entonces CD es
2
AC
= 
1
AB
+
1
CD
→ 
2
2m − x
= 
1
m
+
1
x
x
Clave: C 
PROBLEMA 09
Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F tal que
AC = CE = EF y 2(BC)=3(DE). Calcule
BE2 − AB2
DF2 − CD2
.
A) 
3
4
B) 
2
3
C)
9
4
D)
4
9
E)
3
2
RESOLUCIÓN 09 
• Se pide:
• Reemplazando datos
• • •• • •
FEDB CA
m m m
3k 2k
Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F tal que
AC = CE = EF y 2(BC)=3(DE). Calcule
BE2 − AB2
DF2 − CD2
.
BE2 − AB2
DF2 − CD2
(m + 3k)2 − (m − 3k)2
(m + 2k)2 − (m − 2k)2
= 
12mk
8mk
=
3
2
Clave: E 
PROBLEMA 10
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. La intersección de dos ángulos como máximo son cuatro puntos.
II. 5x es la medida de un ángulo agudo entonces el máximo valor entero 
de x es 17.
III. 6x es la medida de un ángulo obtuso entonces el mínimo valor entero 
de x es16.
A) FFF B) FVF C) VFV
D) FVV E) FFV
05
RESOLUCIÓN 10
03
Indique el valor de verdad de cada una de lasproposiciones:
I. La intersección de dos ángulos como máximo son cuatro puntos.
II. 5x es la medida de un ángulo agudo entonces el máximo valor entero 
de x es 17.
III.6x es la medida de un ángulo obtuso entonces el mínimo valor entero 
de x es 16.
Como 5x < 90 → x < 18
Luego x máximo valor entero = 17
I. Falsa
La intersección puede ser 
infinitos puntos
II. Verdadera
III. Verdadera Como 90 < 6x → 15 < x
Luego x mínimo valor entero = 16
Clave: D 
PROBLEMA 11
Sean AOB, BOC, COD y DOE ángulos consecutivos y sus
medidas están en progresión geométrica de razón 2 en ese orden. Si
mAOE = 120, calcule la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos BOC y DOE.
A) 56 B) 76 C) 72
D) 74 E) 62
05
RESOLUCIÓN 11
03
Sean AOB, BOC, COD y DOE ángulos consecutivos y sus
medidas están en progresión geométrica de razón 2 en ese orden .Si
mAOE = 120, calcule la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos BOC y DOE.
A B
C
D
4β
• Piden mMON
• Del gráfico mMON = β + 4β + 4β
→mMON = 9β…..(1)
• Como mAOE=120 
15β = 120 →β =8
• Luego en (1)
mMON = 9(8) →mMON =72
M
N
E
4β4β
β
8β
2β
β β
O
Clave: C 
PROBLEMA 12
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que la
m∠BOC excede a la m∠AOB en 40 y la m∠COD excede a la m∠AOB en
20, luego se trazan las bisectrices OM, ON, OQ, OE y OF de los ángulos
AOB, BOC, COD, MON y NOQ respectivamente. Calcule m∠BOE - m∠COF.
A) 15 B)12 C) 10 D) 5 E) 1
RESOLUCION 12
M 
Q
N 
α
2
+ 10
α
2
+ 10
α
2
+ 15
α
2
+ 15
E
F
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que la
m∠BOC excede a la m∠AOB en 40 y la m∠COD excede a la m∠AOB en 20,
luego se trazan las bisectrices OM, ON, OQ, OE y OF de los ángulos AOB,
BOC, COD, MON y NOQ respectivamente. Calcule m∠BOE - m∠COF.
α
α + 20
A
B
C
DO
α
2
α
2 α
2
+ 20
α
2
+ 20
α
2
+ 10
α
2
+ 10
=10
= 5
= 5
Clave: D 
• m∠BOE = 
α
2
+10 -
α
2
• m∠COF = 
α
2
+15 –( 
α
2
+ 10)
→m∠BOE – m∠COF
PROBLEMA 13
Sean AOB, BOC y COD ángulos consecutivos de modo que
mAOB = 24 y mCOD = 40. Halle la medida del ángulo formado por
las bisectrices de los ángulos AOC y BOD.
A) 36 B) 16 C) 22
D) 24 E) 32
05
RESOLUCIÓN 13 
Sean AOB, BOC y COD ángulos consecutivos de modo que 
mAOB = 24 y mCOD = 40. Halle la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos AOC y BOD. 
A
B
C
D
24
40
x
a
b
• Piden x
• Como OM es bisectriz del AOC 
→ x + b = 24 + a…..(1)
• Como ON es bisectriz del BOD
→ x + a = b + 40…..(2)
• Luego sumando (1) y (2)
2x + a + b = 64 + a + b 
→ x =32
M
N
O
Clave: E 
PROBLEMA 14
Dos ángulos conjugados internos, determinados entre dos rectas
paralelas, miden θ y nθ donde n es entero y menor que 5 .Calcular la
suma de valores de θ.
A) 213 B) 118 C) 112
D) 231 E) 233
01
RESOLUCIÓN 14
Dos ángulos conjugados internos, determinados entre dos rectas
paralelas, miden θ y nθ donde n es entero y menor que 5 .Calcular la
suma de valores de θ.
Clave: D 
• Piden x : suma de valores de θ
siendo n < 5
• Se sabe : θ + nθ = 180
θ(1+n) = 180
• Para n = 1 → θ = 90
Para n = 2 → θ = 60
Para n = 3 → θ = 45
Para n = 4 → θ = 36
• Luego
x = 90 + 60 + 45 +36
→ x = 231
θ
nθ
L1
L2
PROBLEMA 15
En el exterior de un AOB que mide 50 se trazan una recta L y las
semirrectas paralelas AT y BQ, tal que mOAT= 2θ y mOBQ = 3θ.
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si L es paralela a las semirrectas entonces θ=46.
II. Si L es secante a las semirrectas entonces θ= 10.
III. Las semirrectas opuestas a las semirrectas AT y BQ están
contenidas en el interior del ángulo.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) VFF E) VVF
05
RESOLUCIÓN 15
En el exterior de un AOB que mide 50 se trazan una recta L y las
semirrectas paralelas AT y BQ, tal que mOAT = 2θ y mOBQ = 3θ. Indique
el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Si L es paralela a las semirrectas entonces θ=46.
II. Si L es secante a las semirrectas entonces θ= 10.
III. Las semirrectas opuestas a las semirrectas AT y BQ están contenidas
en el interior del ángulo.
Clave: E 
2θ
Q
T
O
A
B
3θ
50
180-3θ180-2θ
O
A
B
50
3θ
2θ
T
I. Verdadera: II. Verdadera:
Q
180-2θ + 50+ 180-3θ = 180
5θ = 230 → θ = 46
Por teorema
2θ + 3θ =50
→ θ = 10
III. Falsa:
O
A
B
L
L