3 Relaciones P - Laura Blanco Carmona (1)

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RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo: Anual virtual UNI
Docente: Luis Gutierrez
Lógica 
proposicional
II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
RECORDAR DE LA SEMANA PASADA
CONECTIVOS 
LÓGICOS
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
LEYES DE LÓGICA PROPOSICIONAL Ley Asociativa
• p  ( q  r ) ≡ ( p  q )  r
• p  ( q  r ) ≡ ( p  q )  r
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Ley de Idempotencia
• p  p≡ p
• p  p≡ p
Ley Conmutativa
• p  q≡ q  p
• p  q≡ q  p
• p q≡ q p
Ley Distributiva
• p  ( q  r ) ≡ ( p  q )  ( p  r )
• p  ( q  r ) ≡ ( p  q )  ( p  r )
Ley de Identidad
• p  V ≡ p
• p  F ≡ F
• p  V ≡ V
• p  F ≡ p
Ley de Elemento Neutro
• p  V ≡ p
• p  F ≡ p
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
LEYES DE LÓGICA PROPOSICIONAL
Ley de Morgan
• ~ (p  q)≡ ~ p  ~ q
• ~ (p  q)≡ ~ p  ~q
Ley de Absorción
• p  (p  q)≡ p
• p  (p  q)≡ p
• p  (~ p  q)≡ p  q
• p  (~ p  q)≡ p  q
Ley Condicional
• p→ q≡ ~p  q
• p→ q≡ ~q→ ~p
Ley de la Doble Negación
• ~(~p)≡ p
Ley del Complemento
• p  ~p≡ F
• p  ~p≡ V
Ley Bicondicional
• p q≡ ( p→ q )  ( q→ p )
• p q≡( p  q )  (~p  ~q )
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 1:
Cuál de las siguientes alternativas 
son equivalentes a :
“Si te desabrigas, te resfrías”
I) Si te resfrías, te desabrigaste.
II) No te desabrigues o te 
resfriarás.
III) Si no resfrías, no te 
desabrigas
IV) No te resfrías o te desabrigas
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución:
Simbolicemos:
Te desabrigas = p
Te resfrías = q
La proposición dada será:
p → q 
Ley Condicional
p→ q≡ ~p  q
p→ q≡ ~q→ ~p
La cual equivale a: ~p  q
O también a: ~q → ~p
Luego
I) Si te resfrías, te desabrigaste
II) No te desabrigues o te resfriarás
III) Si no resfrías, no te desabrigas
IV) No te resfrías o te desabrigas
≡ q → p ..…………..( )F 
≡ ~p  q ..…….( )V 
≡ ~q → ~p ……..( )V 
≡ ~q  p …………..( )F 
Sólo hay 2 proposiciones equivalentes
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Aplicación 2:
Es falso que las clases se suspenden o 
la universidad se cierra, si se inician 
las vacaciones . 
Nos han comunicado falsamente que 
ni las clases se suspenden ni la 
universidad cierra.
Luego:
A) Se inician las vacaciones.
B) No se inician las vacaciones.
C) Se suspenden siempre las clases.
D) Las clases no se suspenden
E) La universidad cierra.
Resolución:
Simbolicemos:
Las clases se suspenden = p
La universidad se cierra = q
Se inician las vacaciones = r
Formalizando
r→ ~ ( p  q)[ ]  ~ ( ~ p  ~q )
Morgan
~ (p  q)≡ ~ p  ~ q
~ (p  q)≡ ~ p  ~q
Condicional
p→ q≡ ~p  q
Por condicional y Morgan 
[~ r  ~ ( p  q) ]  ( p  q )
Por absorción
( p  q )  ~ r⇒~ r
No se inician las vacaciones.
Absorción
p  (~ p  q)≡ p  q
p  (~ p  q)≡ p  q
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Aplicación 3:
Simplificar: ( p → ~q )  [ ( q → ~p )  (q → ~r ) ]
A) p  q B) ~ p  ~ q C) p  ~ r D) q  r E) ~ q  ~ r
Resolución:
Aplicando la ley condicional, lo equivalente será:
(~p  ~q )  [ (~ q  ~p )  (~ q  ~r ) ]
Por ley conmutativa :
(~p  ~q )  [ (~ p  ~q )  (~ q  ~r ) ]
Por absorción:
(~p  ~q )
(~p  ~q )
Condicional
p→ q≡ ~p  q
p→ q≡ ~q→ ~p
Conmutativa
p  q≡ q  p
p  q≡ q  p
Absorción
p  ( p  q )≡ p
p  ( p  q )≡ p
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e