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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual virtual UNI Docente: Luis Gutierrez Verdades y Mentiras C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O OBJETIVOS ✓ Relacionar e identificar el valor de verdad bajo ciertas condiciones establecidas. ✓ Obtener conclusiones a partir de un conjunto de proposiciones cuyo valor de verdad se desconoce. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Valor de verdad. Es un valor que indica en qué medida una proposición es verdadera (V) o falsa ( F ) Conceptos Básicos C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O Proposiciones Contradictorias Dos proposiciones son contradictorias cuando se oponen de tal manera que si una es falsa, la otra es verdadera (V y F) Proposiciones Contrarias Dos proposiciones son contrarias cuando al menos hay una proposición falsa entre ellas (no puede ser VV) Ejemplo Adán: Beto llegó último Mateo: Beto no llegó último Ejemplo Adán: Beto llegó último Mateo: Beto llegó primero C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Utilizaremos 2 criterios de resolución para determinar la veracidad o falsedad de dichas proposiciones Por contradicción Por suposición Encontrar 2 proposiciones contradictorias ( F , V) Asumir el valor de verdad (V o F) de alguna proposiciones C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O Criterios de Solución C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O RESOLUCIÓN POR CONTRADICCIÓN Se agrupan las proposiciones contradictorias en forma total, de este modo se tiene una proposición falsa y la otra verdadera. Luego, a partir de las condiciones y ciertas relaciones se obtiene lo que nos piden. Gabriel Carlos C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O El señor Martínez sabe que en uno de los cofres hay un anillo. Si los cofres se encuentran rotulados y si solo una de las proposiciones es verdadera, ¿en qué cofre estará el anillo del señor Martínez? A) en el cofre C B) no está en el cofre A C) en el cofre A D) en el cofre B E) No se puede determinar Aplicación 01: Resolución: De los datos: Hay que buscar 2 rótulos que se contradigan totalmente 1V y 1F F 1V y 2F Como en el cofre A dice que el anillo no está aquí, pero sabemos que esa proposición es falsa, entonces el anillo si está ahí El anillo está en el cofre A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Tres amigos, Hugo, Paco y Luis, tienen la siguiente conversación: Hugo: Yo soy menor de edad. Paco: Hugo miente. Luis: Paco es mayor de edad. Si se sabe que solo uno miente y que solo uno es mayor de edad, ¿quién miente y quién es mayor de edad, respectivamente? C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O A) Paco - Luis B) Hugo - Paco C) Paco - Hugo D) Paco - Paco E) Hugo-Luis Aplicación 02: Resolución: De los datos: Hugo Paco Luis 1F y 2V 1F y 1V V Mayor de edad V F Paco miente y Paco es mayor de edad Contradicción Hay que buscar la Contradicción C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O RESOLUCIÓN POR SUPOSICIÓN A falta de proposiciones que sean contradictorias o proposiciones del cual no se pueda deducir algo, se asigna convenientemente un valor de verdad a una proposición y se examina el valor de verdad de las demás. Luego, cuando se cumplan todas las condiciones dadas habremos obtenido la solución. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O De Carlos, Beto y Jerson se sabe que sólo uno de ellos miente y es el menor de todos. Si Beto dice: Carlos y Jerson son mentirosos, entonces A) Carlos y Jerson son mayores que Beto B) Beto es mayor que Carlos C) Carlos y Jerson son mayores que Beto D) Jerson y Beto son mayores que Carlos E) Beto es mayor que Jerson Aplicación 03: Resolución: De los datos: 1F y 2V Si suponemos que lo que dice Beto es cierto ( V ), entonces habría 2 mentirosos, lo que contradice el dato. Carlos y Jerson son mentirosos Beto Carlos y Jerson son mentirosos Beto Por lo tanto, Beto miente ( F ) y es el menor de todos. Los demás son mayores que él Carlos y Jerson son mayores que Beto V F C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O En los problemas también se puede encontrar algunas proposiciones que nos puede ayudar a generar conclusiones: • José: Néstor es culpable • Pedro: José dice la verdad Las 2 proposiciones tienen el mismo valor de verdad (2V o 2F) • Sara: Miguel tiene 20 años • Laura: Miguel tiene 18 años Son proposiciones contrarias, donde al menos una es falsa. (FF o VF) Observación C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A La policía detuvo a tres sospechosos del robo de un celular. Al ser interrogados respondieron: -Andrés: Bruno se llevó el celular -Bruno: Eso es verdad -Carlos: Yo no me llevé el celular Pero gracias a la información brindada por los testigos en el lugar de los hechos, se llegó a determinar que al menos uno de los sospechosos mentía y al menos uno decía la verdad; además que solo uno cometió el robo. ¿Quién es el culpable? A) Andrés B) Bruno C) Carlos D) ninguno E) Todos Aplicación 04: Resolución: C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O De los datos: 1V y 2F 1F y 2Vo -Andrés: Bruno se llevó el celular -Bruno: Eso es verdad -Carlos: Yo no me llevé el celular …….. ( ) …….. ( ) …….. ( ) Igual valor de verdad ( VV o FF ) V V F -Andrés: Bruno se llevó el celular -Bruno: Eso es verdad -Carlos: Yo no me llevé el celular …….. ( ) …….. ( ) …….. ( ) F F V o Del primer caso. Se deduce que Carlos y Bruno son inocentes, entonces Andrés es culpable Se deduce que Bruno y Carlos serían culpables (sólo hay un culpable) Del segundo caso. Con seguridad Andrés es culpable C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Aplicación 05: Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas rompió una ventana. Sus respuestas son las siguientes: Gaby: Andrea fue. Andrea: Caro fue. Caro: Andrea miente. Betsy: Yo no fui. Si tres de ellas mienten, ¿quién rompió la ventana y quién dice la verdad, respectivamente? A) Gaby - Betsy B) Andrea - Andrea C) Betsy - Caro D) Caro – Betsy E) Betsy-Gaby Resolución: Datos: - Hay una sola culpable. - F , F , F , V Enunciados: Gaby: Andrea fue. Andrea: Caro fue. Caro: Andrea miente. Betsy: Yo no fui. La que rompió la ventana es: Se discute sobre la culpabilidad de Caro F F Nos piden: ( V ; F ) La que dice la verdad es: F V Caro …. ( ) ....…. ( ) …….. ( ) ……….... ( ) C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O Betsy C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O Cuatro alumnas, María, Lucía, Irene y Flora; responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera: Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una cada una, ¿quién acertó en todas las preguntas? A) María B) Lucía C) Irene D) Flora E) Carla Aplicación 06: Resolución: De los datos: Hay que buscar 2 columnas que se contradigan totalmente Significa que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente y la otra falló en todas Si suponemos que Irene contestó todas las preguntas correctamente, Lucía y Flora habrían fallado en 2 preguntas, lo que contradice los datos del problema. María acertó en todas las preguntas w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e C U R S O D E Á L G E B R A
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