7 Relaciones P - Laura Blanco Carmona (1)

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RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual virtual UNI
Docente: Luis Gutierrez
Distribuciones
Numéricas II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
✓ Conocer las características y
propiedades de los cuadrados
mágicos y aplicarlos en la resolución
de problemas de distribución
numérica.
OBJETIVOS
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
CUADRADOS MÁGICOS
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Son distribuciones numéricas particulares que consisten en cuadrículas de igual número de
filas y columnas en las que se cumple que la suma de los números ubicados en cada fila,
columna o diagonal es la misma
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
CUADRADOS MÁGICOS (CUADRADOS MÁGICOS ADITIVOS)
En estas distribuciones cuadriculadas, la suma de los números ubicados en las casillas de cada fila, columna y
diagonal es constante. Esta suma constante se denomina constante mágica..
Cuadrado mágico de orden 3
Coloque los números naturales del 1 al 9 en cada casilla de la figura de modo que cada fila columna y
diagonal presente igual suma.
Paso 1 Paso 2 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Paso 3
1
24
68
5
9
73
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Se observa:
1
24
68
5
9
73
15
15
15
15
15151515
Además: 3+7
2
= 5
9+1
2
= 5
4+6
2
= 5
8+2
2
= 5
También: 3+1
2
= 2
1+7
2
= 4
9+7
2
= 8 
3+9
2
= 6
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
De lo anterior
PROPIEDADES
x=
𝑎+𝑏
2
x ba
x=
𝑚+𝑛
2
x
n
m
x S S = 3x
Suma constante = 
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
3
Término central = 
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
3
También
a
b
c d
a +b = c + d
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Cuadrado mágico de orden 4
Coloque los números naturales del 1 al 16 en cada casilla de la figura de modo que cada fila columna y
diagonal presente igual suma.
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10
13
11
1514
12
16
Paso 1 Paso 2 Paso 3
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10
13
11
1514
12
16 1
2 3
4
5
67
8
9
10
13
11
1514
12
16
34
34
34
34
34
343434
34
34
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Además, para todo cuadrado mágico de orden 4 se cumple que:
16 + 13 + 4 + 1 = 34 = Constante mágica 
11 + 10 + 7 + 6 = 34 = Constante mágica
1
2 3
4
5
67
8
9
10
13
11
1514
12
16
2 + 3 + 14 + 15 = 34 = Constante mágica 
5 + 9 + 8 + 12 = 34 = Constante mágica 
También
Suma constante = 
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4
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CUADRADOS MÁGICOS MULTIPLICATIVOS
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Un cuadrado mágico multiplicativo es una distribución de números en filas y columnas de
igual cantidad en los cuales el producto de números en cualquier fila, columna o diagonal es
el mismo.
Ejemplo
36
1218
23
6
1
94
216
216
216
216
216
216216216
x= 𝑎𝑏
También
x ba x= 𝑚𝑛
x
n
m
x P P=𝑥3
a
b
c d
ab=cd
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Distribuya los nueve primeros
impares en las casillas del recuadro
mostrado, de manera que se
forme un cuadrado mágico de
orden 3. Halle la suma de los
números ubicados en los casilleros
sombreados.
A) 36 B) 45 C) 54 D) 60 E) 25
Aplicación 01: Resolución:
Números a distribuir: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17
Paso 1 Paso 2
1
3
5
7
9
11
17
15
13
Paso 3
1
37
1115
9
17
135
Suma = 45
Piden
15 + 5 + 9 + 13 + 3 = 45
Número Central = 9
Suma pedida = 27 + 27 – 9 = 45
Otra forma:
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En el siguiente cuadrado
mágico. Halle el valor de x + y.
A) 106 
B) 104 
C) 138 
D) 120
E) 124
Aplicación 02:
Resolución:
Suma=106
10 y 12
30
x
Vamos a igualar sumas iguales:
10 y 12
30
x
a
10 + 30 = a + 12
a = 28
𝑥+12
2
= a
x = 44
10 y 12
30
x
x + 30 = y + 12
44 + 30 = y + 12
y = 62
Piden x + y = 44 + 62 = 106
* *
*
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Calcule el producto de las
constantes mágicas de los dos
cuadrados mágicos de orden 3
que se completa con números
enteros, mostrados en el gráfico
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Aplicación 03 Resolución:
Producto=720
A) 240 B) 510 C) 360 D) 820 E) 720
Piden (a + b +8). (c + d + e )= 30x24 = 720
7 8
3
7
1
7 8
3
7
1
a
b
c
d
e
a+3=7+8
a=12
𝑎+8
2
=b
b=10
3+7
2
=c
c=5
d+1=c+7
d=11
𝑐+𝑑
2
=e
e=8
*
*
*
*
*
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Complete el siguiente recuadro
con números enteros distintos,
de tal manera que se obtenga
un cuadrado mágico. Calcule la
suma de los números de una de
las diagonales.
A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40
Aplicación 04: Resolución:
Piden: La constante mágica
x
6+12+b=4+7+16
x=9
Aplicando la definición de
cuadrado mágico se tiene:
Por propiedad se tiene ahora
9
Constante mágica = 6+10+9+13
Constante mágica = 38
La constante mágica es = 38
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Complete el siguiente tablero con
números naturales, de modo que
el producto de los tres números
ubicados en cada fila, columna y
diagonal sea siempre el mismo.
Halle la suma de los números
ubicados en los casilleros
sombreados.
A) 6 B) 10 C) 11 D) 12 E) 8
Aplicación 05: Resolución:
4
12
24
4
12
24
El producto de los números en
cada hilera señalada es la misma
12 x 4 = a x 24
a = 2
b 
a
*
Por propiedad, se tiene:
4
12
24
b 
a
4 = 𝑎𝑏
4 = 2𝑏
*
b = 8
Piden: a + b = 2 + 8 = 10
Suma = 10
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e