clase22 - Zaida Moreno Páez

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Autocorrelación
Clase 22
Econometŕıa I
Tomás Rau Binder
13 de noviembre
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Contenidos
Autocorrelación
Naturaleza y causas de la autocorrelación
Tests de Autocorrelación
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Autocorrelación
La clase pasada vimos que si ut = ρut−1 + εt con ε i.i.d. (0, σ
2
ε
)
1 V (ut) =
σ
2
ε
1−ρ2
= σ2
2 E (ut · ut−1) = ρσ
2
3 E (ut · ut−2) = ρ
2σ2
4 Aśı se puede derivar la siguiente expresión genérica:
E (ut · ut−(T−1)) = ρ
T−1σ2
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Autocorrelación
Entonces:
E [uu′] =







σ2 σ1,2 σ1,3 · · · σ1,T
σ2,1 σ
2 σ2,3 · · · σ2,T
σ3,1 σ3,2 σ
2 · · · σ3,T
...
...
...
. . .
...
σT ,1 σT ,2 σT ,3 · · · σ
2







=







σ2 ρ · σ2 ρ2 · σ2 · · · ρT−1 · σ2
ρ · σ2 σ2 ρ · σ2 · · · ρT−2 · σ2
ρ2 · σ2 ρ · σ2 σ2 · · · ρT−3 · σ2
...
...
...
. . .
...
ρT−1 · σ2 ρT−2 · σ2 ρT−3 · σ2 · · · σ2







Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Autocorrelación
E [uu′] = σ2Ω = σ2







1 ρ ρ2 · · · ρT−1
ρ 1 ρ · · · ρT−2
ρ2 ρ 1 · · · ρT−3
...
...
...
. . .
...
ρT−1 ρT−2 ρT−3 · · · 1







La matriz no es diagonal y tendremos que corregir los errores
estándar de MCO o encontrar un método alternativo de estimación
que corrija el problema.
Antes de ver cómo detectarla y corregirla, veamos las causas.
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Causas de la Autocorrelación
Existe autocorrelación cuando el término de error de un
modelo econométrico está correlacionado consigo mismo a
través del tiempo.
Por supuesto, no es necesario que ut este correlacionado
consigo mismo sólo un periodo atrás, esta correlación puede
ser de cualquier orden, es decir, ut puede ser un AR(1),
AR(2),...,AR(q), etc. Aśı, dependiendo de cual sea el orden de
la autocorrelación en el término de error, la matriz de
varianzas y covarianzas ira tomando distintas formas.
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Causas de la Autocorrelación
La autocorrelación en el término de error puede ser producida por:
Inercia por existencia de ciclos y tendencias: Si la
autocorrelación es positiva (es decir, el coeficiente ρ es
positivo), un valor alto de ut que genera un valor de yt por
sobre su media condicional, tendrá una probabilidad elevada
de ir seguido por un valor alto de ut+1, y por ello, de un valor
de yt+1 por encima del promedio; lo mismo ocurŕıa para yt
debajo del promedio.
Sin embargo, si existe autocorrelación negativa, valores de yt
por sobre su valor promedio condicional irán seguidos, con alta
probabilidad, de valores de yt+1 por debajo de su promedio.
Por lo tanto, la autocorrelación negativa esta asociada a la
existencia de rachas de valores altos y bajos de yt .
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Autocorrelación Positiva (Ciclo)
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Autocorrelación
Autocorrelación Negativa (Ciclo)
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Autocorrelación
Otras Causas de Autocorrelación
Variables omitidas: Omisión de variables relevantesy de
relaciones dinámicas (rezagos de la variable dependiente)
serán incorporadas al término de error, causando posible
autocorrelación.
Error de especificación del modelo: Por ejemplo, no
linealidades
Corolario: Si usted encuentra autocorrelación en sus residuos,
entonces revise su modelo, el error está captando información
relevante que usted está omitiendo.
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Tests de autocorrelación
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Tests de Autocorrelación
Test de Durbin-Watson (d): un test muy popular para detectar
autocorrelación de los residuos es el test propuesto en 1951 por
Durbin y G.S Watson.
El test está diseñado para detectar autocorrelación en los residuos
de la forma ut = ρut−1 + εt (AR(1)), donde ε es ruido blanco
(media cero y varianza constante).
La nula corresponde a no autocorrelación de los residuos
(H0 : ρ = 0 H1 : ρ 6= 0)y el test se define como:
d =
∑n
t=2(ût − ût−1)
2
∑n
t=1 û
2
t
≃ 2(1 − ρ̂) (1)
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Autocorrelación
Test de Durbin-Watson
con:
ρ̂ =
∑n
t=2 ût ût−1
∑n
t=1 û
2
t
donde ρ puede ser obtenido de la siguiente regresión:
ût = ρût−1 + ut (2)
y ût de la regresión yt = Xtβ + ut .
Si ρ > 0, los valores de û probablemente serán muy cercanos, por
lo cual el numerador será muy pequeño en comparación al residuo
mismo. Ello implica que d será pequeño.
Si ρ < 0, entonces el numerador probablemente será grande, más
grande que el residuos n si mismo. Ello implica que d será grande
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Durbin-Watson
1 El estad́ıstico d es intuitivo pero tiene un problema estad́ıstico
2 Su distribución no es estándar y los valores cŕıticos dependen
de la base de datos que se use
3 Durbin y Watson resuelven este problema encontrando cotas
para las zonas de rechaza
4 Sin embargo, existen zonas de indefinición, no podemos
rechazar o no rechazar
5 Ver dibujo
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Durbin-Watson
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Durbin-Watson
Si d > 4− dl se rechaza la nula en favor de autocorrelación
negativa
Si d < dl se rechaza la nula en favor de autocorrelación
positiva
Si du < d < 4− du no se rechaza la nula
Si dl < d < du o 4− du < d < 4− dl INCONCLUSIVO
Luego, en el último caso necesitamos otro test...
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Breusch y Godfrey
Test de Breusch y Godfrey: Este test es una alternativa para
testear autocorrelaciones de ordenes superiores a 1 y se basa en el
test LM introducido anteriormente.
La nula, al igual que en todos los test de autocorrelación es que los
residuos no se encuentran
Tiene una lógica similar a Breusch y Pagan para heterocedasticidad
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Breusch y Godfrey
Los pasos para realizar el test son:
1 Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos ût . El
modelo puede incluir rezagos de la variable dependiente.
2 Estimar una regresión auxiliar de ût sobre p rezagos:
ût−1, . . . , ût−p , incluyendo las variables exógenas (X) del
modelo original. Note que deberá excluir p observaciones.
3 Calcular el R2 de la regresión auxiliar
4 Construir el estad́ıgrafo nR2 ∼ χ2p
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Breusch y Godfrey
Test de Breusch y Godfrey: Este test es una alternativa para
testear autocorrelaciones de ordenes superiores a 1 y se basa en el
test LM introducido anteriormente.
ut = ρ1ut−1 + ρ2ut−2 + ...+ ρput−p + ǫt
La nula, al igual que en todos los test de autocorrelación es que los
residuos no se encuentran correlacionados.
H0 : ρ1 = ρ2 = ... = ρp = 0
Tiene una lógica similar a Breusch y Pagan para heterocedasticidad
Clase 22 Econometŕıa I
Autocorrelación
Test de Breusch y Godfrey
Los pasos para realizar el test son:
1 Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos ût . El
modelo puede incluir rezagos de la variable dependiente.
2 Estimar una regresión auxiliar de ût sobre p rezagos:
ût−1, . . . , ût−p , incluyendo las variables exógenas (X) del
modelo original. Note que deberá excluir p observaciones.
3 Calcular el R2 de la regresión auxiliar
4 Construir el estad́ıgrafo nR2 ∼ χ2p
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