clase13 - Zaida Moreno Páez

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Test de Multiplicador de Lagrange Ejercicio
Clase 13
Econometŕıa
Tomás Rau
27 de septiembre
Clase 13 Econometŕıa
Test de Multiplicador de Lagrange Ejercicio
Contenidos
Test de Multiplicador de Lagrange
Ejercicio
Clase 13 Econometŕıa
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Test de Multiplicador de Lagrange
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Test de Multiplicador de Lagrange Ejercicio
Test de Multiplicador de Lagrange (LM)
Un tercer test corresponde al test LM, el cual también es conocido
como el test del Score. Recordemos que el Score corresponde a la
matriz de primeras derivadas de la función de Verosimilitud:
s(θ) =
∂ ln L
∂θ
=
∂l
∂θ
Como vimos anteriormente, s(θ̂) = 0, por lo cual, al evaluar el
score en el estimador restringido bajo la nula Rβ − r = 0 (β̃),
generalmente obtendremos un vector diferente de cero, sin
embargo, si la nula no se puede rechazar, esperaŕıamos obtener un
vector cercano a cero.
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Test de Multiplicador de Lagrange (LM)
Se puede demostrar que el score posee media (poblacional) cero y
varianza igual a la matriz de información (I (θ)). Por lo tanto,
tenemos que la forma cuadrática:
s ′(θ)I (θ)−1s(θ)
a∼ χ2
con lo cual, al evaluar en el vector de parámetros restringido
tenemos que bajo la nula, el test LM se define y distribuye como:
LM = s ′(θ̃)I (θ̃)−1s(θ̃) ∼a χ2q (1)
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Test de Multiplicador de Lagrange (LM)
Note que contraposición al test de Wald, sólo necesitamos calcular
el estimador restringido. De hecho, su popularidad reside en que
muchas veces es más fácil calcular el estimador restringido que el
irrestricto.
Dada la normalidad asintótica de los estimadores MV, podemos
reducir el estad́ıgrafo a una forma mucho más simple. Para ver lo
anterior, considere una notación matricial del score:
s(θ) =
[
∂l
∂β
∂l
∂σ2
]
=
[ 1
σ2
X ′u
− n
2σ2
+ u
′u
2σ4
]
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entonces, para evaluar el score en la estimación restringida,
utilizamos los residuos restringidos, los cuales denotaremos por:
u∗ = Y − X β̃
y por lo tanto:
σ̃2 =
u′∗u∗
n
con lo cual, si la nula es cierta:
s(θ̃) =
[
1
σ̃2
X ′u∗
0
]
(2)
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Test de Multiplicador de Lagrange (LM)
Entonces, tomado en cuenta la definición de I (θ)−1 y evaluándola
en el estimador restringido, tenemos que nuestro test queda como:
LM =
[
1
σ̃2
u′∗X 0
] [ σ̃2(X ′X )−1 0
0 2σ̃
4
n
] [
1
σ̃2
X ′u∗
0
]
=
u′∗X (X
′X )−1X ′u∗
σ̃2
= n
u′∗X (X
′X )−1X ′u∗
u′∗u∗
(3)
= nR2 ∼a χ2q (4)
donde el R2 corresponde a la bondad de ajuste de la regresión
auxiliar entre u∗ y X.
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Test de Multiplicador de Lagrange (LM)
Resumiendo, el test se implementa en tres simples pasos:
1 Estimar el modelo restringido y obtener sus residuos u∗
2 Correr una regresión de u∗ contra X. Obtener el R
2
3 Construir el estad́ıstico nR2 y comparar con el valor cŕıtico de
una χ2q
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Considere el ejemplo de la Cobb-Douglas
ln(Y ) = ln(A) + α ln(L) + β ln(K ) + �
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Ahora, considere el modelo restringido con α = 0,5
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Por último, considere la regresión de ûr sobre X .
Realice tests de W, LR y LM.
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a) El estad́ıstico de W =
(
α̂−0,5
SD(α̂)
)2
. Note que debe usarse
SD(α̂) de MV y no de MCO. En la tabla se usa la de MCO,
pero la única diferencia es que una divide por n = 24 y la otra
por n − k = 21. Luego, si multiplicamos la SD(α̂MCO) por√
21/24 = 0,9354 obtendremos SD(α̂MV )
W =
(
0,8072−0,5
0,1450×0,9354
)2
= 5,12
b) El test LR = 2[ln(û′R ûR) − ln(û′NR ûNR) =
24×[ln(0,08614)−ln(0,07098)] = 24[−2,4522+2,6464] = 4,64
c) El test LM = nR2 = 24 × 0,176 = 4,22 (de regresión auxiliar)
El cŕıtico de una chi21 (0,95) = 3,84. Luego con todos rechazo la
hipótesis nula.
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Algunas Consideraciones
1 Una ventaja de la estimación MV, es que sus propiedades
asintóticas se mantienen independientemente de la
distribución utilizada (la que se asume en el error).
2 Otra ventaja corresponde a la posibilidad de utilizar modelos
no lineales. MCO (tal y como lo hemos estudiado) sólo
permite estimar modelos lineales en parámetros, mientras que
MV permite no linealidades
3 Otra ventaja reside en la inferencia. Toda la inferencia vista
en MCO poséıa distribución exacta bajo el supuesto de
normalidad. Los test asintóticos visto en la inferencia MV son
válidos bajo cualquier distribución supuesta (aunque
asintóticamente).
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Algunas Consideraciones
4 Es posible demostrar que W ≥ LR ≥ LM al ser aplicados a un
modelo lineal. Los tres son asintóticamente equivalentes, sin
embargo, en muestras finitas arrojarán resultados diferentes.
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