03 - Yanet Santillan

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EAA220B
Incertidumbre
J. Tessada
2-2018
Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Finanzas I
Decisiones Bajo Incertidumbre
José Tessada
Escuela de Administración
Agosto 2018
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Incertidumbre
J. Tessada
2-2018
Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Temas
1 Utilidad Esperada
2 Aversión al riesgo
3 Demanda por Activos Riesgosos
4 Precios de Equilibrio
5 Preferencias Media-Varianza
Lecturas: BKM cap. 6.1 a 6.3.
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Incertidumbre
J. Tessada
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Introducción
Decisiones bajo Incertidumbre
Objetivo: entender cómo nuestras decisiones en situaciones con incertidumbre se
relacionan a los precios de activos financieros y comprender los factores que afectan
a estos precios
Podremos determinar cuánto está dispuesto a pagar un inversionista
Buscamos precios de activos usando arbitraje =⇒ dados los otros precios encontramos
el valor en el mercado de estos pagos
Ejemplo: forwards de tipo de cambio –¿me conviene tomarlo o esperar?
Más generalmente, debemos definir preferencias sobre activos con pagos inciertos
“Definición” de riesgo
Comprender demanda por activos financieros
Hacia donde vamos –y eventualmente llegaremos
“Precio” de riesgo –equilibrio
Entender cómo evaluamos riesgo y tiempo
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Incertidumbre
J. Tessada
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Portafolios
Supongamos que ustedes son dueños de un negocio que tiene los siguientes flujos:
Escenario 1 flujo es $1, escenario 2 flujo es $2, y escenario 3 flujo es $5
Los 3 escenarios tienen probabilidad 1/3
Este negocio es todo lo que tienen actualmente
Tienen dos alternativas para comprar otro negocio que son mutuamente
excluyentes:
Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3
Empresa B 4 3 1
Empresa C 1 3 4
¿Cómo son los retornos esperados y las desviaciones estándar de las empresas B y
C?
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Incertidumbre
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Aversión al riesgo
Equivalente cierto
Averso al riesgo prefiere quedarse con riqueza actual antes que tomar una loterı́a
con valor esperado cero
¿Cuánto está dispuesto a sacrificar un averso al riesgo para evitar una loterı́a?
Es lo mismo que pensar ¿cuánto está dispuesto a pagar para asegurarse en contra
de un escenario incierto?
Demanda por seguros, cobertura, etc.
Equivalente cierto: es la nivel de riqueza que deja al individuo indiferente entre
tomar este monto sin incertidumbre y participar en una loterı́a
Para un averso al riesgo: equivalente cierto < E(loterı́a)
¿Y en los otros dos casos?
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Incertidumbre
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Aversión al riesgo
Gráficamente
Pago (x)
U(x)
E(pago)
E(U)
U(E(pago))
Pago Bajo Pago Alto
U(Pago 
Bajo)
U(Pago 
Alto)
U(x)
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Incertidumbre
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Aversión al Riesgo
Medidas
El nivel de aversión al riesgo depende de la curvatura de la función v(·) o de
utilidad instantánea
¿Qué pasa con el equivalente cierto y la prima por riesgo si la curva se hace más
plana?
¿Cómo representamos entonces la curva para los casos de neutral y preferente por
riesgo?
Coeficiente de aversión absoluta al riesgo (AAR o ARA)
A(w) =− v
′′(w)
v′(w)
(1)
Coeficiente de aversión relativa al riesgo (ARR o RRA)
R(w) =−wv
′′(w)
v′(w)
(2)
Medidas indican reacción ante distintas magnitudes de riesgo
Podemos clasificar funciones de utilidad de acuerdo a estos parámetros
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Demanda por
Activos
Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Demanda por Activos con Riesgo
Averso al riesgo =⇒ E(U(x)) < U(E(loterı́a))
¿Implica esto que no va a comprar una loterı́a llamado activo financiero?
No, porque averso al riesgo aún prefiere “más a menos” =⇒ si loterı́a es
suficientemente tentadora (alto pago) la tomará
La segunda loterı́a es riesgosa pero es suficientemente “atractiva”
Pero, ¿qué es atractivo en esta loterı́a?
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Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
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Demanda por Activos con Riesgo
Veamos la función de utilidad
Agentes van a demandar activos de manera “indirecta”
Ellos tienen preferencias por consumo
Activos son la manera de obtener recursos para financiar este consumo
Agente tiene riqueza total W
Supongamos que puede guardar recursos en opción segura (activo 1)
Paga R1 por cada peso invertido
Existe un activo con pago incierto R̃2 por cada peso invertido
La restricción presupuestaria es
W =q1 + q2
donde qi es el monto invertido en el activo i
El consumo del individuo será
c =q1 × R1 + q2 × R̃2︸ ︷︷ ︸
aleatoria
¿Cómo encontramos la demanda por el activo 2?
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Demanda por
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Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Demanda por Activos con Riesgo
Escribamos la utilidad esperada
U =E(v) = E(v(q1 × R1 + q2 × R̃2))
=E(v((W− q2)× R1 + q2 × R̃2))
=E(v(W× R1 + (R̃2 − R1)× q2))
Busquemos como cambia U al cambiar q2
∂U
∂q2
=E((R̃2 − R1)× v′(W× R1 + (R̃2 − R1)× q2))
Evaluemos esto en q2 = 0
∂U
∂q2
∣∣∣∣
q2=0
=v′(W× R1)× E(R̃2 − R1)
¿Qué debe ser cierto para que el individuo invierta en el activo 2?
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Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
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Varianza
Activos Arrow-Debreu (AD)
Definición
Seguiremos usando utilidad esperada
Supongamos lo siguiente
Dos perı́odos: t = 0 (hoy) y t = 1 (mañana)
S escenarios distintos: “estados de la naturaleza”
Mercado de capitales perfecto
Activo Arrow-Debreu: paga 1 unidad de un bien especificado (que puede ser
dinero) si y solo si en t = 1 ocurre un estado de la naturaleza s determinado
Un activo puro paga sólo en un estado
Necesitamos agregar un par de elemenos más
La probabilidad de ocurrencia de un estado s es π(s)
Llamaremos p(s, t) al precio de un activo Arrow-Debreu en t que paga si estado s ocurre
Normalmente escribiremos p(s) porque tendremos precios sólo en t = 0 – caso con dos
perı́odos
Estos precios nos ayudarán a entender los precios de activos
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Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
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Varianza
Activos AD
Problema del Agente
Agente tiene una riqueza w en t = 0
Puede ser dinero, puede ser un set inicial de activos Arrow-Debreu (AD)
¿Cuál es la función objetivo del agente?
U =E(v(c1(s))) =
S
∑
i=1
π(i)v(c1(i)) (3)
Además la restricción presupuestaria en un estado s dado es
c1(s) = q(s) (4)
donde q(s) es la cantidad de activos AD para ese estado
¿Cuál es la restricción en t = 0?
W = . . .
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Mercados de
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Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
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Activos AD
Equilibrio y Portafolio Riesgoso
¿Cuánto riesgo está dispuesto a tomar un agente (incluso si es averso al riesgo)?
¿Qué determina la composición del portafolio de activos AD del agente?
Aparte de las preferencias, dos elementos son importantes:
1 Precio del consumo en cada estado
2 Ocurrencia de cada estado
El casomás simple es el de dos estados, s = 1 y s = 2
Clave: pensemos inicialmente como si tuviéramos dos bienes (peras con manzanas)
Precio relativo
Utilidad marginal – aquı́ entra la probabilidad
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Mercados de
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Equilibrio
Preferencias
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Activos AD
Equilibrio y Portafolio Riesgoso
Tomemos el caso de dos estados
El problema del agente es
máx
q(1),q(2)
π(1)v(q(1)) + π(2)v(q(2)) (5)
+ λ(W− p(1)q(1)− p(2)q(2))
Las condiciones de primer orden (CPO) son
π(1)v′(q(1)) = λp(1) (6)
π(2)v′(q(2)) = λp(2) (7)
Más la restricción presupuestaria
CPO tradicionales: utilidad marginal igual a costo marginal (precio) por
multiplicador de lagrange de restricción presupuestaria
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Fisher
Equilibrio
Preferencias
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Activos AD
Equilibrio y Portafolio Riesgoso
Usando las CPO podemos escribir
π(1)v′(q(1))
p(1)
=
π(2)v′(q(2))
p(2)
(8)
El agente iguala la utilidad marginal “esperada” por peso ($) en cada estado
Si p(1)p(2) es igual a
π(1)
π(2) =⇒ consumo mañana no será aleatorio
Incluso si individuo es averso al riesgo q(1) y q(2) no tienen que ser iguales
Aversión al riesgo no implica no tomar posiciones riesgosas
Si tenemos un activo AD para cada estado =⇒ mercado completo de activos AD
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Separación de
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Equilibrio
Preferencias
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Mercados de Activos
Descripción
Sigamos con el ejemplo de dos estados
Ahora tenemos dos activos no AD =⇒ pagan en ambos estados en distintas
proporciones
¿Qué relación existe entre el equilibrio AD y éste?
Algunas definiciones
zi(s): pago de activo i en estado s
ai: unidades del activo i
c(s): consumo en estado s
pi: precio unidad activo i
Usualmente lo colocamos como matrices y vectores
Pagos: Z = [z1 z2], con zi = (zi(1) zi(2))′
Activos: a = (a1 a2)′
Consumos: C = (c(1) c(2))′
C =
[
c(1)
c(2)
]
=
[
z1(1) z2(1)
z1(2) z2(2)
]
×
[
a1
a2
]
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Preferencias
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Mercados de Activos
Problema de optimización
Veamos el problema del agente
máx
a1,a2
π(1)v(z1(1)a1 + z2(1)a2) + π(2)v(z1(2)a1 + z2(2)a2) (9)
+ λ(W− p1a1 − p2a2)
donde ai cantidad de unidades del activo i compradas, pi es el precio del activo i en
t = 0, y zi(s) es el pago del activo i en el estado s
Las CPO son
z1(1)π(1)v′(c(1))+z1(2)π(2)v′(c(2)) = λp1 (10)
z2(1)π(1)v′(c(1))+z2(2)π(2)v′(c(2)) = λp2 (11)
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Preferencias
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Mercados de Activos
CPO y Activos AD
Llegamos a la siguiente condición
z1(1)π(1)v′(c(1)) + z1(2)π(2)v′(c(2))
p1
(12)
=
z2(1)π(1)v′(c(1)) + z2(2)π(2)v′(c(2))
p2
¿Existe alguna relación entre los activos AD y estos activos “más reales”?
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Mercado de Activos
Arbitraje y Mercado Completo
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Mercados de Activos
Un ejemplo
Supongamos que tenemos dos activos y dos estados de la naturaleza
Activo A paga $1 independiente del estado; activo B paga $4 en estado 1 y $1 en
estado 2
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Preferencias
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Mercados de Activos
Un ejemplo
Suponga que tenemos los siguientes tres activos
A B C
(1,1,1) (1,4,0) (0,7,1)
Encuentre los precios de los activos AD si los precios de los activos son todos
iguales a 1
¿Cuánto es la tasa de interés de un activo libre de riesgo?
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Preferencias
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Mercados de Activos
Un ejemplo
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Preferencias
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Motivación
Decisiones de Consumo y de Inversión (Real)
Mercado Financiero: recursos entre perı́odos, posiciones de riesgo
Relación entre decisión de consumo e inversión real
Bajo ciertos supuestos: tenemos separación de estas decisiones
Teorema de Separación de Fischer
En cursos anteriores: asignación de recursos entre perı́odos
Aquı́ agregaremos: posiciones de riesgo
Primero repasaremos un caso con decisión temporal
Pasaremos al caso con riesgo (escenarios)
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Producción y 2 perı́odos
Supuesto básicos
Mercado de capitales perfecto
Dos perı́odos, t = 0 hoy y t = 1 mañana
Certidumbre
Agente tiene una oportunidad de inversión
Invierte hoy k0 hoy, recibe f (k0) mañana
Supongamos dotación inicial y0, sin mercado de capitales
Función de producción f ′ > 0, f ′′ < 0
Podemos pensar en oportunidades de inversión como una empresas
Agente es el dueño (de parte) de la empresa
¿Cuál es la decisión de la empresa respecto de inversión?
Depende del funcionamiento del mercado de capitales
Veamos gráficamente el caso sin mercado de capitales
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Hoy
Mañana
E
y0
k0
c0
f(k0)=y1 =c1
• Ausencia de mercado de capitales implica 
que decisión de inversión y decisión de 
consumo son sólo una en realidad
• Agente usa oportunidad de inversión para 
llevar consumo de hoy a mañana
Pendiente es TMS (razón 
de utilidades marginales)
Pendiente es producto marginal:
c1=y1=f(y0-c0)
dc1/dc0=-f’(k0)
Figura 1. Consumo Intertemporal con Producción
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Preferencias
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Producción y 2 perı́odos
Agreguemos ahora mercado de capitales
Mercado perfecto, tasa de interés r
Mercado de capitales =⇒ punto producción no necesita ser punto de consumo
¿Cómo se decide cuanto invertir?
Consumidor maximiza utilidad sujeto a . . .
Inversión productiva =⇒ “posición” de restricción presupuestaria
¿Qué es lo mejor que se puede hacer en ese caso?
. . .
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Preferencias
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Producción y 2 perı́odos con Mercado de Capitales
El problema del agente es
máx
c0,c1,k0
U(c0, c1)
sujeto a c0 +
c1
1 + r
= w0
(y0 − k0) +
f (k0)
1 + r
= w0
Inversión afecta restricción presupuestaria – valor de riqueza w0
Pero no está relacionadoa preferencia por c0 vs c1
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Preferencias
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Producción y 2 perı́odos con Mercado de Capitales
Veamos la solución a este problema
máx
c0,c1,k0,λ
U(c0, c1)
λ
(
(y0 − k0) +
f (k0)
1 + r
− c0 −
c1
1 + r
)
Usando CPO obtenemos
f ′(k0) =1 + r (13)
U0
U1
=1 + r (14)
Pendientes iguales a 1 + r, ¡pero no necesitan ser tangentes!
=⇒ separación de decisiones
Administración oportunidades de inversión: maximiza valor presente – “valor de la
firma”
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Mercados de
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Preferencias
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W1
Hoy
Mañana
A
W0
Figura 2. Consumo Intertemporal con Producción y Mercado de Capitales
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Activos
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Mercados de
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Equilibrio
Preferencias
Media-
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Incertidumbre
Supongamos ahora que existe incertidumbre
Agente consume en t = 1 solamente, S estados de naturaleza, prob. π(s)
Agente decide usando utilidad esperada U(c(1), c(2)) = π(1)v(c(1)) + π(2)v(c(2))
Inversión caracterizada por pagos z(s), asumimos por simplicidad activos AD
Se puede escoger distintos perfiles de pagos, pagando un costo
Ejemplo, distintas semillas o métodos de siembra
Usemos mismo instrumental gráfico
Consumo mañana, estados de la naturaleza
Curvas de indiferencia cóncavas
Restricción presupuestaria consumo:
p(1)c(1) + p(2)c(2) = p(1)z(1) + p(2)z(2)
Producción −→ pagos (z(1), z(2))
Gráficamente – sin y con activos Arrow-Debreu
¿Qué sucede si tenemos dos activos pero que no son activos AD?
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Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Estado 1
Estado 2
E
Distintas combinaciones de 
pagos que pueden 
“comprarse” en t=0
Curva refleja preferencias 
frente al riesgo
Decisión de “inversión” va a determinar 
nivel de consumo en ambos estados
Figura 3. Incertidumbre sin Mercado de Activos AD
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Activos
Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Estado 1
Estado 2
E (consumo)
A
Implica vender activos AD de estado 1, 
comprar activos AD de estado 2; 
transacción en t=0
En A se obtiene al máximo valor de la 
producción a los precios de activos AD dados
Compro
Vendo
Figura 4. Incertidumbre con Mercado de Activos AD
EAA220B
Incertidumbre
J. Tessada
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Demanda por
Activos
Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Equilibrio
Un ejemplo: Activos AD
En este marco podemos dar un primer acercamiento a precios de equilibrio
Nos concentraremos en el caso de activos AD, por simplicidad:
dos perı́odos, dos estados de la naturaleza (mañana) (est 1 = π)
Índices: j agente, t perı́odo, s estado naturaleza
J agentes, preferencias y dotaciones potencialmente distintas
Sin producción, únicamente dotaciones ej0, e
j
t(s)
Agentes (consumidores): consumos cjt(s)
Mercado de activos AD, precios p(s)
Problema del consumidor
máx
cj0,c
j
t(s)
v(cj0) + β
(
π(1)v(cj1(1)) + π(2)v(c
j
1(2))
)
(P-A)
sujeto a cj0 + p(1)c
j
1(1) + p(2)c
j
1(2) = e
j
0 + p(1)e
j
1(1) + p(2)e
j
1(2)
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Incertidumbre
J. Tessada
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Activos
Arrow-Debreu
Mercados de
Activos
Teorema
Separación de
Fisher
Equilibrio
Preferencias
Media-
Varianza
Equilibrio
Un ejemplo: Activos AD
Definición
Un equilibrio es un set de precios p(s) y consumos
(
cj0, c
j
1(s)
)
, ∀j, tales que
a. Los consumos son la solución al problema (P-A) para los precios p(s)
b. Los mercados están en equilibrio
Et(s) = ∑
j
ejt(s) = ∑
j
cjt(s) = Ct(s) ∀(t, s)
donde E y C son las dotaciones y consumos agregados.
Similar a lo que han visto en microeconomı́a
Obtenemos precios mirando a demanda y oferta (dotaciones)
Precios deberán reflejar valoraciones relativas
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Incertidumbre
J. Tessada
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Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Media-Varianza
Motivación
Hasta ahora: utilidad consumo en distintos estados
Necesita describir todos y cada uno de los estados
¿Podemos resumir esta información en menos variables?
Podemos usar variables aletatorias y distribuciones de probabilidad
Parámetros de distribuciones: ejemplo, Bernoulli –moneda al aire
Tradicionalmente usamos
Media – retorno esperado
Varianza – “volatilidad”
¿Es posible resumir sólo en estos parámetros?
Necesitamos dos partes: preferencias y pagos
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Incertidumbre
J. Tessada
2-2018
Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Preferencias Media-Varianza
Como aproximación a preferencias generales
Supuesto: pagos inciertos, media µ, varianza σ2
Aproximación de Taylor de función v(c) alrededor de µ
v(c) =v(µ) +
v′(µ)
1!
(c− µ) + v
′′(µ)
2!
(c− µ)2 + v
′′′(µ)
3!
(c− µ)3 + . . .
Calculamos E(u(c)),
E(v(c)) =v(µ) +
v′(µ)
1!
E((c− µ))︸ ︷︷ ︸
=0
+
v′′(µ)
2!
E((c− µ)2)︸ ︷︷ ︸
=σ2
+
v′′′(µ)
3!
E((c− µ)3) + . . .
U =v(µ) +
v′′(µ)
2!
σ2 +
v′′′(µ)
3!
E((c− µ)3) + . . . (15)
Si preferencias tiene v′′′ y mayores todas iguales a 0 =⇒ µ y σ2 resumen
información
Si µ y σ2 resumen toda la información relevante para comparar loterı́as
Preferencias cuadráticas =⇒ primer caso
Distribución normal: dos parámetros importan
¿Qué representan los momentos de orden mayor a 2? ¿Importan?
Sesgo (“skewness”) – ¿cómo son las loterı́as?
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Incertidumbre
J. Tessada
2-2018
Introducción
Motivación
Demanda por
Activos
Riesgosos
Preferencias
Media-
Varianza
Preferencias Media-Varianza
Una forma funcional
Preferencias “cuadráticas” definidas sobre media y varianza
U({c}) =E(v(c)) = E(c)− a
2
V(c), a > 0 (16)
Definamos:
µc = E(c)
σ2 = V(c) –varianza
σ –desviación estándar
Racionalización: aproximación a funciones de utilidad más generales
Nota: recuerden lógica de modelos económicos (y financieros)
Digresión
Aquı́ también podemos ver averso comprando activo riesgoso
Activo con esperanza nµ, pagos n(µ± 1), π = 0,5
Varianza es n2 =⇒ ∀a > 0 existe n > 0 tal que prefiere comprar activo
Pensemos en n como # acciones
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J. Tessada
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
Repaso: 2 perı́odos
Partamos con el caso más simple:
Mercado de capitales perfecto
Dos perı́odos, t = 0 hoy y t = 1 mañana
Certidumbre
Mercado de capitales: asignar recursos en distintos perı́odos
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
Repaso: 2 perı́odos
Agente: 100 unidades hoy, 100 unidades mañana
r: tasa de interés para préstamos y depósitos
¿Cuánto es la riqueza del agente?
100 + 100/(1 + r) = W0
W0 consumo máximo hoy, y ¿cuánto es consumo máximo en t = 1? (1 + r)W0
Posibilidades de consumo: lı́nea W0W1
¿Cómo obtenemos la restricción presupuestaria?
Función de utilidad: U(c0, c1)
Notación: Ui =
∂U(c0,c1)
∂ci
Supuesto usual:
U(c0, c1) =v(co) + βv(c1)
Equilibrio dado por punto E en figura 5
¿Qué operaciones financieras hace?
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
100+100(1,1)=210
100+100/(1,1)=190,9 Hoy
Mañana
100
100
A
E
Figura 5. Consumo Intertemporal con Dotación Dada
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
Repaso: Producción y 2 perı́odos
¿Qué sucede si en realidad el agentetiene una oportunidad de inversión?
Invierte hoy k0 hoy, recibe f (k0) mañana
Mantenemos mismos supuestos anteriores
Podemos pensar en oportunidades de inversión como una empresa
Agente es el dueño (de parte) de la empresa
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
Repaso: Producción y 2 perı́odos
Supongamos dotación inicial y0, sin mercado de capitales
Función de producción f ′ > 0, f ′′ < 0
El agente soluciona
máx
c0,c1
U(co, c1) sujeto a c1 = f (y0 − c0)
Escribimos la maximización
máx
c0,c1,λ
U(co, c1) + λ (f (y0 − c0)− c1)
Condición de primer orden es
f ′(yo − c0) =
U0
U1
(17)
¿Cómo interpretamos la ecuación (17)?
Recuerden que pendiente curva de indiferencia: −U0U1
Tasa marginal de sustitución = tasa marginal de transformación
Tangencia curva de indiferencia y frontera de producción
Veamos gráficamente el caso sin mercado de capitales
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Repaso: Teo.
Separación
de Fisher
Hoy
Mañana
E
y0
k0
c0
f(k0)=y1 =c1
• Ausencia de mercado de capitales implica 
que decisión de inversión y decisión de 
consumo son sólo una en realidad
• Agente usa oportunidad de inversión para 
llevar consumo de hoy a mañana
Pendiente es TMS (razón 
de utilidades marginales)
Pendiente es producto marginal:
c1=y1=f(y0-c0)
dc1/dc0=-f’(k0)
Figura 6. Consumo Intertemporal con Producción
	Introducción
	Motivación
	Demanda por Activos Riesgosos
	Activos Arrow-Debreu
	Mercados de Activos
	Teorema Separación de Fisher
	Equilibrio
	Preferencias Media-Varianza
	Apéndice
	Repaso: Teo. Separación de Fisher