Decisiones bajo incertidumbre

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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Finanzas I
Tema 3: Decisiones bajo incertidumbre
Felipe Aldunate
Escuela de Administración UC
Agosto 2016
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 1
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
Lecturas: BKM cap. 6 y 7.
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¿Para dónde vamos?
• • Objetivo: En qué activos invertir y cómo se determinan los
precios.
• Plan próximas semanas.
1. Repaso funciones de utilidad
• Cómo modelar a los inversionistas: aproximadamente sólo
quieren tener alto retorno y baja volatildiad
2. Qué implica esta aproximación para la demanda de activos:
análisis Media-Varianza
3. Usamos argumento de equilibrio (demanda=oferta) para
obtener el famoso CAPM.
• ¿ Funciona? y extensiones
4. ¿Son eficientes los mercados?
5. Behavioral Finance
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Motivación
Objetivo: entender cómo enfrentamos decisiones de inversión con
incertidumbre.
• La ausencia de arbitraje nos informa sobre los precios relativos.
• Larry Summers (1984) llamó a esto Ketchup economics.
• Para entender el nivel de precios necesitamos considerar la
demanda por activos (decisión de portafolio).
• Los activos difieren en la incertidumbre sobre sus pagos
futuros (riesgo) ) Necesitamos determinar las preferencias
por riesgo.
• Debemos definir preferencias sobre activos con pagos inciertos
• “Definición” de riesgo
• “Precio” de riesgo
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Andres Medina
Definiremos cuál es el riesgo que nos importa y qué valor tiene. 
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Nuestros Modelos
Vamos a realizar varias simplificaciones en nuestro análisis.
Empezando con el “modelo general”de microeconoḿıa, vamos a:
• Simplificar desde muchos bienes de consumo a sólo uno.
• Simplificar desde mucho peŕıodos a sólo uno.
• Representar las preferencias en diferentes estados a través de
la función de utilidad esperada.
• Al final vamos a simplificar aún más cuando lleguemos al
análisis media-varianza
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Esperanza y Varianza
Definiciones
• Vamos a pensar en flujos como realizaciones de variables
aleatorias
• Un activo tiene pagos X , que es una variable aleatoria
• Pensemos que hay n escenarios alternativos
• Cada escenario tiene probabilidad de ocurrencia ⇡i y pago xi
• Notación: una letra mayúscula se refiere a la variable aleatoria,
una minúscula a una realización de ella
• Tradicionalmente nos enfocamos en dos medidas (momentos)
• Esperanza o valor esperado E (X )
• Varianza (o desviación estándar) V (X )
• Pero veremos que necesitamos mirar también otras medidas.
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Esperanza y Varianza - Definiciones
• La esperanza nos da el pago “promedio”
• Noten que esto no es lo mismo que el pago más probable
E (X ) =⇡1x1 + ⇡2x2 + . . .+ ⇡nxn
• La varianza es una medida de dispersión
V (X ) =�2X = E
⇥
(X � E (X ))2
⇤
=⇡1(x1 � E (X ))2 + . . .+ ⇡n(xn � E (X ))2
=E (X 2)� (E (X ))2
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Covarianza y Correlación
Definiciones
• Ahora tenemos dos variables, X e Y
• Consideramos una distribución conjunta
Cov(X ,Y ) =�X ,Y = E [(X � E (X ))(Y � E (Y ))]
=E (XY )� E (X )E (Y )
Corr(X ,Y ) =⇢X ,Y =
Cov(X ,Y )
�X�Y
donde �X =
p
V (X ) es la desviación estándar de X
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Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
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Utilidad Esperada
• ¿Cómo creamos una función de utilidad que nos permita
medir el riesgo y los retornos en los distintos escenarios?
• Una opción es una función que mida tanto los pagos como las
probabilidades
U(x1, . . . ,xn;⇡1, . . . ,⇡n) (1)
• Pero (1) es demasiado general
• ¿Cómo valoramos probabilidades?
• Piensen, ¿ustedes prefieren probabilidades cercanas a 1 ó a 0?
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Utilidad Esperada
• Pensemos en cómo definir nuestras preferencias sobre activos
que tienen riesgo.
• Una primera posibilidad razonable es que nos importe el pago
esperado de un activo. Por ejemplo, para un activo con pagos
W1 y W2 con probabilidades ⇡ y 1� ⇡, el pago esperado es:
E (W ) = ⇡W1 + (1� ⇡)W2
• Las preferencias de esta forma (que sólo toman en cuenta el
pago esperado) son llamadas neutrales al riesgo.
• Consideremos una activo que paga h y �h con probabilidades
50% y 50%. Su pago esperado es:
E (W ) = 0,5h + 0,5(�h) = 0
• Este activo vale $0 para un inversionista neutral al riesgo.
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Utilidad Esperada
Actitudes Frente al Riesgo – Neutro al riesgo
• Consideremos una loteŕıa que nos paga $1,000 con
probabilidad 0,5 y tenemos que pagar $1,000 con prob. 0,5.
• Un individuo se dice neutro al riesgo si enfrentado a una
loteŕıa está indiferente entre participar de ésta o recibir de
manera cierta su valor esperado.
• Para comparar loteŕıas basta saber el valor esperado
• ¿Qué significa esto?
• Pensemos en una nueva loteŕıa
• Loteŕıa similar pero pagos son de 10 millones y menos 10
millones.
• ¿Qué dicen ustedes? ¿Cuál preferiŕıan tomar? ¿Duelen más las
pérdidas que lo que nos gustan las ganancias?
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Utilidad Esperada
Paradoja de San Petersburgo
• Otro problema: paradoja de San Petersburgo. Propuesta por
Nicolas Bernoulli (1713) solución propuesta por Daniel
Bernoulli (1738).
• Supongamos un activo/apuesta que ofrece los siguientes
pagos:
• Tirar una moneda y si sale cara paga $1, y el juego termina. Si
no, se sigue jugando.
• Si la segunda moneda sale cara paga $2, y el juego termina. Si
no, se sigue jugando.
• Si latercera moneda sale cara paga $4, y el juego termina. Si
no, se sigue jugando.
• Si la primera cara es en el lanzamiento n el juego paga $2n�1.
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Utilidad Esperada
Paradoja de San Petersburgo
• Entonces: con probabilidad 1/2 gano $1, con probabilidad 1/4
gano $2,...,con probabilidad 1/2n gano $2n�1.
• ¿Cuánto vale este activo para un inversionista neutral al
riesgo?
E (W ) =
1
2
1 +
1
4
2 + ... = 1
• ¿Realmente vale infinito participar en este juego?
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Utilidad Esperada
Definición
• Una solución a estas paradojas es pensar que los inversionistas
calculan el valor de un activo pensando en la utilidad que
derivan de cada pago en vez del pago mismo.
• Usamos la función de utilidad esperada
U(·) =E [u(w)] = ⇡1u(w1) + ⇡2u(w2) + . . .+ ⇡nu(wn) (2)
donde wi es la riqueza final si ocurre el evento i .
! Simple, intuitiva, y nada nuevo si estudiaron microeconoḿıa.
• El caso de neutralidad el riesgo es cuando la función U(·) es
lineal en los pagos: u(w) = w .
• Obviamente simplificación tiene costos (generalidad).
• Individuo buscará maximizar el nivel de utilidad esperada.
• Maximización de utilidad sujeto a restricciones
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Utilidad Esperada
Actitudes Frente al Riesgo – Preferente al riesgo
• Un individuo se dice preferente al riesgo si enfrentado a una
loteŕıa prefiere la loteŕıa a recibir un pago cierto igual al valor
esperado de ésta.
• Comportamiento menos común de observar.
• Aunque si observamos algunos comportamientos compatibles
con esto.
• Pero se contradice con mucha evidencia
• Exigiŕıa una compensación por tener que tomar un seguro.
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Utilidad Esperada
Actitudes Frente al Riesgo – Averso al riesgo
• Prefiere tomar el valor esperado de una loteŕıa de manera
cierta a jugar la loteŕıa correspondiente
=) E [u(loteŕıa)] < u (E [loteŕıa])
• Demandan un seguro cuando se enfrentan a situaciones con
pagos inciertos.
• Se supone que es la actitud más común.
• Consistente con comportamiento observado en muchas
situaciones.
• Ejemplo, seguros, etc.
• Se puede representar con una función u(w) que es cóncava
(u0(w) decreciente en w).
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Andres Medina
Aversión al riesgo no significa que no quiera tomar la lotería, sino que modifica el valor esperado al cual me interesa tomar la lotería (lo aumenta en este caso). 
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Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
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Aversión al riesgo
Concepto
• Aversión al riesgo está asociada a u0(w) decreciente en w .
Esto implica que
����
pérdida de utilidad
pérdida en $
���� >
����
ganancia de utilidad
ganancia en $
����
• es decir, me duelen más las pérdidas de lo que me gustan las
ganancias: prefiero evitar una pérdida de $10 antes que
generar una ganancia de $10.
• Enfrentado a una ganancia o pérdida de igual monto, la
pérdida genera un cambio mayor en la utilidad (en valor
absoluto)
• Por ejemplo, el activo que paga h y �h con probabilidad 50%
y 50% tiene valor negativo para el inversionista averso al riesgo
• Esto también implica que existirá una prima por riesgo
• Valor de una loteŕıa es menor al valor esperado de los flujos.
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Andres Medina
Mientras más averso al riesgo, más invertimos en bonos. 
Mientras más preferente por riesgo, más invertimos en acciones. 
La aversión significa que nos duelen más las pérdidas de lo que nos gustan las ganancias. 
La aversión implica que vamos a tomar seguros. 
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Aversión al riesgo
Gráficamente
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Andres Medina
La esperanza de la utilidad estará por debajo de la utilidad del valor esperado del pago. Eso es aversión al riesgo
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Equivalente cierto
• Averso al riesgo prefiere quedarse con riqueza actual antes que
tomar una loteŕıa con valor esperado cero.
• ¿Cuánto está dispuesto a sacrificar un averso al riesgo para
evitar una loteŕıa?
• Es lo mismo que pensar ¿cuánto está dispuesto a pagar para
asegurarse en contra de un escenario incierto?
• Demanda por seguros, cobertura, etc.
• Equivalente cierto: es la nivel de riqueza que deja al
individuo indiferente entre tomar este monto sin incertidumbre
y participar en una loteŕıa
• Para un averso al riesgo: equivalente cierto < E (loteŕıa).
• ¿Y en los otros dos casos?
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Andres Medina
Cuánta plata preferimos que nos pasen seguro a que tomar la lotería. 
Para un averso al riesgo, el Eq Cierto es menor al valor esperado de la lotería. 
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Equivalente cierto
Gráficamente
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Equivalente cierto
[Clickers]
• La diferencia entre el pago esperado y el equivalente cierto se
conoce como el Premio por Riesgo.
• El nivel de aversión al riesgo depende de la curvatura de la
función u(·)
• ¿Qué pasa con el equivalente cierto y la prima por riesgo si la
curva se hace más plana?
A.- El equivalente cierto disminuye y la prima por riesgo disminuye.
B.- El equivalente cierto disminuye y la prima por riesgo aumenta.
C.- El equivalente cierto aumenta y la prima por riesgo disminuye.
D.- El equivalente cierto aumenta y la prima por riesgo aumenta.
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Aversión al Riesgo
Medidas
• Para medir la aversión al riesgo queremos mirar u00(w), la tasa
a la que u0(w) decrece con w .
• Coeficiente de aversión absoluta al riesgo (ARA)
A(w) =� u
00(w)
u
0(w)
• La tolerancia al riesgo se define como 1/A(w).
• Un agente A es más averso al riesgo que un agente B si su
aversión al riesgo es mayor que la de B, para todo valor de la
riqueza.
• Un problema de esta medida es que depende de la unidad de
medida: no obtenemos el mismo valor si hablamos de pesos o
euros.
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Andres Medina
Queremos ver cómo la curvava cambiando a medida que tenemos más plata. 
Andres Medina
No está normalizada, si medimos en pesos o en dls cambia. 
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Aversión al Riesgo
Medidas
• Una medida de aversión al riesgo que no depende de las
unidades en que se mide la riqueza es el:
• Coeficiente de aversión relativa al riesgo (RRA)
R(w) =� w u
00(w)
u
0(w)
= wA(w)
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Andres Medina
Se multiplica por la riqueza para que no dependa de las unidades de medida de la misma riqueza.
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Aversión al Riesgo
• Pensemos en un individuo que tiene que formar un portafolio
escogiendo entre un activo riesgoso y un activo libre de riesgo.
• La forma en cómo su riqueza afecta su decisión se ve afectada
por cómo estas medidas vaŕıan con la riqueza.
• Si el individuo experimenta un aumento en su riqueza él va a
aumentar el monto total invertido en el activo riesgoso si su
coeficiente de aversión absoluta al riesgo (ARA) disminuye con
la riqueza.
! Intuitivamente uno esperaŕıa que a mayor riqueza, mayor
sea la inversión total en el activo riesgoso.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Aversión al Riesgo
• Pensemos en un individuo que tiene que formar un portafolio
escogiendo entre un activo riesgoso y un activo libre de riesgo.
• La forma en cómo su riqueza afecta su decisión se ve afectada
por cómo estas medidas vaŕıan con la riqueza.
• Si el individuo experimenta un aumento en su riqueza él va a
aumentar la fracción total invertido en el activo riesgoso si su
coeficiente de aversión relativa al riesgo (RRA) disminuye con
la riqueza.
! La intuición no es tan clara sobre como RRA cambia al
aumentar la riqueza.
• Por ejemplo ¿cuánto pagaŕıa usted para evitar el riesgo de una
loteŕıa en que puede ganar o perder el 20% de su riqueza?
• Si la fracción que pagaŕıa decrece a medida que tiene mayor
riqueza, entonces usted tiene RRA decreciente.
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Andres Medina
Lo hace en términos proporcionales, sirve para sacar porcentajes de los aumentos y disminuciones. 
Distinto a como funciona el ARA. 
Andres Medina
Pasamos de 1MM a 2MM. 
Si con 1MM invertimos 300K en el IPSA (y luego aumenta a 2MM), invertimos: 
Si el ARA disminuye con W, invertimos >300K. 
Si el RRA disminuye con W, invertimos >30%, o sea 600K. 
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Deal or No Deal
• Pensemos en cada opción:
• Una loteŕıa (más o menos complicada dependiendo de etapa
del juego)
• Comparada contra un valor cierto
• “Función de utilidad”
• De hecho se ha usado en estimaciones
• Post, van den Assem, Baltussen and Thaler (2008) “Deal or
No Deal? Decision Making under Risk in a Large-Payo↵ Game
Show” AER
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Aversión al Riesgo
Demanda por Activos con Riesgo
• Averso al riesgo =) E (U(x)) < U(E (loteŕıa))
• ¿Implica esto que no va a comprar una loteŕıa llamado activo
financiero?
• No, porque averso al riesgo aún prefiere “más a menos”
=) si loteŕıa es suficientemente tentadora (alto pago) la
tomará.
• La loteŕıa es riesgosa pero es suficientemente “atractiva”.
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Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Activos Arrow-Debreu (AD)
Definición
• Volvamos a nuestro activos Arrow-Debreu (AD)
• Seguiremos usando utilidad esperada. Supongamos:
• Dos peŕıodos: t = 0 (hoy) y t = 1 (mañana).
• 2 escenarios distintos: “estados de la naturaleza”.
• Mercado de capitales perfecto.
• Activo Arrow-Debreu: paga 1 unidad de un bien especificado
(que puede ser dinero) si y sólo si en t = 1 ocurre un estado
de la naturaleza determinado.
• Si tenemos un activo AD para cada estado =) mercado
completo de activos AD.
• Estos precios nos ayudarán a entender los precios de activos
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 31
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Activos Arrow-Debreu (AD)
Problema del Agente
• Necesitamos agregar un par de elementos más:
• Supongamos inversionista con una riqueza W0 .
• La probabilidad de ocurrencia de cada estado mañana es ⇡1 y
⇡2.
• Llamaremos q1 y q2 a los precios de los activos AD en t = 0
(precios de los estados) que pagan si ocurren estado 1 ó 2
respectivamente.
• El inversionista compra w1 acciones del activo AD que paga en
el escenario 1, y w2 acciones del que paga en el escenario 2.
) Como cada activo AD paga 1 en el estado respectivo, su
riqueza en cada estado será w1 y w2.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Activos AD
Problema del Agente
• El inversionista toma estos precios como dados y resuelve:
máx
w1,w2
U = E [u(w)] = ⇡1 u(w1) + ⇡2 u(w2)
sujeto a: W0 = q1w1 + q2w2
• Entonces:
máx
w1,w2
⇡1 u(w1) + ⇡2 u(w2) + �(W0 � q1w1 � q2w2)
• Las condiciones de primer orden (CPO) son
⇡1u
0(w1) = �q1
⇡2u
0(w2) = �q2
• Más la restricción presupuestaria
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Activos AD
Problema del Agente
• Usando las CPO podemos escribir:
⇡1u0(w1)
q1
=
⇡2u0(w2)
q2
• El agente iguala la utilidad marginal “esperada” por peso ($)
en cada estado
• Aversión al riesgo no implica no tomar posiciones riesgosas
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Andres Medina
Condición de optimalidad de las personas. 
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Optimalidad
Precios activos AD y probabilidades
• Podemos reescribir las CPO:
u
0(w1)
u
0(w2)| {z }
Utilidad marginal(relativa)
=
q1/⇡1
q2/⇡2| {z }
Razón precio-probabilidad (relativa)
• Plan óptimo:
• Invertir menos en activos que tienen precios elevados en
relación a su probabilidad de ocurrir.
• Hacer esto hasta que la utilidad marginal en esos estados sea
suficiente para justificar su alta razón precio-probabilidad.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Desde Optimalidad a Equilibrio
• Hasta el momento asumimos que el inversionista toma los
precios q1 y q2 como dados y selecciona el portafolio óptimo
w1 y w2.
• ¿Pero qué determina los precios q1 y q2?
• Para ello se necesita conocerla oferta de activos AD y
encontrar el equilibrio.
• Pensemos por un momento que w1 y w2 están fijos, por
ejemplo por restricciones tecnológicas. Ejemplo:
• Estado 1 es una recesión con bajo nivel de recursos en la
econoḿıa real.
• Además, supongamos no es posible cambiar los planes de
inversión para reducir w2 y aumentar w1 (por ejemplo si las
oportunidades de inversión en la econoḿıa real están fijas).
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Equilibrio
Precios dependen de probabilidades y utilidades marginales
• Los inversionistas tratan, pero no pueden redistribuir riqueza
entre estados.
• Este deseo de los inversionistas afecta los precios de cada
estado (q1 y q2) hasta que los inversionistas estén indiferentes.
• Los precios de cada estado están determinados en equilibrio
por nuestra expresión anterior, que podemos reescribir:
q1
q2
=
⇡1
⇡2|{z}
Probabilidad (relativa)
⇥ u
0(w1)
u
0(w2)| {z }
Utilidad marginal
(3)
=) En equilibrio, los precios de cada estado están
determinados por las probabilidades y por la utilidad marginal
de los inversionistas en esos estados.
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Andres Medina
q1 podría ser un bono libre de riesgo y q2 el IPSA. 
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Equilibrio
Si inversionistas son neutrales al riesgo
• Si los inversionistas son neutrales al riesgo, la utilidad
marginal u0 es constante.
• En este caso la ecuación anterior implica que:
q1
q2
=
⇡1
⇡2
• es decir, los precios de los estados tienen que ser iguales a las
probabilidades (escalando si es necesario).
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 38
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Equilibrio
Si inversionistas son aversos al riesgo
• Pero en general, para inversionistas aversos al riesgo,
tendremos que:
q1
q2
=
⇡1
⇡2
u
0(w1)
u
0(w2)
• es decir, los activos que pagan en estados con mayor
probabilidad de ocurrencia y ”de crisis“ tendrán mayores
precios.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 39
Andres Medina
A mayor precio, menor retorno con estos activos. 
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Flexibilidad en Oportunidades de Inversión
• El ejemplo anterior es intuitivo, pero poco realista.
• En general los inversionistas śı podrán redistribuir en parte su
riqueza entre estados cambiando sus planes de inversiónes
reales.
• La oferta de activos (w1 y w2) y los precios (q1 y q2) se
determinarán conjuntamente.
• Sin embargo la ecuación (3) seguirá válida cuando el equilibrio
sea alcanzado.
• Entonces, las implicancias para los precios de los estados
aplican de manera general.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 40
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 41
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Desde precios de activos AD a precios de cualquier activo
• Sigamos con el ejemplo de dos estados.
• Hasta el momento hemos encontrados los precios de cada
estado q1 y q2 (precios de los activos AD).
• ¿Pero cuál es la relación con activos más generales?
• Recordemos que el precio de un activo i que paga zi ,1 en el
estado 1 y zi ,2 en el estado 2, está dado por:
pi = q1zi ,1 + q2zi ,2
• Entonces la misma intuición aplicará a activos generales:
• Activos que pagan en estados “desagradables”son
relativamente más caros porque entregan un seguro.
Estos activos tendrán retornos esperados menores.
• Activos que pagan en estados “buenos”tienen menor
valor por lo que entregarán un retorno esperado mayor.
Felipe Aldunate Escuela de Administración UC Tema 3 - Decisiones bajo incertidumbre 42
Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Mercados de Activos
Problema de optimización
• Veamos esta intuición en el problema del inversionista:
• Ahora tenemos dos activos no AD =) pagan en ambos
estados en distintas proporciones.
• Sean a1 y a2 el número de activos 1 y 2 que compra el
inversionista, con precios hoy p1 y p2.
máx
a1,a2
⇡1u(a1z1,1 + a2z2,1) + ⇡2u(a1z1,2 + a2z2,2)
+ �(W � a1p1 � a2p2)
donde zi ,s es el pago del activo i en el estado s.
• Las CPO son
z1,1⇡1u
0(w1)+z1,2⇡2u
0(w2) = �p1 (4)
z2,1⇡1u
0(w1)+z2,2⇡2u
0(w2) = �p2 (5)
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Mercados de Activos
Intrución CPO
• Llegamos a la siguiente condición
p1
p2
=
z1,1⇡1u0(w1) + z1,2⇡2u0(w2)
z2,1⇡1u0(w1) + z2,2⇡2u0(w2)
(6)
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Mercados de Activos
Mundo Real
• Los retornos históricos de diferentes activos se ajustan a
nuestra historia de equilibrio con aversión al riesgo:
• Las acciones tienen buen rendimiento cuando la econoḿıa
anda bien y presenta el mayor retorno promedio.
• El oro tiene un buen rendimiento cuando la econoḿıa anda
mal y presenta un retorno promedio menor, a pesar de tener
desviación estándar similar a las acciones.
• Los bonos están entre acciones y el oro.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Mercados de Activos
Relación con Activos AD
• ¿Cuál es la relación entre los activos AD y estos activos “más
reales”?
• Recordemos que si tenemos un activo AD para cada estado
=) mercado completo de activos AD.
• Cuando estudiamos arbitraje aprendimos que si podemos
construir los mismos flujos =) mismos precios.
z1,1q1 + z1,2q2 =p1
z2,1q1 + z2,2q2 =p2
• Un mercado es completo si podemos extraer los precios de los
activos AD puros usando los precios de los activos.
• Esto requiere que en el caso de un peŕıodo con incertidumbre
el número de activos con pagos linealmente independientes
debe ser igual al número de estados.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Mercados de Activos
Un ejemplo
• Supongamos que tenemos dos activos y dos estados de la
naturaleza.
• Activo A paga $1 independiente del estado; activo B paga $4
en estado 1 y $1 en estado 2.
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Mercados de Activos
Un ejemplo
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Aplicaciones
Mercadosde Activos – Un ejemplo
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Temas
1. Introducción
2. Utilidad Esperada
3. Aversión al Riesgo
4. Optimalidad y Equilibrio
5. Mercados de Activos
6. Preferencias Media-Varianza
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Media-Varianza
Motivación
• Hasta ahora: utilidad consumo en distintos estados
• Necesita describir todos y cada uno de los estados
• ¿Podemos resumir esta información en menos variables?
• Podemos usar variables aletatorias y distribuciones de
probabilidad
• Parámetros de distribuciones: ejemplo, Bernoulli –moneda al
aire
• Tradicionalmente usamos
• Media – retorno esperado
• Varianza – “volatilidad”
• ¿Es posible resumir sólo en estos parámetros?
• Necesitamos dos partes: preferencias y pagos
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Preferencias Media-Varianza
Como aproximación a preferencias generales
• Supuesto: pagos inciertos, media µ, varianza �2
• Aproximación de Taylor de función u(c) alrededor de µ
u(c) =u(µ) +
u
0(µ)
1!
(c � µ) + u
00(µ)
2!
(c � µ)2 + u
000(µ)
3!
(c � µ)3 + . . .
• Calculamos E (v(c)),
E(u(c)) =u(µ) +
u0(µ)
1!
E((c � µ))
| {z }
=0
+
u00(µ)
2!
E((c � µ)2)
| {z }
=�2
+
u000(µ)
3!
E((c � µ)3) + . . .
U =u(µ) +
u00(µ)
2!
�2 +
u000(µ)
3!
E((c � µ)3) + . . . (7)
• Si preferencias tiene u000 y mayores todas iguales a 0 =) µ y
�2 resumen información
• Si µ y �2 resumen toda la información relevante para
comparar loteŕıas
• Preferencias cuadráticas =) primer caso
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Introducción Utilidad Esperada Aversión al Riesgo Optimalidad y Equilibrio Mercados de Activos Preferencias Media-Varianza
Preferencias Media-Varianza
Una forma funcional
• Preferencias “cuadráticas” definidas sobre media y varianza
U({c}) =E (u(c)) = E (c)� a
2
V (c), a > 0 (8)
• Definamos:
• µc = E (c)
• �2 = V (c) –varianza
• � –desviación estándar
• Racionalización: aproximación a funciones de utilidad más
generales
• Nota: recuerden lógica de modelos económicos (y financieros)
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	Introducción
	Utilidad Esperada
	Aversión al Riesgo
	Optimalidad y Equilibrio
	Mercados de Activos
	Preferencias Media-Varianza