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Portafolios
J. Tessada
2-2018
Repaso
Preferencias
Media-
Varianza
Artimética de
Portafolios
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Finanzas I
Teorı́a de Portafolios
José Tessada
Escuela de Administración
Septiembre 2018
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J. Tessada
2-2018
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Preferencias
Media-
Varianza
Artimética de
Portafolios
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Temas
1 Refrescando Conocimientos
Covarianza
Combinaciones de Variables Aleatorias
2 Preferencias Media-Varianza
3 Artimética de Portafolios
Intuición: 2 activos
4 Diversificación
Riesgo Sistemático
Riesgo Relativo
5 Portafolios Riesgosos y Portafolios Eficientes
n Activos Riesgosos
ALR + Activos Riesgosos
6 Decisión Individual
Lecturas: BKM cap. 6.4 a 6.6 y cap. 7.
Calvet, Laurent, John Campbell, y Paolo Sodini, 2007, “Down or out: Assessing the welfare costs
of household investment mistakes,” Journal of Political Economy, 115: 707-747.
Varian, H. R., 1993, “A Portfolio of Nobel Laureates: Markowitz, Miller and Share.” Journal of
Economic Perspectives, 7: 159-169.
Calvet, Laurent, y Paolo Sodini, 2014, “Twin Picks: Disentangling The Determinants of Risk
Taking in Household Portfolios,” Journal of Finance, 69(2), pp. 867-906
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Covarianza
Combinaciones
de Variables
Aleatorias
Preferencias
Media-
Varianza
Artimética de
Portafolios
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Covarianza y Correlación
Definición
Recordando: Covarianza – definición
Cov(X, Y) =σXY =
n
∑
i=1
πi(xi − E(X))(yi − E(Y)) (1)
Estimador muestral de covarianza, T observaciones
Cov(X, Y) =
1
T− 1
T
∑
i=1
(xi −X)(yi − Y)
La correlación es
ρXY =
σXY
σXσY
(2)
Correlación = 0 ; independencia
Sólo si variables tienen distribución normal conjunta
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Covarianza
Combinaciones
de Variables
Aleatorias
Preferencias
Media-
Varianza
Artimética de
Portafolios
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Media y Varianzas de Combinaciones
Definamos Z = aX + bY, a, b constantes
Entonces tenemos
E(Z) =aE(X) + bE(Y) (3)
V(Z) =a2V(X) + b2V(Y) + 2abCov(X, Y)
=a2V(X) + b2V(Y) + 2abσXσYρXY (4)
Covarianza
Cov(aX, bY) =abCov(X, Y)
Para el caso de la suma de n variables aleatorias Xi, i = 1, . . . , n, tenemos
Z =
n
∑
i=1
aiXi, ai son constantes
V(Z) =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
aiajCov(Xi, Xj) =
n
∑
i=1
a2i V(Xi) + ∑
i 6=j
aiajCov(Xi, Xj)︸ ︷︷ ︸
2 ∑i≤j<n aiajCov(Xi,Xj)
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Preferencias
Media-
Varianza
Artimética de
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Diversificación
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Riesgosos y
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Eficientes
Decisión
Individual
Media-Varianza
Motivación – Una pausa
Hasta ahora: utilidad consumo en distintos estados
Necesita describir todos y cada uno de los estados
¿Podemos resumir esta información en menos variables?
Podemos usar variables aletatorias y distribuciones de probabilidad
Parámetros de distribuciones: ejemplo, Bernoulli –moneda al aire
Tradicionalmente usamos
Media – retorno esperado
Varianza – “volatilidad”
¿Es posible resumir sólo en estos parámetros?
Necesitamos dos partes: preferencias y pagos
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Decisión
Individual
Preferencias Media-Varianza
Como aproximación a preferencias generales
Supuesto: pagos inciertos, media µ, varianza σ2
Aproximación de Taylor de función v(c) alrededor de µ
v(c) =v(µ) +
v′(µ)
1!
(c− µ) + v
′′(µ)
2!
(c− µ)2 + v
′′′(µ)
3!
(c− µ)3 + . . .
Calculamos E(u(c)),
E(v(c)) =v(µ) +
v′(µ)
1!
E((c− µ))︸ ︷︷ ︸
=0
+
v′′(µ)
2!
E((c− µ)2)︸ ︷︷ ︸
=σ2
+
v′′′(µ)
3!
E((c− µ)3) + . . .
U =v(µ) +
v′′(µ)
2!
σ2 +
v′′′(µ)
3!
E((c− µ)3) + . . . (5)
Si preferencias tiene v′′′ y mayores todas iguales a 0 =⇒ µ y σ2 resumen
información
Si µ y σ2 resumen toda la información relevante para comparar loterı́as
Preferencias cuadráticas =⇒ primer caso
Distribución normal: dos parámetros importan
¿Qué representan los momentos de orden mayor a 2? ¿Importan?
Sesgo (“skewness”) – ¿cómo son las loterı́as?
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Artimética de
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Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Preferencias Media-Varianza
Una forma funcional
Preferencias “cuadráticas” definidas sobre media y varianza
U({c}) =E(v(c)) = E(c)− a
2
V(c), a > 0 (6)
Definamos:
µc = E(c)
σ2 = V(c) –varianza
σ –desviación estándar
Racionalización: aproximación a funciones de utilidad más generales
Nota: recuerden lógica de modelos económicos (y financieros)
Digresión
Aquı́ también podemos ver averso comprando activo riesgoso
Activo con esperanza nµ, pagos n(µ± 1), π = 0,5
Varianza es n2 =⇒ ∀a > 0 existe n > 0 tal que prefiere comprar activo
Pensemos en n como # acciones
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Artimética de
Portafolios
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activos
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Retornos de Portafolios
n activos
Llamaremos ωi a la participación de activo i en portafolio
Activos 1, . . . , n
Retornos: Ri → E(Ri), σi
Portafolio: ponderadores ωi, ∑i ωi = 1
Rp =
n
∑
i=1
ωiRi (7)
Momentos retorno portafolio
Media:
E(Rp) =
n
∑
i=1
ωiE(Ri) (8)
Varianza:
σ2p =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
ωiωjσij (9)
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Varianza
Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Portafolios con n activos
¿Cuánto contribuye un activo al retorno esperado y la varianza de un portafolio?
Media
E(Rp) =
n
∑
i=1
ωiE(Ri)
Activo i: ωiE(Ri)
Varianza:
σ2p =

ω21σ
2
1 + ω1ω2σ12 + . . . + ω1ωnσ1n
+ω1ω2σ12 + ω
2
2σ
2
2 + . . . + ω2ωnσ2n
...
+ω1ωnσ1n + ω2ωnσ2n + . . . + ω2nσ2n
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Media-
Varianza
Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Portafolios con n activos
Esto sugiere una descomposición interesante
σ2p =

ω1
(
ωσ21 + ω2σ12 + . . . + ωnσ1n
)
︸ ︷︷ ︸
σ1,p
+ω2
(
ω1σ12 + ω2σ
2
2 + . . . + ωnσ2n
)
︸ ︷︷ ︸
σ2,p
...
+ωn
(
σ1n + ω2σ2n + . . . + ωnσ2n
)
︸ ︷︷ ︸
σn,p
σ2p =ω1σ1,p + ω2σ2,p + . . . + ωnσn,p
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activos
Diversificación
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Riesgosos y
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Decisión
Individual
Retornos de un Portafolio
2 Activos
Veamos el caso especı́fico de 2 activos
Varianza de un portafolio de dos activos
σ2RP = ω
2
Aσ
2
A + ω
2
Bσ
2
B + 2ωAωBσAB
La covarianza se puede escribir como σAB = ρABσAσB
σ2RP =ω
2
Aσ
2
A + ω
2
Bσ
2
B + 2ωAωBρABσAσB (10)
¿Cómo es el σ del portfolio vs promedio de σ de activos individuales?
Para cualquier ρ < 1 tendremos que σRP < ωAσA + ωBσB
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Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
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Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Retornos de un Portafolio
2 Activos
¿Podemos hacer un portafolio con cero varianza?
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Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Ejemplo
Veamos un ejemplo gráficamente usando dos activos
Con nuestra creatividad usual tomaremos los activos 1 y 2
Activo 1 Caso 1 Caso 2
Retornoesperado 4 % 4 %
Desviación estándar 7 % 15 %
Activo 2 Caso 1 Caso 2
Retorno esperado 7 % 7 %
Desviación estándar 10,5 % 10,5 %
Cambiaremos la correlación entre 0,4 y −0,4
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Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Ejemplo
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0%
Figura 1. Combinaciones posible de retorno esperado y desviación estándar en caso 1 y ρ = 0,4
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Artimética de
Portafolios
Intuición: 2
activos
Diversificación
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Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Ejemplo
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%
Figura 2. Combinaciones posible de retorno esperado y desviación estándar en caso 2 y ρ = 0,4
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Artimética de
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Intuición: 2
activos
Diversificación
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Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Ejemplo
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0%
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0%
Figura 3. Combinaciones posibles de retorno esperado y desviación estándar en caso 1 con ρ = 0,4
en la figura de la derecha y ρ = −0,4 en la izquierda.
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activos
Diversificación
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Decisión
Individual
Varianza Portafolio y Correlación
Gráficamente
E(RP)
sRP
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
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Eficientes
Decisión
Individual
Diversificación
Concepto
Recordemos que por fórmula de varianza con dos activos: si ρ < 1 =⇒ σp menor
que promedio de σ activos
Repartiendo los recursos entre distintos activos se reduce la exposición a las
fluctuaciones de activos particulares
¿Cómo funciona esto?
Si ρ < 1 activos NO se mueven juntos todo el tiempo
Ejemplo: caso de 2 activos con ρ = 0, equal weighted, igual varianza
σp =
σ2
4
+
σ2
4
=
σ2
2
Con más activos varianza se hace cada vez menor
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Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
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Decisión
Individual
Diversificación
Concepto
Diversificar es repartir recursos en más activos
Diversificación no es invertir más en otro activo
¿Cómo?
$100 en activo X, invierto $100 más en activo Y
¿Retorno de portafolio?
¿Varianza?
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
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Eficientes
Decisión
Individual
Portafolio con n Activos
Varianza
Noten que podemos escribir la fórmula de la varianza de la siguiente manera
σ2p =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
ωiωjσij =
n
∑
i=1
ω2i σ
2
i︸ ︷︷ ︸
A
+
n
∑
i=1
∑
j 6=i
ωiωjσij︸ ︷︷ ︸
B
Los términos A y B tienen una interpretación natural;
A Suma de riesgos propios
B Suma de riesgos cruzados
Pensemos en la contribución de estos distintos componentes
Supongamos el caso de 3 activos
Número total de términos
Número de riesgos individuales
Número de covarianzas
Número de covarianzas distintas
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Portafolio con n Activos
Varianza (cont)
Podemos resumir esto en una tabla
Activos 2 3 10 25 50 100
Riesgos Indiv 2 3 10 25 50 100
Núm de covarianzas 2 6 90 600 2450 9900
Total 4 9 100 625 2500 10000
Covar/Total ( %) 50 67 90 96 98 99
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
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Riesgosos y
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Eficientes
Decisión
Individual
Portafolio con n Activos
¿Cuánto puedo diversificar?
Pensemos en el caso de muchos activos =⇒ n se acerca a ∞
Trabajemos con un portafolio con ponderación igual para todos los activos
σ2p =
n
∑
i=1
(1/n)2σ2i +
n
∑
i=1
∑
j 6=i
(1/n)(1/n)σij
=(1/n)2
n
∑
i=1
σ2i + (1/n)
2
n
∑
i=1
∑
j 6=i
σij
Definamos
σ2 =
∑ni=1 σ
2
i
n
σij =
∑ni=1 ∑j 6=i σij
n2 − n
En la última expresión usamos n2 − n porque ese es el número de términos que
tenemos en los riesgos cruzados
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
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Decisión
Individual
Portafolio con n Activos
‘?Cuánto puedo diversificar?
Ahora usamos las última dos ecuaciones en la fórmula para la varianza del portfolio
σ2p =(1/n)
2nσ2 + (1/n)2(n2 − n)σij
=
σ2
n
+ σij −
σij
n
El primer y el último término del lado derecho convergen a 0 cuando n crece
Nos quedamos con σij que corresponde a una “covarianza promedio” de los activos
Este valor nos muestra la varianza que podrı́amos alcanzar en un portafolio
altamente diversificado (y con ponderadores iguales para todos los activos)
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Riesgo Sistemático
Riesgo sistemático
Riesgo “agregado” que puede afectar a todos los instrumentos financieros de la
economı́a de manera conjunta. Este riesgo no puede ser eliminado mediante
diversificación.
¿Qué tipo de variables o shocks son potenciales fuentes de riesgo sistemático?
Algunos ejemplos
1 Crecimiento agregado incierto
2 Cambios en tasas de descuento (aversión al riesgo, tasas de interés)
3 Sorpresas en variables macroeconómicas
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Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Riesgo No Sistemático
“Por diferencia” el riesgo no sistemático es la parte del riesgo que afecta solamente
a un activo o un grupo de activos especı́fico. Este riesgo puede ser eliminado al
tener portafolios suficientemente diversificados.
Ejemplos
Shocks en variables especı́ficas para un sector (shocks sectoriales)
Siniestros y accidentes locales
etc.
¿Es relevante este riesgo para un inversionista?
No, al inversionista profesional sólo le preocupa el riesgo sistemático
¿Por qué?
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Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
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Decisión
Individual
Riesgo Relativo de un Portafolio
Ejemplo
Consideremos el siguiente ejemplo
3 activos
Activo 1 2 3
ωi 24 % 43 % 33 %
E(Ri) 15 % 20 % 10 %
σi 28 % 22 % 14 %
Correlaciones: ρ12 = −0,4, ρ13 = 0,2, ρ23 = 0,5
¿Cómo podemos medir el riesgo de un activo en el contexto de este portafolio?
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Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
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Decisión
Individual
Riesgo Relativo de un Portafolio
Ejemplo (cont.)
Podemos obtener la varianza del portafolio:σ2p = 0,01612
¿Pero cuánto contribuye cada activo?
Activo 1 0,00259
Activo 2 0,00859
Activo 3 0,00494
Suma
Las contribuciones relativas son estas contribuciones como fracción de la varianza
del portafolio
Más interesante, podemos escribir estas contribuciones como función de la
covarianza entre el activo y el portafolio
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Riesgo Relativo de un Portafolio
Ejemplo (cont.)
Recordemos que podemos escribir
σ2p =ω1σ1,p + ω2σ2,p + ω3σ3,p
En este caso en particular:
σ2p =0,24× (0,24× 0,282 + 0,43× (−0,4)× 0,28× 0,22 + 0,33× 0,2× 0,28× 0,14)
+0,43× (0,24× (−0,4)××0,22× 0,28 + 0,43× 0,222 + 0,33× 0,5× 0,22× 0,14)
+0,33× (0,24× 0,2× 0,14× 0,28 + 0,43× 0,5× 0,14× 0,22 + 0,33× 0,142)
Entonces podemos derivar lo siguiente
σ2p
σ2p
=ω1
σ1,p
σ2p
+ ω2
σ2,p
σ2p
+ ω3
σ3,p
σ2p
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Preferencias
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Artimética de
Portafolios
Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Riesgo Relativo de un Portafolio
β como riesgo relativo
Definiremos el riesgo relativo de un activo como βip
βip =
σi,p
σ2p
βi,p captura el riesgo del activo i dentro del portafolio p
La contribución relativa al riesgo del portafolio es entonces ωiβi,p
¿Cuál es el β del portafolio con respecto a si mismo?
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Preferencias
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Artimética de
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Diversificación
Riesgo
Sistemático
Riesgo Relativo
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Diversificación
Resumen
Diferencia entre cobertura/hedging y diversificación
Hedging: combinaciones de activos riesgosos reducen riesgo de un portafolio
Diversificación: repartir ahorros entre distintos activos para reducir exposición a un
shock en particular
Lecciones de diversificación
1 Reduce riesgo
2 Pero esto tiene un lı́mite –no todo riesgo es eliminable con diversificación
En un portafolio bien diversificado
Varianza de cada activo contribuye poco
Covarianzas determinan el riesgo del portafolio
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Varianza
Artimética de
Portafolios
Diversificación
Portafolios
Riesgosos y
Portafolios
Eficientes
n Activos
Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
Motivación
¿Cuáles son las combinaciones de media-varianza que se pueden alcanzar?
Si existe más de un portafolio con igual varianza, ¿cuál es el relevante?
¿Y si hay más de uno con igual retorno esperado?
Con 2 activos: respuestas son simples
Con igual varianza, seleccionar mayor retorno esperado
Selección de portafolios→ portafolios eficientes
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n Activos
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ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
Motivación
Caso simple: 2 activos riesgosos
Recordemos que
E(Rp) =ω1E(R1) + (1−ω1)E(R2)
σ2p =ω
2
1σ
2
1 + (1−ω1)2σ22 + 2ω1(1−ω1)σ12
Podemos escribir
ω1 =
E(Rp)− E(R2)
E(R1)− E(R2)
= 1−
E(Rp)− E(R1)
E(R2)− E(R1)
Por lo que
σ2p =
(
E(Rp)− E(R2)
E(R1)− E(R2)
)2
σ21 +
(
E(Rp)− E(R1)
E(R2)− E(R1)
)2
σ22
+ 2
(
E(Rp)− E(R2)
E(R1)− E(R2)
)(
E(Rp)− E(R1)
E(R2)− E(R1)
)
σ12
=⇒ ecuación cuadrática entre E(Rp) y σ2p
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Caso simple: 2 activos riesgosos
Pensemos en el caso de 2 activos con |ρ12 < 1|
Portafolios de mı́nima varianza
Mı́nima σp dado E(Rp)
Portafolio de mı́nima varianza absoluta
Mı́nima σp para cualquier E(Rp)
Portafolios eficientes:
Portafolio de mı́nima varianza
Portafolio con mayor E(Rp) para una σp dada
“Gráficamente” es la mitad de arriba de portafolios de mı́nima varianza
Por sobre el portafolio de mı́nima varianza absoluta
¿Qué lógica tiene el buscar estas condiciones?
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Riesgosos
Decisión
Individual
Motivación
2 activos – gráficamente
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0%
Figura 4. Frontera eficiente con dos activos – Ejemplo
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n Activos Riesgosos
Problema Formal
Con dos activos: todas las combinaciones son de mı́nima varianza
Con n > 2 necesitamos ver como combinar estos activos
Matemáticamente
mı́n
{ωi}ni=1
σ2p =
n
∑
i=1
ω2i σ
2
i +
n
∑
i=1
∑
j 6=i
ωiωjσij
Sujeto a E(Rp) =
n
∑
i=1
ωiE(Ri) ≥ R∗
¿Cuántas variables de decisión hay en este problema?
¿Cuántas variables se necesita conocer antes para tener una solución?
En la práctica:
Usar Solver en Excel u otro programa con métodos numéricos
Usar matrices
Pero. . .
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Individual
n Activos Riesgosos
Intuición
Selección de portfolios sigue mismo proceso “intuitivo”
Descartar portfolios “interiores”
Seleccionar portafolio de mayor retorno si hay más de uno con igual σ
Obtenemos frontera eficiente
Observaciones
1 Agregar activos mueve la frontera hacia arriba y la izquierda
2 Agregar un nuevo activo jamás puede perjudicarnos
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n Activos Riesgosos
Derivación Gráfica
E(Rp)
sp
Figura 5. Conjunto de portafolios posibles
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n Activos
Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
n Activos Riesgosos
Derivación Gráfica
E(Rp)
sp
Figura 6. Conjunto de portafolios de mı́nima varianza: mı́n σp dado E(RP)
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n Activos Riesgosos
Derivación Gráfica
E(Rp)
sp
Figura 7. Conjunto de portafolios eficientes: aparte de ser de mı́nima varianza, máx E(Rp) sujeto a
un valor σp dado.
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n Activos
Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
ALR + 1 Activo Riesgoso
Caso Simple
Supongamos 2 activos, uno libre de riesgo (activo 2), Rf
En este caso podemos escribir
ω1 =
E(Rp)− Rf
E(R1)− Rf
Con varianza y desviación estándar
σ2p =ω
2
1σ
2
1 =
(
E(Rp)− Rf
E(R1)− Rf
)2
σ21
σp =
(
E(Rp)− Rf
E(R1)− Rf
)
σ1 (11)
Relación E(Rp) y σp es lineal
Frontera eficiente es lineal
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ALR + Activos
RiesgososDecisión
Individual
ALR + 1 Activo Riesgoso
Caso Simple (cont.)
Noten que podemos reescribir (11) como
E(Rp) =
[
E(R1)− Rf
σ1
]
σp + Rf
Capital allocation line
La pendiente
S =
E(R1)− Rf
σ1
es el ratio de Sharpe (Sharpe’s ratio)
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ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
ALR + 1 Activo Riesgoso
Gráficamente
E(Rp)
sp
E(Rf)
A
Venta corta de 
activo libre de 
riesgo
Figura 8. Portafolio con un activo riesgoso y un activo libre de riesgo
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Riesgosos
Decisión
Individual
ALR + n Activos Riesgosos
Caso General
En este caso portfolios mezclan: ALR + un portfolio riesgoso
¿Cuál?
Vuelta al concepto: frontera eficiente implica max retorno dado σp = σ̄
Primer paso: sabemos que ALR + 1 activo riesgoso nos da una lı́nea recta
Pensemos en portafolios de frontera eficiente con “n” activos como portafolios
distintos
¿Con cuál “activo riesgoso” logro alcanzar el mayor retorno para cada varianza?
Para pensar: ¿por qué puedo centrarme sólo en puntos sobre la frontera?
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Riesgosos
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Individual
ALR + n Activos Riesgosos
Intuición
Pensemos en el caso de 2 activos, 1 y 2, con ρ1,2 < 1
Agreguemos un ALR =⇒ ¿cómo mezclarlos?
Frontera eficiente es una combinación de dos activos:
1 ALR
2 Portfolio tangencial
El portafolio tangente
Está en la frontera eficiente de activos riesgosos
Es el punto de tangencia con la frontera eficiente de una lı́nea que parte de eje vertical
con E(R) = Rf
Permite alcanzar mejores combinaciones media-varianza
Notar el rol de la aversión al riesgo
. . . y de media-varianza
Pendiente corresponde a ratio de Sharpe: (E(Rpt)− Rf )/σpt
Portafolio tangencial tiene el máximo valor alcanzable de ratios de Sharpe
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Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
Activos Individuales y Portafolio Tangente
Notemos primero que el retorno de cualquier portafolio se puede escribir como
E(Rp) =Rf +
n
∑
i=1
ωi(E(Ri)− Rf )
¿Cómo cambia E(Rp) si cambiamos ωi marginalmente?
∂E(Rp)
∂ωi
=E(Ri)− Rf
¿Cómo cambia σp si cambiamos ωi marginalmente? (Ver apéndice)
σ2p =ω
2
i σ
2
i + 2 ∑
j 6=i
ωiωjσij
∂σp
∂ωi
=
1
2σp
∂σ2p
∂ωi
=
σip
σp
(12)
Mientras que el cambio relativo (1/σp)
∂σp
∂ωi
es
σip
σ2p
Esto corresponde exactamente a βi,p (ver riesgo relativo)
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n Activos
Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
Activos Individuales y Portafolio Tangente
Riesgo-Retorno Marginal
Definamos ratio riesgo-retorno marginal del activo i en el portafolio p, RRRip como
RRRip =
(
∂E(Rp)
∂ωi
)
/
(
∂σp
∂ωi
)
=
E(Ri)− Rf
(σip/σp)
En el caso del portafolio tangente, el RRRiT debe ser igual para todos los activos
riesgosos, y debe ser igual al del portafolio tangencial
RRRiT =
E(Ri)− Rf
(σiT/σT)
= RRRT =
E(RT)− Rf
σT
Intuitivamente: si no fuera ası́ podrı́amos cambiar la composición del portafolio y
aumentar RRRT
Manteniendo retorno esperado podemos bajar σT ajustando ponderadores ωi de
acuerdo a valores de RRR
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n Activos
Riesgosos
ALR + Activos
Riesgosos
Decisión
Individual
Activos Individuales y Portafolio Tangente
β y Portafolio Tangente
Reordenando la condición anterior obtenemos
E(Ri)− Rf =
σiT
σ2T
(
E(RT)− Rf
)
que describe la relación entre retornos esperados de los activos y del portafolio
tangencial
βiT aparece en esta ecuación
Particular para caso de portafolio tangencial
β mide riesgo relativo, también mide relación entre E(Ri)− Rf y E(RT)− Rf
Notar que es válido solo para portafolio tangente
Ecuación aparecerá nuevamente cuando veamos modelos de equilibrio de mercado de
activos
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Decisión
Individual
Problema Individual
Fronteras y Problema del Inversionista
Hasta ahora: preferencias media-varianza y aversión al riesgo
Pero no hemos definido exactamente el rol que juegan
Noción de frontera y portafolios de mı́nima varianza no necesitan definir qué tan
averso al riesgo son
Muestran portafolios que son relevantes
Portafolios eficientes son aquéllos que inversionistas efectivamente seleccionarán (de
acuerdo al modelo)
Caso con ALR + n activos riesgosos =⇒ portafolio tangencial
Condicional en aversión al riesgo, nivel de aversión al riesgo no afecta portafolio de
activos riesgosos
Teorema del fondo mutuo: todos los inversionistas mantienen un portafolio
diversificado de los activos riesgosos y este portafolio es el mismo para todos
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Decisión
Individual
Problema Individual
Formulación
Supongamos que preferencias son cuadráticas, entonces podemos escribir el
problema como (con A > 0)
máx
{ωi}ni=1
E(Rp)−Aσ2p
sujeto a
n
∑
i=1
ωi = 1
E(Rp) =
n
∑
i=1
ωiE(Ri) y σ2p =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
ωiωjσij
Las condiciones finales describen el set de portafolios posibles
Frontera eficiente: tomar condiciones generales que caracterizan los portafolios
relevantes para este problema
Portafolio fuera de frontera: para individuo está dominado por uno eficiente
Además podemos incorporar restricciones: por ej., prohibir ventas cortas (agregar
ωi ≥ 0 ∀i) o restringir inversión en clases de activos
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Portafolios
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Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
Problema Individual
Aversión al riesgo
Dado un set de activos y que inversionistas ven mismos retornos esperados y
varianzas
Y preferencias son media-varianza (nunca olvidar esto)
O retornos pueden ser caracterizados por el (vector de) retorno esperado y la (matriz) de
varianza
Entonces frontera eficiente es la misma para todos los inversionistas
Aversión al riesgo afecta cuanto riesgo, entendido como σp toma cada uno
Ejemplo, ALR + n activos riesgosos
Frontera: portafolios (ω, 1−ω) en ALR y portafolio tangente T, respectivamente
ω va a depender de aversión al riesgo –aumenta con mayor aversión al riesgo
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Individual
¿De dónde salen los portafolios tangentes y demases?
El portafolio tangente es el portafolio que da el mayor ratio de Sharpe de entre
todos los portafolios creados con activos riesgosos
Debe estar en frontera de activos riesgosos (es tangente)
Se busca la combinación que entrega la lı́nea más favorable para las preferencias
Noten que esto depende sólo de las combinaciones de retornos esperados y
varianzas-covarianzas
Portafolio óptimo con ALR
Combinación de dos activos: ALR y portafolio tangencial
Buscar ponderación que maximiza la utilidad
Va a dependerde parámetro de aversión al riesgo A en
U = E(Rp)−
A
2
σ2p
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Portafolios
Eficientes
Decisión
Individual
¿Y los suecos?
Calvet, Campbell y Sodini (2007)
b. Complete Portfolios
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Return Standard Deviation
R
et
ur
n 
M
ea
n
Household Complete Portfolios
World Index in USD
World Index in SEK
Swedish Index in SEK
Swedish T-bill
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Media y
Varianza
Media y Varianza
Repaso
Primero, revisión de un par de conceptos
Cuando tenemos una variable que puede tomar distintos valores (una variable
aleatoria) podemos calcular una serie de medidas (momentos)
Por ahora nos enfocaremos en dos: esperanza o media, y varianza (y la desviación
estándar)
La media o esperanza de una variable X se define como
E(X) =
n
∑
i=1
pixi (13)
Mientras que la varianza y la desviación estándar se definen como:
V(X) =
n
∑
i=1
pi(xi − E(X))2 (14)
σX =
√
V(X) (15)
pi es la probabilidad de observar el valor xi
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Repaso
Media y
Varianza
Media y Varianza
Repaso
Práctica: muchas veces observamos series ex-post =⇒ observamos realizaciones
Podemos calcular esperanzas y varianzas muestrales con los datos observados
Media
X̄ =∑
n
i=1 xi
n
(16)
Varianza
V(X) =∑
n
i=1(xi − X̄)2
n− 1 (17)
σX =
√
V(X) (18)
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Media y
Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
Consideremos una activo que tiene los siguientes retornos
Escenario Bueno Regular Malo
Probabilidad 0.1 0.7 0.2
Retorno (en %) 20 5 -5
Media
E(X) =0,1× 20 + 0,7× 5 + 0,2×−5
=4,5
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Media y
Varianza
Media y Varianza
Ejemplo
Varianza
V(X) =0,1× (20− 4,5)2 + 0,7× (5− 4,5)2 + 0,2× (−5− 4,5)2
=42,25
Desviación estándar
σX =
√
42,25 = 6,5
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Media y
Varianza
Activos Individuales y Portafolio Tangente
Apéndice: Derivación ecuación (12)
Usando regla de la cadena se obtiene
∂σp
∂ωi
=
1
2σp
∂σ2p
∂ωi
La derivación siguiente viene de agrupar términos (ver sección sobre riesgo relativo
para algunas fórmulas usadas)
∂σ2p
∂ωi
=2ωiσ2i + 2 ∑
j 6=i
ωjσij
=2
n
∑
j=1
ωjσij
=2Cov(Ri, Rp) = 2σip
	Refrescando Conocimientos
	Covarianza
	Combinaciones de Variables Aleatorias
	Preferencias Media-Varianza
	Artimética de Portafolios
	Intuición: 2 activos
	Diversificación
	Riesgo Sistemático
	Riesgo Relativo
	Portafolios Riesgosos y Portafolios Eficientes
	n Activos Riesgosos
	ALR + Activos Riesgosos
	Decisión Individual
	Apéndice
	Repaso Media y Varianza