Continuidad - Cyntia Barrera Cevallos

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CONTINUIDAD
1 Continuidad
Definición 1.1 Sea f : Dom (f) → R y a ∈ Dom (f). Se dice que la función f es continua en a si y
sólo śı lim
x→a
f(x) existe y
lim
x→a
f(x) = f(a).
Ejemplo:
1. La función f(x) = x es continua en todo R.
2. Las funciones sin(x) y cos(x) son continuas en todo R.
3. La función f(x) = |x| es continua en todo R.
4. La función
f(x) =
{
sin(x)
x
si x 6= 0
m si x = 0
es continua en x = 0 si y sólo śı m = 1.
Definición 1.2 Sea f : Dom (f) → R y a ∈ Dom (f). Se dice que la función f es continua por la
derecha en a si y sólo śı lim
x→a+
f(x) existe y
lim
x→a+
f(x) = f(a).
De manera análoga se define ĺımite por la izquierda.
Ejemplo:
La función f(x) =
√
x es continua por la derecha en x = 0.
Ejercicio:
Determinar m de manera que la función
f(x) =

x2 si x < 1
m si x = 1
x + 1 si 1 < x
a) sea continua por la derecha en x = 1.
1
b) sea continua por la izquierda en x = 1.
c) Es posible determinar m de modo que f sea continua en x = 1?
El teorema siguiente es consecuencia inmediata de los correspondientes teoremas sobre ĺımites.
Teorema 1.1 Sean f y g dos funciones continuas en a, entonces
a)
f + g es continua en a.
b)
fg es continua en a.
c)
f
g
es continua en a, siempre que g(a) 6= 0.
El teorema anterior por cierto vale también para continuidad por la derecha y por la izquierda.
Para la composición también se tiene
Teorema 1.2 Sea f continua en x = a y sea g continua en f(a), entonces la composición g ◦ f es
continua en a.
Ejercicio:
Es la afirmación siguiente VERDADERA o FALSA?
Si f es continua por la derecha en x = a y g es continua por la derecha en f(a), entonces la
composición g ◦ f es continua por la derecha en a.
Definición 1.3
a) Si f está definida en (a, b) diremos que f es continua en (a, b) si f es continua en x para todo
x ∈ (a, b).
b) Si f está definida en [a, b] diremos que f es continua en [a, b] si f es continua en (a, b) y además
f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
Teorema 1.3 (Teorema del Valor Intermedio)
Sea f continua en [a, b]. Sea α un número ”entre” f(a) y f(b). Entonces existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) = α.
Demostración:
Se sugiere que al leer esta demostración tome lápiz y papel y dibuje el posible gráfico de la función
y como se van encajando los intervalos que se construyen a continuación.
En el caso f(a) = f(b) no hay nada que demostrar. Supondremos que f(a) < f(b) ya que el caso
f(a) > f(b) es totalmente análogo.
2
Tomemos α tal que f(a) ≤ α ≤ f(b). Debemos encontrar c ∈ [a, b] tal que f(c) = α.
Construiremos recursivamente ahora dos sucesiones {an}∞n=0 y {bn}∞n=0 de la manera siguiente:
a0 = a y b0 = b.
Sea c0 =
a0+b0
2
el punto medio entre a0 y b0. Si f(c0) = α ponemos c = c0 y la demostración está
terminada En caso conrario construimos a1 y b1 de acuerdo a la regla siguiente:
Si f(c0) > α entonces [a1, b1] = [a0, c0],
y
Si f(c0) < α entonces [a1, b1] = [c0, b0].
Observamos que en ambos casos a1 ≥ a0, b1 ≤ b0, f(a1) ≤ α, f(b1) ≥ α y además |b1 − a1| = |b0−a0|2 .
Supongamos ahora que hemos construido an y bn tales que an ≥ an−1, bn ≤ bn−1, f(an) ≤ α,
f(bn) ≥ α y además |bn − an| = |b0−a0|2n . Sea cn =
an+bn
2
el punto medio entre an y bn. Si f(cn) = α
ponemos c = cn y la demostración está terminada En caso conrario construimos an+1 y bn+1 de acuerdo
a la regla siguiente:
Si f(cn) > α entonces [an+1, bn+1] = [an, cn],
y
Si f(cn) < α entonces [an+1, bn+1] = [cn, bn].
En ambos casos se tiene an+1 ≥ an, bn+1 ≤ bn, f(an+1) ≤ α, f(bn+1) ≥ α y además |bn+1−an+1| = |b0−a0|2n+1 .
Como la sucesión {an}∞n=0 es monótona creciente y acotada superiormente por b por el Axioma del
Supremo se tiene que existe c ≤ b tal que lim
n→∞
an = c. También
|bn − c| = |bn − an + an − c| ≤ |bn − an|+ |an − c| ≤
|b0 − a0|
2n
+ |an − c|
y por lo tanto lim
n→∞
bn = c y c ≥ a.
Aśı
a ≤ lim
n→∞
an = c = lim
n→∞
bn ≤ b.
Como f es continua se tiene que
lim
n→∞
f(an) = f(c) = lim
n→∞
f(bn).
Ahora, como f(an) ≤ α y f(bn) ≥ α para todo n, se tiene
c = lim
n→∞
f(an) ≤ α
y
c = lim
n→∞
f(bn) ≥ α.
Por lo tanto
f(c) = α
lo que termina la demostracón.
Ejercicio:
Usando el método de la demostración anterior, y una calculadora, dé un valor aproximado, con un
error de no más de 10−2, de una raiz de
3
a)
x5 + x3 − 1 = 0
b)
cos(x) = x
Definición 1.4 Si f está definida en un conjunto A decimos que f está acotada en A si existe M ≥ 0
tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A.
Teorema 1.4 Sea f continua en [a, b]. Entonces f es acotada en [a, b].
Demostración:
Haremos la demostración por contradicción usando argumentos similares a los de la demostración
del teorema precedente.
Como f es continua |f | también lo es. Supongamos que |f | NO es acotada.
Construiremos recursivamente ahora tres sucesiones {an}∞n=0, {bn}∞n=0 y {dn}∞n=0 de la manera sigu-
iente:
a0 = a y b0 = b.
Sea c0 =
a0+b0
2
el punto medio entre a0 y b0. Construimos a1, b1 y d1 de acuerdo a la regla siguiente:
Si |f | no es acotada en [a0, c0] entonces [a1, b1] = [a0, c0] y elegimos d1 ∈ [a1, b1] tal que |f |(d1) ≥ 1
o
Si |f | no es acotada en [c0, b0] entonces [a1, b1] = [c0, b0] y elegimos d1 ∈ [a1, b1] tal que |f |(d1) ≥ 1
Observamos que en ambos casos d1 ∈ [a1, b1], |f(d1)| > 1 y además |b1 − a1| = |b0−a0|2 .
Supongamos ahora que hemos construido an, bn y dn tales que an ≥ an−1, bn ≤ bn−1, dn ∈ [an, bn],
|f |(dn) ≥ n y además |bn − an| = |b0−a0|2n . Sea cn =
an+bn
2
el punto medio entre an y bn. Construimos
an+1, bn+1 y dn+1 de acuerdo a la regla siguiente:
Si |f | no es acotada en [an, cn] entonces [an+1, bn+1] = [an, cn]
y elegimos dn+1 ∈ [an+1, bn+1] tal que |f |(dn+1) ≥ n + 1
o
Si |f | no es acotada en [cn, bn] entonces [an+1, bn+1] = [cn, bn]
y elegimos dn+1 ∈ [an+1, bn+1] tal que |f |(dn+1) ≥ n + 1
Aśı, por recurrencia, hemos construido sucesiones tales que an+1 ≥ an, bn+1 ≤ bn, an ≤ dn ≤ bn,
|f(dn)| ≥ n y además |bn+1 − an+1| = |b0−a0|2n+1 .
Como la sucesión {an}∞n=0 es monótona creciente y acotada superiormente por b por el Axioma del
Supremo se tiene que existe c ≤ b tal que lim
n→∞
an = c. También
|bn − c| = |bn − an + an − c| ≤ |bn − an|+ |an − c| ≤
|b0 − a0|
2n
+ |an − c|
y por lo tanto lim
n→∞
bn = c y c ≥ a. Además por el Teorema del Sandwich lim
n→∞
dn = c.
4
Como |f | es continua se tiene que
lim
n→∞
|f(dn)| = |f(c)|.
Pero por otra parte lim
n→∞
dn = c y |f(dn)| ≥ n y por lo tanto lim
n→∞
|f(dn)| en caso de existir debeŕıa ser
∞. Esta contradicción demuestra el teorema.
Definición 1.5 Si f está definida en un conjunto A definimos el supremo de f en A por
sup
x∈A
f(x) = S
si y sólo si
f(x) ≤ S para todo x ∈ A y además para cualquier � > 0 existe x� ∈ A tal que S − � < f(x�) ≤ S.
De manera análoga definimos su ı́nfimo en A por
inf
x∈A
f(x) = I
si y sólo si
f(x) ≥ I para todo x ∈ A y además para cualquier � > 0 existe x� ∈ A tal que I ≤ f(x�) ≤ I + �.
Teorema 1.5 Toda función acotada tiene un supremo y un ı́nfimo.
Demostración:
La demostración se basa en el Axioma del Supremo y no la daremos aqúı.
Definición 1.6 Si f está definida en un conjunto A decimos que f alcanza su máximo en A si existe
un punto c ∈ A tal que
f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ A.
Se suele denotar
f(c) = max
x∈A
f(x).
De manera análoga decimos que f alcanza su mı́nimo en A si existe un punto c ∈ A tal que
f(x) ≥ f(c) para todo x ∈ A.
Se suele denotar
f(c) = min
x∈A
f(x).
Teorema 1.6 Sea f continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = max
x∈[a,b]
f(x).
Demostración:
La demostración se basa en el Axioma del Supremo y no la daremos aqúı.
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