Control 1 2006 II - Cyntia Barrera Cevallos

Vista previa del material en texto

MAT210E ∗ Control 1
17 de agosto de 2006
1. Si f y g son funciones definidas en los nmeros reales, tales que:
(f ◦ g)(x) = x3 − 6x + 1 y g(x) = 3x + 2.
Determine la función f(x).
2. Encuentre el recorrido de la función f(x) =
x
3x − 1 .
RESPUESTAS
1. Por definición de composición de funciones ,
f ( g(x) ) = x3 − 6x + 1.
Por otro lado, g es invertible con inversa g−1(x) =
x− 2
3
.
Como g
(
g−1(x)
)
= x, ∀x ∈ R tenemos que
f(x) = f
(
g
(
g−1(x)
) )
= f
(
g
(
x− 2
3
))
=
(
x− 2
3
)3
− 6
(
x− 2
3
)
+ 1
=
x3
3
− 2x2 + 2x + 5 ¥
2. Rec(f) = {y ∈ R : existex ∈ R con y = f(x) }.
Por otra parte,
y = f(x) ⇔ y = x
3x − 1 ⇔ 3xy − x = y ⇔ x =
y
3y − 1 .
En otras palabras, y = f
(
y
3y − 1
)
y como tal número existe para todo y 6= 1/3, tenemos que todos esos y son imágenes
de algún número. Esto es,
Rec(f) = R − {1/3} ¥