Control 1 2007 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2007
MAT 210 - E ∗ SOLUCION CONTROL 1
FILA A
1. Resolver la inecuación 2x− 1 ≥
√
x(x− 3)
Solución:
Restricción: x2 − 3x ≥ 0 ←→ x ≤ 0 o x ≥ 3.
> Si x ≤ 0 −→ 2x − 1 < 0 y en ese caso la solución de la inecuación
es
S1 = φ
> > Si x ≥ 3 −→ 2x− 1 > 0 y entonces :
2x− 1 ≥ √x2 − 3x / ()2
4x2 − 4x + 1 ≥ x2 − 3x
3x2 − x + 1 ≥ 0
Analizando 4 de la expresión cuadrática se tiene que 4 < 0 luego la expresión
cuadrática es siempre positiva (a = 3) , con lo que S2 = [3,∞[.
Finalmente, de (>) y (> >), se concluye que la solución de la inecuación es:
S = [3,∞[
Nota: Se asignará 0 pts por llegar a la solución dada en la pauta sin haber hecho
el análisis previo. Es decir si elevó al cuadrado sin considerar que 2x − 1 > 0 ,
el trabajo restante está malo.
2. En esta pregunta sólo marque una alternativa como respuesta.
Si
g(x) =



2x x > 0
x + 2 x ≤ 0
y f(x) = x2 − 1, x ∈ R
entonces se afirma:
I: (gof)(x) = x2 + 1 si −1 ≤ x ≤ 1
II: Rec(gof) = R+
III: gof es una función par.
De las afirmaciones anteriores es verdadera:
(a) Sólo I y II
(b) Sólo II y III
(c) I , II y III
(d) Sólo I
(e) Sólo I y III
Solución:
La función
gof(x) =



2x2 − 2 , |x| > 1
x2 + 1 , |x| ≤ 1
Ya que gof(x) = g(x2 − 1) = 2(x2 − 1) = 2x2 − 2 siempre que x2 − 1 > 0 ←→
|x| > 1
y gof(x) = g(x2−1) = (x2−1)+2 = x2+1 siempre que x2−1 ≤ 0 ←→ |x| ≤ 1
Y por tanto el gráfico de gof es:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
El gráfico es simétrico con respecto al eje Y , luego es una función par y además
Rec(gof) =] 0,∞[, luego la afirmación verdadera es la I ,II y III.
3. Si f : R −→ R, tal que f(x) = |x + 1|+ [x] ( [x] parte entera de x )
entonces grafique:
(a) f(x)
Solución:
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
y
–4 –2 2 4
x
(b) −f(−x)
Solución:
–6
–4
–2
0
2
4
6
y
–4 –2 2 4
x