Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00016 - Viridiana Heredia Olivares

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PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeCienciasEcon´omicasyAdministrativas
SegundoSemestre2017
Curso:ProbabilidadyEstad´ıstica
Sigla:EAS200a
Profesores:Rafael Águila(Sec01)MIgnaciaVicu˜na(Sec02),OsvaldoFerreiro(Sec03)
Examen
Pregunta1
Eltiempodevida(enmilesdehoras)deundeterminadoproducto,esunavariablealeatoria X cuyafunci´on
densidaddeprobabilidadest´adadapor:
f(x)=
 x si0 ≤ x< 12− x si1 ≤ x< 2
0e.o.c
Sedicequeunodeesosart´ıculoses“ideal”sisutiempodevidaseencuentraentre0.9y1.1(milesdehoras)
(a) [2.0Puntos] Siseseleccionanalazar10deestosart´ıculos¿Cu´aleslaprobabilidadquealmenosel
20%deellossea“ideales”?
(b) [2.0Puntos] ¿Cu´aleseln´umeromediodeart´ıculos“noideales”,quesedeber´ıanescogeralazar
hastaencontraruno“ideal”?
(c) [2.0Puntos] ¿Cu´aleslaprobabilidaddequesenecesitenseleccionaralazaralom´as4art´ıculospara
obtener2ideales?
Soluci´on:
(a)
P (Ideal)= π =
∫ 1
0.9
xdx +
∫ 1.2
1
(2− x) dx [0.5Ptos]
=
x2
2
∣∣∣1
0.9
+
(
2x− x
2
2
) ∣∣∣1.1
1
[0.3Ptos]
=0 .19 [0.2Ptos]
Sea Y :n´umerodeart´ıculosidealesdeentrelos10seleccionadosalazar. [0.2Ptos]
Entonces Y ∼ Binomial(10,0.19),Porlotanto, [0.3Ptos]
P (Y ≥ 2)=1 − P (Y ≤ 1)=
1∑
y=0
(
10
y
)
0.19y 0.8110−y =0 .5932 [0.5Ptos]
(b) Sea Y :eln´umerodeart´ıculosquesedeber´ıanescogerhastaencontrarunoideal. [0.5Ptos]
Entonces Y ∼Geom(0.19), [0.5Ptos] porlotanto,
E(Y )=
1
0.19
=5 .26 [0.5Ptos]
Deestamanera,eln´umeromediodeart´ıculos“noideales”,quesedeber´ıaescogeralazarhasta
encontraruno“ideal”es5 .26− 1=4 .26. [0.5Ptos]
EAS200A-ProbabilidadyEstad´ıstica 1 SegundoSemestre2017
(c) Sea Y : número de art́ıculos que se necesitan seleccionar al azar para obtener 2 art́ıculos “ideales”.
[0.5 Ptos]
Entonces Y ∼BinNeg(2,0.19), [0.5 Ptos] por lo tanto,
P (Y ≤ 4) = P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4) [0.5 Ptos]
=
(
1
1
)
0.192 0.810 +
(
2
1
)
0.192 0.811 +
(
1
1
)
0.192 0.812 [0.5 Ptos]
= 0.1656
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Segundo Semestre 2017
Pregunta 2
El consumo diario (en litros) por parte de las familias chilenas, de entre dos tipos de ĺıquidos sustitutos, se
puede representar por una variable aleatoria bidimensional (X,Y ), se ha observado que posee la siguiente
función densidad de probabilidad conjunta:
fX,Y (x, y) =
{
2 si 0 ≤ x < y < 1
0 e.o.c
(a) [1.0 Puntos] ¿Cuál es la probabilidad que el consumo del ĺıquido X sea menor a 0.7 litros conjunta-
mente a que el consumo del producto Y sea mayor a 0.5 litros?
(b) [2.0 Puntos] Encuentre la distribución condicional de X |Y = y ¿La reconoce? Sin hacer cálculos,
solo dando una justificación a su respuesta, encuentre E(X |Y = y).
(c) [2.0 Puntos] Encuentre la distribución condicional de Y |X = x, ¿La reconoce? Sin hacer cálculos,
solo dando una justificación a su respuesta, encuentre E(Y |X = x).
(d) [1.0 Puntos] Obtenga E(E(Y |X)) y E(E(X |Y ))
Solución:
(a)
P (X < 0.7, Y > 0.5) =
∫ 0.5
0
∫ 1.0
0.5
2 dy dx+
∫ 0.7
0.5
∫ 1.0
x
2 dy dx [0.6 Ptos]
= 2
(
0.5 · 0.5 + (0.5 + 0.3)
2
· 0.2
)
[0.2 Ptos]
= 0.6 [0.2 Ptos]
(b) fX|Y (x) =
fX,Y (x,y)
fY (y)
, por lo tanto, debemos buscar primero la marginal de Y . [0.2 Ptos]
fY (y) =
∫ y
0
2 dx = 2 y 0 < y < 1 [0.5 Ptos]
Por lo tanto, fX|Y (x) =
fX,Y (x,y)
fY (y)
= 22 y =
1
y , 0 < x < y [0.5 Ptos]
Por lo tanto, X |Y = y ∼ Uniforme(0, y), [0.5 Ptos] de esta manera E(X |Y = y) = y2 [0.3 Ptos]
(c) fY |X(y) =
fX,Y (x,y)
fX(x)
, por lo tanto, debemos buscar primero la marginal de X. [0.2 Ptos]
fX(x) =
∫ 1
x
2 dy = 2 (1− x) 0 < x < 1 [0.5 Ptos]
Por lo tanto, fY |X(y) =
2
2 (1−x) =
1
1−x x < y < 1 [0.5 Ptos]
Por lo tanto, Y |X = x ∼ Uniforme(x, 1), [0.5 Ptos] de esta manera E(Y |X = x) = x+12 [0.3 Ptos]
(d) Alternativa 1:
E(E(Y |X)) = E
(
X + 1
2
)
=
1
2
E(X + 1) =
1
2
(E(X) + 1) [0.3 Ptos]
=
1
2
(∫ 1
0
2x (1− x) dx+ 1
)
=
1
2
(
(x2 − 2
3
x3)
∣∣∣1
0
+1
)
[0.2 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 3 Segundo Semestre 2017
=
1
2
(
1
3
+ 1
)
=
2
3
[0.5 Ptos]
E(E(X |Y )) = E
(
Y
2
)
=
1
2
E(Y ) [0.5 Ptos]
=
1
2
∫ 1
0
2 y2 dy =
y3
3
∣∣∣1
0
=
1
3
[0.5 Ptos]
Alternativa 2:
E(E(Y |X)) = E(Y ) =
∫ 1
0
2 y2 dy [0.5 Ptos] = 2
y3
3
∣∣∣1
0
=
2
3
[0.5 Ptos]
E(E(X |Y )) = E(X) =
∫ 1
0
2x (1− x) dx [0.5 Ptos] = x2 − 2
3
x3
∣∣∣1
0
=
1
3
[0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 4 Segundo Semestre 2017
Pregunta 3
A un mes de que llegue la Navidad, los centros comerciales y grandes tiendas se preparan ya que el peŕıodo
navideño representa un porcentaje importante de los ingresos del comercio de todo el año. El comportan-
miento anual de las ventas en el mes de diciembre está altamente correlacionado y suponga que en una cierta
tienda de retail, a las ventas de diciembre del año 2016 y 2017 las denotan por X1 y X2, las cuales dependen
de otras variables Y1 e Y2 las cuales son independientes entre śı y distribuyen Normal con media y varianza
µ1, σ
2
1 y µ2 y σ
2
2 respectivamente.
A partir de lo anterior, se definen las ventas diciembre del 2016 y 2017 por
X1 =
Y1
α2 − 1
X2 = αX1 + Y2
donde 0 ≤ α < 1. Interesa estimar si las ventas navideñas de este año serán mayores que el año pasado. Para
ello,
(a) [3.0 Puntos] Calcule el valor esperado y varianza de X2 −X1.
(b) [3.0 Puntos] Si α = 0.5, µ1 = 40, µ2 = 30 y σ1 = 30, σ2 = 25. Calcule la probabilidad de que las
ventas navideñas de este año sean mayor que el año pasado.
Solución:
(a)
E(X2 −X1) = E(αX1 + Y2 −X1) [0.3 Ptos]
= (α− 1)E(X1) + E(Y2)
= (α− 1)E
(
Y1
α2 − 1
)
+ E(Y2) [0.3 Ptos]
= (α− 1) 1
α2 − 1
E(Y1) + E(Y2) [0.2 Ptos]
=
µ1
(α+ 1)
+ µ2 [0.2 Ptos]
Var(X2 −X1) = Var(X2) + Var(X1)− 2Cov(X2, X1) [0.5 Ptos]
Var(X2) = Var(αX1 + Y2) = α
2Var(X1) + Var(Y2) + 2αCov(X1, Y2)
= α2Var
(
Y1
α2 − 1
)
+ Var(Y2) + Cov
(
Y1
α2 − 1
, Y2
)
[0.2 Ptos]
=
α2
(α2 − 1)2
σ21 + σ
2
2 + 0 Por independencia de Y1, Y2 [0.3 Ptos]
Var(X1) = Var
(
Y1
α2 − 1
)
=
1
(α2 − 1)2
σ21 [0.3 Ptos]
Cov(X1, X2) = Cov(X1, αX1 + Y2) [0.2 Ptos]
= αCov(X1, X1) + Cov(X1, Y2)
= α
σ21
(α2 − 1)2
+ 0 Por independencia de Y1, Y2 [0.2 Ptos]
Por lo tanto,
Var(X2 −X1) =
α2
(α2 − 1)2
σ21 + σ
2
2 +
1
(α2 − 1)2
σ21 − 2α
σ21
(α2 − 1)2
=
σ21
(α+ 1)2
+ σ22 [0.3 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 5 Segundo Semestre 2017
(b) Como Y1 ∼ N(µ1, σ21) e Y2 ∼ N(µ2, σ22) , se tiene que
X2 −X1 ∼ N
(
µ1
(α+ 1)
+ µ2,
σ21
(α+ 1)2
+ σ22
)
[0.8 Ptos]
Reemplazando en α = 0.5, µ1 = 40, µ2 = 30 y σ1 = 30, σ2 = 25 se tiene que
X2 −X1 ∼ N(56.67, 1025) [0.5 Ptos]
Por lo tanto, la probabilidad de que las ventas navideñas de este año sean mayor que el año pasado
está dada por
P (X2 −X1 > 0) = P
(
X2 −X1 − 56.67√
1025
>
−56.67√
1025
)
[0.5 Ptos]
= 1− Φ
(
−56.67√
1025
)
[0.5 Ptos]
= 1− Φ(−1.77)
= 1− 0.03836 [0.5 Ptos]
= 0.96163 [0.2 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 6 Segundo Semestre 2017