Enuciados R2

Vista previa del material en texto

Problemas Relación 2. (R2) 
Electromagnetismo, 3º de Física 
 
1 Determinar numéricamente las gráficas de equipotenciales y líneas de 
campo de un dipolo en 2D (formado por el límite de dos líneas cargadas de 
signo opuesto, indefinidas y muy próximas). (Prog.) 
2 Calcular el promedio espacial del campo de una carga puntual, Q, en un 
volumen esférico sin carga que no contiene a Q. Verificar que coincide con 
el campo en el centro. 
3 Calcular el promedio espacial del campo de una carga puntual, Q, en un 
volumen esférico sin carga que contiene a Q. Verificar que es: -p/(3ε0V), 
siendo V el volumen de la esfera y p el momento dipolar de Q respecto al 
origen de la esfera. 
4 Calcular el promedio espacial del potencial debido a una carga puntual Q 
sobre una superficie esférica sin carga que no contiene a Q. 
5 Calcular el promedio espacial del potencial debido a una carga puntual Q 
sobre una superficie esférica sin carga que contiene a Q. 
6 En un diodo de vacío de electrodos plano-paralelos (supuesto caso ideal 
de placas muy grandes frente a su separación), el cátodo (a potencial φ =0) 
emite electrones que son captados por el ánodo (a φ =Va). La distribución 
de potencial es unidimensional (sea φ(x), cumpliéndose además que dφ/dx 
en el cátodo emisor es cero para garantizar que la corriente está dominada 
por el potencial Va aplicado y no por la temperatura de emisión del cátodo). 
Se origina una distribución ρ(x) de carga espacial que se mueve -en 
promedio- a velocidad v (dependiente del potencial acelerador Va), 
generando una corriente de densidad J=ρv. Los electrones se supone son 
emitidos por el cátodo con velocidad cero. Demostrar la ley de Child-
Langmuir que dice que la corriente J es proporcional a la potencia (3/2) del 
potencial acelerador Va. 
7 Supongamos que hemos generado una acumulación local de carga en un 
metal (por ejemplo bombardeando con electrones). Aplicar la ecuación de 
continuidad, la ley de Ohm y la ley de Gauss para mostrar que dicha carga 
decaerá en el tiempo de forma exponencial con una constante de tiempos 
dada por τ=(ε/σ) siendo ε la permitividad del metal (considerando su 
respuesta dieléctrica) y σ su conductividad. Dar un orden de magnitud para 
τ en el Cu supuesto εr del orden de 3. 
8 Determinar el potencial y el campo producidos por una esfera con vector 
polarización P uniforme. [Para el exterior se reduce al potencial o al campo 
de un dipolo (de valor Pxvolumen-esfera) situado en el centro. Para el 
interior el campo es uniforme y de valor –P/(3 ε0)).] 
9 Se tiene un cilindro de radio a y altura L con su eje coincidente con z y 
centrado en el origen. El cilindro tiene una polarización uniforme P=P0uz. 
Determinar E y D en todo punto del eje z. Estudiar los límites (a>>L) y 
(z>>a~L) 
10 Demostrar que el momento dipolar de una distribución de carga es 
independiente del origen si la carga total es nula. En este caso, utilizar los 
cdg de las cargas positivas y negativas para expresar el momento dipolar 
de la distribución. 
11 Una línea cargada con carga total uniformemente repartida de valor Q se 
extiende desde z=-L/2 hasta z=+L/2. (a) Calcular los términos monopolar, 
dipolar y cuadrupolar del desarrollo de su potencial. (b) Suponiendo que 
(3cos2(θ)-1) es del orden de la unidad, determinar la distancia al centro de 
la distribución a partir de la cual el término cuadrupolar es inferior al 1% del 
monopolar. 
12 Calcular el potencial y campo producido por un cuadrupolo lineal (cargas: 
-q, 2q, -q) 
13 Se tiene un segmento de longitud a en el plano (x-y) y estamos interesados 
en el problema 2D (es decir, el sistema real sería una tira perpendicular al 
plano x-y, de ancho a y de longitud infinita según el eje z). Determinar el 
campo que produce una densidad de carga uniforme distribuida sobre el 
segmento. 
14 Determinar las distribuciones de carga superficial y dipolar superficial 
precisas para apantallar el campo de una carga puntual q a distancias 
superiores a una dada, a, de forma que no se altere la distribución de 
potencial para distancias inferiores a a. 
15 Determinar el campo de una esfera cargada superficialmente con una 
carga σ0cos(θ) 
16 A partir del potencial en el eje de un anillo cargado, determinar el campo en 
el eje de un cilindro semiinfinito cargado uniformemente con σ. Suponer 
que el cilindro, de radio a, tiene de eje z y se extiende desde z=0 hasta 
z�(-∞). Determinar también el potencial en el eje. 
17 Comprobar que las distribuciones de potencial (coordenadas cilíndricas): 
 





=
b
aLogkzI
02πε
ϕ 





=
b
LogkzII
ρ
πε
ϕ
02
 
0=IIIϕ 
son soluciones de la ecuación de Laplace. También, que supuesto lo son 
para las regiones ρ<a, a<ρ<b y ρ>b, respectivamente, cumplen con las 
condiciones de contorno que corresponden a dos cilindros, de radios a y b 
(a<b), cargados superficialmente con densidades de carga por unidad de 
longitud –kz el interior y kz el exterior (σ=±kz/(2πxradio)).. 
18 Se tiene una cadena lineal de N dipolos iguales p=p0uy, situados en el eje 
OY en posiciones yp=nּs (n=0, ..., N-1). Comprobar que el potencial en un 
punto arbitrario (x,y) se aproxima al de dos cargas puntuales situadas en 
los extremos de la cadena (en el límite de N�∞, Nּs finito, hay 
coincidencia). (Prog)