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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
MECÁNICA Y ONDAS (C.C. FÍSICAS) Cod. Asig. 072244
PRIMERA PRUEBA PERSONAL, ORIGINAL, SEPTIEMBRE, 2002
INSTRUCCIONES
No se puede utilizar ningún tipo de material auxiliar (ni calculadora). La calificación del examen
será global, pero de manera orientativa se comunica que la puntuación de cada problema es de 3.5
puntos y 1.5 puntos cada cuestión.
PROBLEMAS
1. Sobre una tabla de masa M, que puede deslizar libremente sobre una superficie lisa,
se encuentra un cuerpo de masa m. El coeficiente de rozamiento entre la tabla y el
cuerpo es µ. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F constante.
a) Determínese el valor Fc de la fuerza por debajo del cual las aceleraciones del
cuerpo y de la tabla son iguales. b) Hallar las aceleraciones de la tabla y la masa
cuando la fuerza F aplicada es tan pequeña que ambas masas se mueven con la
misma aceleración. c) Idem cuando la F es suficientemente elevada como para que
las aceleraciones del cuerpo y de la tabla sean diferentes.
Solución:
a) Las ecuaciones de movimiento para el cuerpo y la tabla son respectivamente
ma1 = F − Fr
Ma2 = Fr
De donde podemos calcular la aceleración relativa entre la tabla y el cuerpo
a0 = a1 − a2 = F − Fr(1 +m/M)
m
Como a0 ≥ 0, entonces cuando F ≤ Fmaxr (1 +m/M) la aceleración relativa tiene que ser a0 = 0. El
valor crítico de F , a partir del cual el cuerpo comienza a moverse con respecto a la tabla es
Fc = F
max
r (1 +m/M) = µmg(1 +m/M)
b) Cuando F < Fc se tiene que a1 = a2 = a. En este caso, las ecuaciones de movimiento se reducen a
ma = F − Fr
Ma = Fr,
de donde se tiene que
Fr =
FM
M +m
y
a =
F
M +m
.
De la primera ecuación se deduce que la la fuerza de rozamiento aumenta con F hasta que alcanza su
valor máximo, y la segunda ecuación es la que corresponde a las dos masas moviéndose solidariamente.
Para el caso c), si F > Fc, tenemos que a1 6= a2, la fuerza de rozamiento toma su valor máximo
Fr = µmg y entonces de la primera ecuación del movimiento, obtenemos
a1 =
F − µmg
m
a2 =
Fmaxr
M
=
µmg
M
.
1
2. Sean dos masas iguales unidas por una varilla rígida de masa despreciable y longitud
l, que forma un ángulo θ con el eje X según se representa en la figura. El origen
de ambos sistemas de referencia está situado en el centro de la varilla. a) Calcular
las componentes del tensor momento de inercia referidas a los ejes X,Y. b) Idem
respecto a los ejes X 0, Y 0. ¿Cuáles son los ejes principales del sistema? c) Si el sistema
gira con velocidad angular ω alrededor del eje Y , calcular el momento cinético.
Figura 1:
Solución:
a) Referidas a los ejes X,Y las coordenadas de las masas son
x1 =
l
2 cos θ, y1 =
l
2 sen θ, z1 = 0,
x2 = − l2 cos θ, y2 = − l2 sen θ, z2 = 0,
y, por tanto, las componentes del tensor de inercia
Ixx = m
³
y21 + y
2
2
´
=
1
2
ml2 sin2 θ
Iyy = m
³
x21 + x
2
2
´
=
1
2
ml2 cos2 θ
Izz = m
³
x21 + y
2
1 + x
2
2 + y
2
2
´
=
1
2
ml2
Ixy = Iyx = m (x1y1 + x2y2) =
1
2
ml2 cos θ sen θ
Izx = Ixz = 0
b) Respecto a los ejes X 0, Y 0 las coordenadas son
x1 =
l
2 y1 = 0 z1 = 0
x2 = − l2 y2 = 0 z2 = 0
y las componentes del tensor de inercia
Ix0x0 = 0
Iy0y0 = m
³
x21 + x
2
2
´
=
1
2
ml2
Iz0z0 =
1
2
ml2
Ix0y0 = Iy0x0 = Ix0z0 = 0
Iz0x0 = Ix0z0 = Iz0y0 = 0
los ejes X 0, Y 0 son los ejes principales de inercia puesto que referidos a ellos el tensor es diagonal.
c) El momento cinético es
J = Iω
2
que en el sistema de referencia X 0, Y 0 se escribe
J =
1
2
ml2ω
 0 0 00 1 0
0 0 1

 sen θcos θ
0
=1
2
ml2ω
³
0, cos θ 0
´
CUESTIONES
1. Discutir si el siguiente proceso es posible desde el punto de vista de la dinámica
relativista: Un fotón choca con un electrón en reposo y cede toda su energía a éste.
Solución:
Imponiendo la conservación de la cantidad de movimiento y la nergía debe cumplirse que pγ = pe y
Eγ = Ee, pero
pe =
s
E2e
c2
−m2ec2 =
Eγ
c
= pe (1)
y para la energía
Ee = Eγ +mec
2
E2e
c2
−m2ec2 =
E2γ
c2
(2)
este sistema de ecuaciones implica me = 0, lo cual es falso, o que Eγ = 0, es decir, que no habría
fotón. Así pues este proceso no es posible.
2. Una partícula describe una órbita circular en el campo de fuerzas F (r) = −k/r2.
Demostrar que si k disminuye bruscamente a la mitad de su valor inicial, la órbita
de la partícula se hace parabólica.
Solución:
Calculemos la energía cinética de la partícula mientras está en la órbita circular. El equilibrio de
fuerza centrífuga y gravitatoria da
mv2
R
=
km
R2
de donde la energía cinética es Ec = mv2/2 = mk/(2R)
Al reducirse a la mitad el valor de k, la energía potencial de la órbita circular se reduce súbitamente
de Ep = −km/(R) a Ep = −km/(2R). Por tanto la energía total después de la contracción es
E = Ec +Ep = 0, lo que corresponde a una órbita parabólica.
3