CLASE 8-ECUACION DE CLAIRAUT Y LAGRANGE

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ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
ECUACION DE CLAIRAUT Y ECUACION DE
LAGRANGE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
JOE GARCÍA ARCOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
CLASE 8
CONTENIDO
Título : Ecuación de Clairaut y Ecuación de Lagrange
Duración : 120 minutos
Información general : Resolver ecuaciones diferenciales de Clairaut y Lagrange
Objetivo : Conocer los métodos para resolver ecuaciones diferenciales
de Clairaut y Lagrange
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
0.1 Ecuación de Clairaut
Sea la ecuación
G = C
3G
3C
+ i
(
3G
3C
)
(1)
llamada de Clairaut. La sustitución de una constante arbitraria 2 por G ′ nos da una familia de
isoclinas de la ecuación
G = C2 + i(2) (2)
Se ve que cada isoclina es una línea recta, con una pendiente igual a la constante que sustituimos
por G ′, es decir, la dirección de cada una de las líneas (2) es la misma que la dirección tangencial
constante definida por la ecuación diferencial en los puntos de línea. Podemos afirmar que cada
una de las líneas (2) es también una solución de la ecuación (1), es decir, la familia de las isoclinas
(2) es al mismo tiempo la familia de la solución general de (1).
Ahora indicamos un segundométodo para obtener la solución general de la ecuación (1), mediante
el cual se encuentra la solución singular de la ecuación, así como su solución general.
Esta ecuación se integra introduciendo un parámetro auxiliar. Hacemos
3G
3C
= ?, entonces la
ecuación (1) toma la forma:
G = C ? + i(?) (3)
Derivamos todos los términos de la última ecuación respecto a C, teniendo en cuenta que ? =
3G
3C
es una función de C:
? = C
3?
3C
+ ? + i′(?) 3?
3C
=⇒ [ C + i′(?)] 3?
3C
= 0
Igualando a cero cada factor, obtenemos:
3?
3C
= 0 (4)
y
C + i′(?) = 0 (5)
1. La integración de la igualdad (4) da ? = 2, 2=constante. Poniendo este valor de ? en la
ecuación (3) encontramos su integral general:
G = C2 + i(2) (6)
que, desde el punto de vista geométrico, representa una familia de rectas.
2. De la ecuación (5) encontramos ? como función de C, y pongamos en la ecuación (3),
entonces obtenemos la ecuación:
G = C ?(C) + i[?(C)] (7)
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la cual es una solución de la ecuación (1).
En virtud de la igualdad (5) tenemos
3G
3C
= ? + [C + i′(?)] 3?
3C
= ?
Por eso, introduciendo la función (7) en la ecuación (1), obtenemos la identidad:
C ? + i(?) = C ? + i(?)
La solución (7) no se puede obtener a partir de la integral general (6), cualquiera que sea el valor
de 2. Es una solución singular y se obtiene eliminando el parámetro ? de las ecuaciones
G = C ? + i(?)
C = i′(?) = 0
o lo que es lo mismo, eliminando � de las ecuaciones
G = C2 + i(2)
C + i′2 (2) = 0
La ecuación es del tipo de ecuación que se puede resolver para la variable G y se puede resolver
utilizando el enfoque presentado en esta sección.
Tenga en cuenta que la solución singular es la envolvente de la familia de curvas integrales
definidas por la solución general.
Ejemplo 0.1
Resuelva la ecuación diferencial
G = CG ′ + 0
2
G ′
.
Solución Haciendo G ′ = ?, entonces i(?) = 02
?
y la ecuación
G = 2C + 0
2
2
es la solución general, donde 2 es una constante arbitraria. La solución singular es
C = − 02
?
,
G = C ? + 02
?
.
donde ? es un parámetro. �
El problema geométrico de encontrar la curva, dadas las propiedades de su tangente, se
reduce a la ecuación de Clairaut, suponiendo que las propiedades se relacionan solo con la
tangente en sí, y no con el punto de contacto. La ecuación de la tangente tiene la forma
. − H = H′(- − G) o . = H′- + (H − GH′)
y cualquier propiedad de la tangente se expresa mediante una relación entre (H − GH′) e H′
Φ(H − GH′, H′) = 0
Al resolver con respecto a (H − GH′), llegamos a una ecuación de la forma (1). Evidentemente,
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CLASE 8
las líneas rectas que componen la solución general de la ecuación de Clairaut no tienen interés
en cuanto a proporcionar una respuesta a nuestro problema geométrico, siendo la respuesta dada
de hecho por la solución singular de la ecuación.
Ejemplo 0.2
Encontrar la curva de manera que la intersección )1)2 cortada su tangente por los ejes de
coordenadas es de longitud constante 0 (ver figura).
Solución La ecuación de la tangente nos da las proyecciones 0)1 y 0)2 de la tangente en los ejes
de coordenadas, y esto nos permite escribir la ecuación diferencial de la curva requerida como
(H − GH′)2
H′ 2
+ (H − GH′)2 = 02 o H = GH′ ± 0H
′√
1 + H′ 2
0
)2
)1
C
G
La solución general es
H = G2 ± 02√
1 + 22
(8)
que consiste en una familia de líneas rectas, cuya longitud de las intersecciones de los ejes es
igual a 0. La solución singular se obtiene como resultado de eliminar ? de
H = G? ± 0?√
1 + ?2
(9)
y de la ecuación
G ±
√
1 + ?2 − ?
2√
1+?2
1 + ?2
= 0
que se reduce a
G ± 0(
1 + ?2
)2 = 0
Escribimos ? = tan i, dando
G = ∓0 cos3 i
mientras que la ecuación (9) para H nos da
H = ∓0 cos3 i tan i ± 0 sin i = ±0 sin3 i
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Eliminamos i elevando las dos últimas ecuaciones a la potencia 23 y sumando
G
2
3 + H 23 = 0 23
la curva requerida es una astroide. Las líneas rectas (8) forman la familia de tangentes. �
0.2 Ecuación de Lagrange
Una ligera extensión de la ecuación de Clairaut se llama ecuación de Lagrange. Puede
expresarse en la siguiente forma general.
La ecuación de la forma
G = Ci(G ′) + k(G ′) (10)
donde i y k son funciones conocidas de G ′, se llama ecuación de Lagrange. Esta ecuación es
lineal respecto a G y C. La ecuación de Clairaut, examinada anteriormente, es un caso particular
de la ecuación de Lagrange, cuando i(G ′) = G ′. Lo mismo que en el caso de la ecuación de
Clairaut, la ecuación de Lagrange se integra introduciendo un parámetro auxiliar ?.
Hagamos G ′ = ?, entonces, la ecuación original toma la forma
G = Ci(?) + k(?) (11)
Tenga en cuenta que si i(?) = ?, la ecuación de Clairaut se recupera como un caso especial.
Derivando respecto a C, obtenemos
? = i(?) + [ Ci′(?) + k ′(?)] 3?
3C
=⇒ ? − i(?) = [ Ci′(?) + k ′(?)] 3?
3C
(12)
De esta ecuación se puede deducir inmediatamente ciertas soluciones: la ecuación se transforma
en una identidad para todo valor constante ? = ?0, que satisfaga la condición
?0 − i(?0) = 0
En efecto, siendo ? constante, la derivada
3?
3C
= 0 y ambos miembros de la ecuación (12) se
anulan. La solución que corresponde a cada valor de ? = ?0, es decir, G ′ = ?0, es una función
lineal de C. Para hallar esta función es suficiente sustituir en la ecuación (11) el valor ? = ?0:
G = Ci(?0) + k(?0)
Si esta solución no se deduce de la solución general, cualquiera que sea el valor de la constante
arbitraria, será, por tanto, una solución singular.
Encontremos ahora, la solución general. Para esto escribamos la ecuación (12) en la forma:
3C
3?
− i
′(?)
? − i(?) C =
k ′(?)
? − i(?)
considerando C como función de ?. La ecuación obtenida es entonces una ecuación diferencial
lineal respecto a la función C de ?. Resolviéndola, encontramos:
C = l(?, 2) (13)
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Eliminando el parámetro ? de las ecuaciones (11) y (13), obtenemos la integral general de la
ecuación (10) en la siguiente forma:
Ω(C, G, 2)
Damos la interpretación geométrica de este último hecho. La sustitución de la constante 2 por
G ′ en la ecuación (10) nos da la ecuación de las isoclinas
G = Ci(2) + k(2) (14)
es decir, las isoclinas de una ecuación lagrangiana son líneas rectas. Las soluciones representadas
por líneas rectas deben buscarse entre las isoclinas. Para esto, tenemos que establecer la condición
de que la pendiente i(2) de la isoclina sea la misma que la pendiente constante 2 de la tangente
a lo largo de la isoclina
i(2) − 2 = 0
Al resolver esta ecuación y sustituir el valor encontrado para 2 en la ecuación (14), obtenemos
las soluciones requeridas, entre las cuales se debe incluir la solución singular en cuestión.
Ejemplo 0.3
Resuelva la ecuación diferencial:
G = arctan G ′ + G ′4G′
Solución Haciendo G ′ = ?, obtenemos
G = arctan ? + ?4?
derivamoscon respecto a C
G ′ =
?′
1 + ?2
+ ?4??′ + 4??′ =⇒ ? =
(
1
1 + ?2
+ ?4? + 4?
)
?′
de lo cual obtenemos que
C ′ =
1
?(1 + ?2)
+ ? + 1
?
4? =⇒ 3C =
(
1
?(1 + ?2)
+ ? + 1
?
4?
)
3?
resulta una ecuación separable, la solución es
C = ? + 2 ln ? − 1
2
ln(1 + ?2) + 2
La solución general está dada por
C = ? + 2 ln ? − 12 ln(1 + ?
2) + 2
G = arctan ? + ?4?
. �
Ejemplo 0.4
Resuelva la ecuación diferencial:
G = arcsin G ′ + ln (1 + G ′ 2).
Solución Haciendo G ′ = ?, obtenemos
G = arcsin ? + ln (1 + ?2) = 5 (?)
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como
3G
3C
=
35
3?
· 3?
3C
,
entonces
3G
3C
=
(
1√
1 − ?2
+ 2?
1 + ?2
)
3?
3C
=⇒ ? =
(
1√
1 − ?2
+ 2?
1 + ?2
)
3?
3C
como
3C =
1
?
√
1 − ?2
+ 2
1 + ?2
integrando
C = ln
�����1 −
√
1 − ?2
?
����� + 2 arctan ? + 2.
La solución está dada por 
C = ln
����1−√1−?2? ���� + 2 arctan ? + 2
G = arcsin ? + ln (1 + ?2)
. �
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BIBLIOGRAFÍA
J. García A., Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones, 1ra
edición/Editorial López 2020.
8
	0.1 Ecuación de Clairaut
	0.2 Ecuación de Lagrange