clase 3 CINEMATICA CIRCULAR

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 Movimiento Circular:
 Trayectoria y posición
 Velocidad y aceleración angular
 Cinemática angular
 Ecuaciones del MCU y del MCUA
 Relación entre velocidad angular y velocidad 
tangencial
 Aceleración centrípeta
 Componente tangencial y normal de la 
aceleración
 Movimiento Relativo de traslación 
UNIDAD 3 CINEMATICACAMINANTENO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Definición: Si un punto o partícula se mueve a lo largo de 
una trayectoria tal que su distancia a un punto fijo se 
mantiene constante durante su movimiento, se esta en 
presencia de un Movimiento Circular. 
Trayectoria
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Trayectoria ҧ𝑣
𝑃1 (𝑡1)
ҧ𝑟
∆ 𝑃0 (𝑡0)
0
La trayectoria es una circunferencia de radio r
Se ubica el sistema de referencia en el origen de coordenadas 
coincidente con el centro de la circunferencia, punto 0
La posición de la partícula queda determinada por el ángulo  y por el 
módulo del vector posición ത𝒓
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El cuerpo se traslada desde el punto 𝑃0 hasta el punto 𝑃1 siendo 
la posición de cada uno determinada por el radio r𝟎 y el ángulo 
𝜃0 para el punto inicial y r𝟏 y 𝜃1 para el final
El desplazamiento angular del radio registrado se obtiene como 
∆ = 𝜃1 - 𝜃0 para el período de tiempo ∆t = = 𝑡1 - 𝑡0
La velocidad angular media, representada por ഥ (omega 
vector)
se define como el cociente del desplazamiento angular al 
tiempo transcurrido
Velocidad angular media = 
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
ഥ = 
𝜃1 −𝜃0
𝑡1 − 𝑡0
= 
Δ
∆t
(radianes / segundos) 
La velocidad angular se expresa en:
radianes por segundo ≡ (
1
𝑠
) ≡ (𝑠−1)
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La velocidad angular instantánea , , es el límite del 
cociente del desplazamiento angular al tiempo 
transcurrido cuando ambos son infinitamente pequeños o 
sea es la derivada del desplazamiento angular respecto al 
tiempo:
 = lim
Δ𝑡 →0
Δ
Δ𝑡
= 
𝑑
𝑑𝑡
La velocidad angular suele expresarse como revoluciones por minuto –
rpm- se debe transformar en radianes por segundo conociendo que 2𝜋
radianes equivalen a 1 revolución (un giro de 360°) y 1min =60 segundos
z

x
y
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La dirección y sentido de ഥ se determina de acuerdo con 
la regla de la mano derecha para el movimiento circular. 
La dirección es perpendicular al plano de rotación , los 
dedos de la mano señalan el sentido de rotación y el 
dedo pulgar señala la dirección del vector velocidad 
angular. El sentido depende si la rotación es + ( giro anti-
horario o giro de ángulos positivos) corresponde eje +z.
z
x
y 𝜔
-z
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cuando un cuerpo gira con velocidad angular constante , su velocidad 
angular instantánea es igual a su velocidad angular media, cualquiera que 
sea la duración del intervalo del intervalo de tiempo considerado. Esta 
clase de movimiento se denomina Movimiento Circular Uniforme ( MCU).
Se puede escribir:  = 
Δ
∆t
= 
𝑑
𝑑𝑡
Despejamos el desplazamiento angular  Δ =  . Δt 
 - 𝜃0 =  . Δt   = 𝜃0 +  . (𝑡 - 𝑡0)
Si para 𝑡0 = 0 y 𝜃0 = 0   =  . 𝑡
Si ahora varia el módulo de la velocidad angular del cuerpo en rotación, 
se dice que el cuerpo posee aceleración angular ()
La aceleración media se define como la razón de la variación de la 
velocidad angular al tiempo transcurrido
Aceleración angular media = 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
ത𝛼 = 
−0
𝑡 − 𝑡0
= 
Δ
∆t
La aceleración angular instantánea:  = lim
∆t →0
Δ
∆t
= 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
Si aceleración media es igual a la aceleración instantánea
Entonces el movimiento se denominará Circular uniformemente acelerado 
(MCUA) 
 = 
−0
𝑡 − 𝑡0
  = 0 +  (t - 𝑡0 )
Si 𝑡0 = 0 entonces  = 0 +  .t 
El desplazamiento angular de un cuerpo en rotación es decir el ángulo 
girado por el cuerpo, corresponde al desplazamiento lineal de un cuerpo 
que se mueve sobre una recta.
Las ecuaciones del MCUA, pueden deducirse por semejanza con el MRUA
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La expresión del desplazamiento angular puede obtenerse por medio 
de la velocidad angular media:
ഥ = 
𝜔0+ 𝜔
2
reemplazo la expresión de  
ഥ = 
𝜔0+(0 +  (t − 𝑡0 ) )
2
= 0 + 
1
2
 (t − 𝑡0)
Por definición:
ഥ = 
𝜃 −𝜃0
𝑡 − 𝑡0
igualando los segundos miembros de las 
ecuaciones : 
𝜃 − 𝜃0
𝑡 − 𝑡0
= 0 + 
1
2
 . (t − 𝑡0)
 - 0 = 0 . (t − 𝑡0) + 
1
2
 (t − 𝑡0)
2
Si 𝑡0=0  = 0 + 0 . t + 
1
2
 t2
si 𝑡0=0 y 0=0   = 0 .t + 
1
2
 t2
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si de las ecuaciones  = 0 +  .t  = 0 .t + 
1
2
 t2
Eliminamos la variable “t” se obtiene:
 = 0 .(
−0

) + 
1
2
 .(
−0

)2
después de trabajar algebraicamente y agrupar nos dá:
2 = 0
2 + 2  
el resumen de ecuaciones :
 = 0 +  .t 
 = 0 + 0 . t + 
1
2
 t2
2 = 0
2 + 2  
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Relación entre las variables angulares y lineales:
Consideramos un cuerpo en rotación con MCU. Un punto P en la periferia 
del cuerpo. La velocidad angular ഥ es la misma para todos los puntos del 
cuerpo, no así la velocidad de traslación (lineal) que será distinta para los 
puntos ubicados sobre cada circunferencia hacia el centro de rotación
s = arco r = cuerda
dr = ds
Δr v
P
Para un Δt el punto P se desplaza un Δr si hacemos tender Δt →0 hasta llegar al 
momento que la cuerda dr se confunde con arco ds se puede decir que dr = ds
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Teniendo en cuenta que el arco y el radio se relacionan como s = R 
Derivando respecto a dt
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= R 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Para el limite se tiene modulo de v entonces v𝑡= R 
Muestra la relación entre tres vectores: velocidad tangencial , vector 
posición y velocidad angular
ACELERACIÓN CENTRÍPETA 
En el MCU el módulo de la velocidad tangencial v𝑡 es constante. Varía 
su dirección, de esta Δv resulta una aceleración 
𝑎𝑐 = 
Δഥv
Δ𝑡
cuya dirección y sentido serán la del vector Δതv
Cuando Δt →0 y Δ →0 será entonces la aceleración centrípeta 
perpendicular a la v𝑡 y apunta hacia el centro “O” 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
𝑣2 𝑃2
𝑃2 r  ҧ𝑟
ҧ𝑟 𝑣1 r 𝑃1
 𝑃1 
0
O 
v A 
B  𝑣1
𝑣2
C
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El módulo de la aceleración centrípeta se desprende de la relación 
entre los triángulos semejantes :
∆
𝑃1O 𝑃2
y 
∆
ACB
Relacionando los lados correspondientes:
∆𝑟
𝑟
= 
∆v
v
 Δv = 
v
𝑟
r y dividiendo m.a.m por ∆𝑡 
Δv
Δ𝑡
= 
v
𝑟
Δ𝑟
Δ𝑡
si consideramos el intervalo de tiempo 
muy pequeño (tiende a cero) en el límite:
𝑎𝑐= lim
𝑡→0
Δv
Δ𝑡
= lim
𝑡→0
(
𝑣
𝑟
Δ𝑟
Δ𝑡
) = 
𝑣
𝑟
lim
𝑡→0
Δ𝑟
Δ𝑡
= 
𝑣
𝑟
. 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑣𝑡
𝑎𝑐= 
𝑣
𝑟
. 𝑣  𝒂𝒄= 
𝒗𝟐
𝒓
𝑎𝑐 o 
r
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Teniendo presente la relación entre velocidad angular y 
lineal
v𝑡= r  reemplazada en la expresión de la 
aceleración centrípeta resulta 
𝑎𝑐= 
(𝑟)2
𝑟
 𝑎𝑐= 
2 r
O también 𝑎𝑐=  .  .r  𝑎𝑐=  . v𝑡
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Considerando el caso mas general, cuando la partícula en una trayectoria 
circular, varia su velocidad lineal tanto en dirección como de magnitud, 
entonces la partícula posee un Movimiento Circular Acelerado ( MCA) O 
Variado (MCV) 
P ∆𝜃
𝑣0 𝑣0 ∆𝑣𝑡
rq ∆𝑣𝑐
∆𝜃
𝑣 ∆𝑣
o 𝑣
El módulo del vector ҧ𝑣 es mayor que el de 𝑣0 y tiene además distinta 
dirección. La variación de velocidad es el vector ∆𝑣, éste puede 
descomponerse en las componentes ∆𝑣𝑐 y ∆𝑣𝑡
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La componente ∆𝒗𝒕 representa el cambio de velocidad producido 
por un cambio del valor numérico del módulo de la velocidad 
tangencial
La componente ∆𝒗𝒄 representa la variación originada por cambio de 
dirección de la velocidad.
Cuando ∆𝜃 →0 las direcciones de ത𝑣 y 𝑣0 se aproximan cada vez 
más.
En el límite el vector ∆𝒗𝒕 coincide con la dirección del vector ത𝑣, por lo 
tanto se encuentra sobre la tangente. 
Teniendo en cuenta que las velocidades angulares correspondientes 
a los posiciones p y q, se relacionan con la velocidades tangenciales 
como:
𝑣0 = R 𝜔0 y ത𝑣 = R ഥ𝜔
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Como el vector variación es la diferencia de estos vectores, se tiene
∆𝒗𝒕 = R 𝜔 - R 𝜔0 = R (𝜔 - 𝜔0) = R .∆𝜔
Dividiendo m.a.m. por ∆𝑡 se obtiene 
∆𝒗𝒕
∆𝑡
= R 
∆𝜔
∆𝑡
Aplicando límites lim
∆𝑡 →0
∆𝒗𝒕
∆𝑡
= R lim
∆𝑡 →0
∆𝝎
∆𝑡
𝑑𝑣𝑡
𝑑𝑡
= R 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
siendo el primer término por definición la aceleración tangencial y en el 
segundo el límite es la aceleración angular instantánea  𝒂𝒕 = R . 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Otra forma de encontrar la misma relación es derivando 
respecto al tiempo “t” la ecuación: 
𝑣𝑡 = R ഥ𝜔
𝑑𝑣𝑡
𝑑𝑡
= R 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
Por definición se tiene 𝑎𝑡 = R . 
unidades (m . 
1
𝑠2
) = (
𝑚
𝑠2
)
𝜃
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El vector aceleración como se observa en el gráfico esta 
conformado por ഥ𝒂 = 𝒂𝒄 + ഥ𝒂𝒕
El módulo del vector es: ഥ𝒂 =  𝒂𝒄
2 + 𝒂𝒕
2
La dirección se obtiene de tan  = 
𝑎𝑡
𝑎𝑐
despejando de la ecuación el ángulo “”
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Movimiento Relativo de Traslación 
Para describir el movimiento de una partícula teniendo en cuenta 
dos observadores, el primer observador esta en un sistema de 
coordenadas o referencia fijo con origen O y el otro observador 
está en un sistema de coordenadas o referencia móvil con origen
O’.
Se describe el movimiento de la partícula mediante los vectores 
posición respecto a los sistemas de referencia propuestos.
. P
ഥ𝒓′
ത𝒓
O’
R
O
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Los tres vectores posición se relacionan por la suma vectorial 
ത𝒓 = ഥR + ഥ𝒓′
Como la partícula y el sistema de origen O’ se mueven, los tres 
vectores son funciones del tiempo.
Derivando la ecuación respecto del tiempo
𝑑ത𝒓
𝑑𝑡
= 
𝑑 ത𝑅
𝑑𝑡
+ 
𝑑 ഥ𝑟′
𝑑𝑡
Esta expresión denota la relación de cambio respecto del tiempo 
𝑑ത𝒓
𝑑𝑡
es la velocidad de la partícula P respecto del origen O
𝑑 ഥ𝑟′
𝑑𝑡
es la velocidad de la partícula P respecto del origen O’
𝑑 ത𝑅
𝑑𝑡
es la velocidad del origen O’ respecto del fijo origen O
Se obtiene: 𝑣𝑜 = 𝑣𝑜𝑜′ + 𝑣𝑜′
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
También puede denominarse las velocidades como
𝑣𝑜 velocidad vista respecto al sistema fijo o tierra “v”
𝑣𝑜𝑜′ velocidad del sistema móvil “u” respecto al fijo o tierra 
𝑣𝑜′ velocidad de la partícula “v’ “ respecto al sistema móvil
Nueva notación
ҧ𝑣= ത𝑢 + ഥv’
Si derivamos la ecuación respecto del tiempo 
𝑑ത𝑣
𝑑𝑡
= 
𝑑ഥ𝑢
𝑑𝑡
+ 
𝑑v’
𝑑𝑡
y si consideramos que el sistema móvil se 
mueve a velocidad constante ത𝑢 = cte. Resulta :
ത𝑎 = ഥ𝑎′ (si ത𝑢 = cte )
Concluimos que ambos observadores miden la misma aceleración 
Se encontró que la aceleración permanece invariante cuando se pasa 
de un sistema de referencia a otro que se encuentra en movimiento 
relativo de traslación uniforme
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La transformación de Galileo resume las siguientes ecuaciones:
Si para t =0 los orígenes referenciales son iguales a O y O’
De la ecuación vectorial obtenida ത𝒓 = ഥR + ഥ𝒓′ despejo ഥ𝒓′ = ത𝒓 - ഥR
𝑟′ = Ԧ𝑟 – 𝑢t
en sus tres componentes:
𝑟′𝑥 = 𝑟𝑥 - 𝑢𝑥 .t 
𝑟′𝑦 = 𝑟𝑦 - 𝑢𝑦 .t 
𝑟′𝑧 = 𝑟𝑧 - 𝑢𝑧 .t 
t= t’
si consideramos 𝑢=cte y paralela 
al eje OX es decir 𝑢𝑦=0 y 𝑢𝑧 =0
Las expresiones se reducen ahora:
x’ = x- 𝑢t y’ = y z’ = z t’ = t
El conjunto de ecuaciones o
las ecuaciones vectoriales 
dadas, son denominadas una
Transformación Galileana
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Resolución: Esquema del problema
+ y
𝑣 = 8 
𝑚
𝑠
𝑣𝑎 = 50 
𝑘𝑚
ℎ
0 x(m) 
La ecuación del Movimiento relativo es ҧ𝑣 = ത𝑢 + ഥv’
Donde: la velocidad de la partícula respecto al sistema fijo es ҧ𝑣 = -8 Ƽ𝑗 (
𝑚
𝑠
)
la velocidad del sistema móvil respecto al sistema fijo es ത𝑢 = 50 Ƽ𝑖 (
𝑘𝑚
ℎ
)=13,9 Ƽ𝑖 (
𝑚
𝑠
)
la velocidad de la partícula respecto al sistema móvil es ഥv’ = ?
Despejamos la incógnita y nos queda la siguiente ecuación ഥv’ = ഥ𝒗 - ഥ𝒖
Reemplazo  ഥv’ = (-8 Ƽ𝑗 ) - (13,9 Ƽ𝑖 ) (
𝑚
𝑠
)
Ordenando: ഥv’ = - 13,9 Ƽ𝑖 - 8 Ƽ𝑗 (
𝑚
𝑠
)
El módulo resulta  ഥv’ = (−13,9)2+ (−8)2 (
𝑚
𝑠
)2 = 16,04 (
𝑚
𝑠
)
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El diagrama vectorial correspondiente es:
ഥv’ = ҧ𝑣 + (- ത𝑢)
d -8 Ƽ𝑗
𝑣´
- 13,9 Ƽ𝑖
El ángulo se calcula:
tan = (
−13,9
−8
)   = tan−1(
13,9
8
)
 = 60º 
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Problema de aplicación
Una persona puede remar un bote a 6,4 km/h en aguas 
tranquilas.
Si esta cruzando un río donde la velocidad de la corriente 
es de 3,2 km/h, calcular:
1) En que dirección deberá dirigir su bote si quiere 
alcanzar un punto que esta directamente enfrente de 
su punto de partida
2) Si el río tiene un ancho de 4 km de ancho, cuanto 
tardará en atravesarlo
3) Cuanto tardará en avanzar 2 km a favor de la corriente 
y después regresar hasta su punto de partida
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para que el bote se dirija justo al frente del punto de partida y debido a que la corriente 
se mueve a cierta velocidad, el bote debe orientarse en contra de la corriente de esa 
forma la corriente de las aguas lo trasladan justo al frente.
El esquema del problema es: 
u B
u = 𝑣𝑟𝑖𝑜 = 3,2 (
𝐾𝑚
ℎ
) v’ 
 v 4 km
A
Ecuación Ԧ𝑣 = 𝑢 + 𝑣´ sen  = 
𝑢
𝑣′
 = arcsen (
𝑢
𝑣′
)  = arcsen (
3,2
6,4
) 
 = 30º
Todas las velocidades son constantes entonces estamos en presencia de un MRU 
X = v . t t = 
𝑥
𝑣
primero calculo el valor de velocidad respecto a tierra 
v = 6,42 −3,22 v = 5,5 km/h 
y el espacio a recorrer es x= 4 km 
 el tiempo en atravesar t = 
4 𝑘𝑚
5,5 𝑘𝑚/ℎ
= 0,72 h = 43,2 min
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A B
u= 3,2 km/h v’
v’ = 6,4 km
0 + X 
Tiempo total = tiempo de ida + tiempo de regreso
Velocidad desde A B v = v`+ u v = 6,4 + 3,2 = 9,6 km/h
Distancia 𝑋𝐴𝐵 = 2 km tiempo de t (ida) = 
2 𝑘𝑚
9,6 𝑘𝑚/ℎ
= 0,21 h
Velocidad desde B A v = v`+ u v = -6,4 + 3,2 = -3,2 km/h
Distancia 𝑋𝐵𝐴 = 2 km tiempo t (regreso) = 
−2 𝑘𝑚
−3,2 𝑘𝑚/ℎ
= 0,63 h 
Tiempo total = 0,21 h + 0,63 h = 0,84 h = 50,4 min
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PROBLEMA DE APLICACIÓN
Un pequeño avión vuela hacia el norte desde Cincinnati (A) hasta Detroit (B)(dos 
ciudades de los Estados Unidos de América que están sobre el mismo meridiano). 
Duranteel vuelo sopla un viento constante del noroeste a 80 km/h, si la velocidad de 
crucero del avión es de 175 km/h. a) ¿Cuál es el rumbo del avión?. b) Con ese viento 
¿cuál es la velocidad del avión respecto al suelo?
Para este tipo de problemas en primer lugar se debe realizar un esquema donde se 
pueda visualizar el diagrama vectorial
viento NO N
u
𝒗′ B
𝒗
O A E
S
Donde: viento con dirección NOROESTE, forma un ángulo de 45º 
v’ velocidad del objeto o móvil respecto al sistema móvil
u velocidad del sistema móvil 𝒗 velocidad respecto al sistema fijo (tierra) 
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En el diagrama vectorial se observa la suma vectorial ҧ𝑣 = ഥv’ + ത𝑢

u
 = 45º + 90º = 135º
v’
𝜷 v
aplico teorema del seno entre 
𝑢
sin 𝛽
= 
𝑣′
sin 
Reemplazando valores 
80 𝑘𝑚/ℎ
sin 𝛽
= 
175 𝑘𝑚/ℎ
sin 135º
Despejamos el ángulo desconocido 𝛽 = sin−1(
80
175
. sin 135)
𝛽 = 18,86º = 18º 51’ 34”
RESPUESTA:
El rumbo que debe tomar el avión es: 18º 51’ 34” al oeste del Norte 
También puede expresarse 18º 51’ 34” hacia el oeste desde el Norte
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Para calcular la velocidad respecto al sistema fijo o a tierra

u como ya se conoce: 𝛽 = 18,86º y 
 = 135º
v’ v Calculo  = 180 - 𝛽 -    = 26,14º = 26º 8’ 26”
𝛽 aplico teorema del seno entre 
𝑣
sin
= 
𝑣′
sin 
Reemplazando valores 
𝑣
sin 26,14º
= 
175 𝑘𝑚/ℎ
sin 135º
Despejamos la velocidad desconocida v ( velocidad respecto a tierra)
v = 175 (km/h). 
sin 26,14º
sin 135º
 v = 109,03 km/h
RESPUESTA:
Velocidad que alcanza el avión respecto al sistema fijo o tierra 
v = 109,03 km/h
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