Geometría: Ángulos y Rectas

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GEOMETRÍA
 
ESCUELA MATEMÁTICA 
FRANCISCANA 
Prof. Alex GONZALO QUISPE 
SEMANA 01 
ÁNGULOS 
 
ESCUELA MATEMÁTICA FRANCISCANA Prof. ALEX GONZALO QUISPE 
Institución Educativa Emblemática 
Francisca Diez Canseco de Castilla 
 
Geometría 1 
MATEMÁTICA 
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ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE 
1. DEFINICIÓN DE ÁNGULO: figura geométrica formada 
por un par de rayos que tienen el mismo origen. 
 
Bisectriz: es el rayo 𝑂𝑂𝑂𝑂 
 < AOB, AOB, 0,se lee ángulo AOB o ángulo O 
2. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS: 
a) POR SU MEDIDA 
 Agudo: (0<𝜃𝜃<900) 
 Obtuso: (900<𝜃𝜃<1800) 
 Recto: (𝜃𝜃=900) 
 Llano: (𝜃𝜃=1800) 
 De una vuelta: (𝜃𝜃=3600) 
b) POR LA POSICIÓN DE SUS LADOS: 
 Adyacentes o consecutivos: 
 
<AOB, <BOC, <COD,<DOA 
Ángulos consecutivos 
 Opuestos por el vértice: 
 
c) POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS 
 Complementarios: 
 
α θ = °+ 90 
 suplementarios: 
 
α θ = °+ 180 
 conjugados: 
 
µ θ = °+ 360 
3. ÁNGULOS ENTRE 2 RECTAS PARALELAS Y UNA 
RECTA SECANTE: 
 
 
PROPIEDADES: 
 Propiedad 1: si 𝐿𝐿1∕∕𝐿𝐿2 
 
 x=a+b 
 Propiedad 2: si 𝐿𝐿1//𝐿𝐿2 
 m+n=x+y+z 
 
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Geometría 1 
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EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. En una recta se ubican los puntos 
consecutivos 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶,𝐷𝐷,𝐸𝐸 tales que: 
𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐶𝐶𝐸𝐸=16𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐵𝐵𝐸𝐸−𝐶𝐶𝐷𝐷=14𝑐𝑐𝑐𝑐 y 
𝐴𝐴𝐸𝐸−𝐷𝐷𝐸𝐸=12𝑐𝑐𝑐𝑐. Hallar 𝐴𝐴𝐸𝐸. 
2. En una recta se consideran los puntos 
consecutivos 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶,𝐷𝐷 tales que: 𝐴𝐴𝐶𝐶=56𝑐𝑐𝑐𝑐 
y 𝐵𝐵𝐷𝐷=72𝑐𝑐𝑐𝑐. Si 𝑀𝑀 y 𝑁𝑁 son puntos medios de 
𝐴𝐴𝐵𝐵 y 𝐶𝐶𝐷𝐷 respectivamente. Hallar 𝑀𝑀𝑁𝑁. 
3. Sobre una recta que están ubicados los 
puntos consecutivos A, B, C y D, tal que 
𝐴𝐴𝐷𝐷=28 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐴𝐴𝐶𝐶=16 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐷𝐷=14𝑐𝑐𝑐𝑐. Hallar 
la distancia entre los puntos medios de
AC y BD 
4. Se tienen los puntos consecutivos y 
colineales 𝐴𝐴.𝐵𝐵.𝐶𝐶.𝐷𝐷.𝐸𝐸; tales que: 
= = =
1
3
CD BC AC
DC AC CE
 y 𝐴𝐴𝐷𝐷=10𝑐𝑐𝑐𝑐. Hallar 
𝐷𝐷𝐸𝐸. 
5. La diferencia de las medidas de dos ángulos 
es 38° y el suplemento de la medida del 
mayor es igual al doble del complemento de 
la medida del menor. Hallar la suma de las 
medidas de dichos ángulos. 
6. Alrededor de un punto O, se tienen los ángulos 
consecutivos    , , ,AOB BOC COD DOA ; tal que: 
   
= = =
3 4 5 6
m AOB mBOC mCOD mDOA Hallar 
𝑐𝑐𝐴𝐴𝑂𝑂�̂�𝐶 
7. Se tiene los ángulos consecutivos 𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵 𝑦𝑦 
𝐵𝐵𝑂𝑂𝐶𝐶. Luego se traza 

OM bisectriz del 
∡𝐵𝐵𝑂𝑂𝐶𝐶. Hallar 𝑐𝑐∡𝐵𝐵𝑂𝑂𝐶𝐶 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐∡𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵+ 
𝑐𝑐∡𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=30° 
8. De un punto “O” se trazan los rayos OA, OB, 
OC y OD de manera que la 𝑐𝑐∡𝐴𝐴𝑂𝑂𝐶𝐶=70° 𝑦𝑦 
𝑐𝑐∡𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷=90°. Hallar la medida del ángulo 
formado por las bisectrices de los ángulos 
AOB y COD. 
9. Si: 𝐿𝐿1//𝐿𝐿2. Hallar “𝑥𝑥” en la siguiente 
figura: 
 
10. Si: 𝐿𝐿1//𝐿𝐿2. Hallar “𝑥𝑥” en la siguiente 
figura: 
 
11. Si: 𝛼𝛼+𝛽𝛽=800. Hallar “𝑥𝑥”. 
 
12. En el gráfico: 𝐿𝐿1//𝐿𝐿2. Hallar: 𝑥𝑥+𝑦𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIOS PARA CASA
1. En una recta se tienen los puntos 
consecutivos A, B, C y D. Si AB es la media 
aritmética de AC con CD y numéricamente se 
cumple que 𝐵𝐵𝐷𝐷2+1=2𝐵𝐵𝐷𝐷, hallar AD en 
metros. 
2. Dados los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D, donde B, M y N son puntos medios 
de AC, AD y BD respectivamente y AC = 12 
cm, hallar MN. 
3. Se tienen los ángulos consecutivos 
  , ,AOB BOC COD Los rayos 𝑂𝑂𝑂𝑂 y 𝑂𝑂𝑂𝑂 son las 
bisectrices de  ,AOB COD respectivamente. 
Si:  = °98mBOD y  = °90m XOY Hallar AOC 
4. Dados los ángulos consecutivos 
  , ,AOB BOC COD ; tales que sus medidas 
suman 1800. Si  = °110mBOC Hallar la 
medida del ángulo que forman las 
bisectrices de los ángulos  AOC y BOD 
5. Si: 𝛼𝛼+𝛽𝛽+𝜃𝜃=1200 y 𝑧𝑧+𝑦𝑦=600. Halle “𝑥𝑥”. 
 
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DIRECTOR 
 OSWALDO BENITES TACANGA 
DOCENTES 
 CESAR ORE FLORES 
 LUIS ALBERTO DE LA CRUZ MALLQUI 
 ELIAS PAITAN VILCAS 
 FRANKLIN POMA CASTELLANOS 
 ALEX GONZALO QUISPE 
 DAVID LAZARO MACHUCA 
 MICHAEL HILARIO MACHUCA