Unidad 2 CIBA149_2021-2

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Estadística i (CIBA149)
Números índice
En algún momento, todo el mundo debe determinar qué tanto ha cambiado algo en cierto periodo. Por ejemplo, quizá desee saber cuánto ha aumentado el precio de los comestibles, para poder ajustar su presupuesto. El administrador de una fábrica puede tener la necesidad de comparar el costo por unidad de producción este mes con el de hace seis meses. En cada una de estas situaciones, se necesita determinar y definir el grado de cambio y para medir tales diferencias, se usan los números índice.
Definición: Un número índice mide cuánto ha cambiado una variable (o un conjunto de valores) en el tiempo. Calculamos un número índice encontrando el cuociente del valor actual entre un valor base. Luego multiplicamos el número resultante por 100, para expresar el índice como un porcentaje. Este valor final es el porcentaje relativo. Note que el número índice para el periodo base siempre es 100.
	
En general, un número índice mide el cambio en una variable durante un periodo. Sin embargo, también se puede utilizar para medir diferencias en una variable dada en diferentes lugares. 
Los números índice pueden utilizarse de varias maneras. Lo más común es usarlos por sí mismos, como un resultado final. Los números índice, como el IPC, a menudo se citan en informes noticiosos como indicadores generales de la condición económica de un país.
Propiedades
Existencia: Todo número índice debe estar bien definido y ser distinto de cero. 
Identidad: Si el período base y actual coinciden, el índice debe valer uno. 
Inversión: Si intercambiamos los períodos de referencia, el número índice resultante tiene que ser el inverso, es decir, 
Clasificación
Problemas relacionados con los números índice
Número limitado de datos: Ejemplo: Si las ventas se registran sólo anualmente, el administrador no será capaz de determinar el patrón de ventas estacional.
No se pueden comparar: Ocurre cuando se intenta comparar un índice con otro después de que ha habido un cambio básico en lo que se mide.
Ponderación no apropiada: Al desarrollar un índice compuesto, como el IPC, es necesario tomar en cuenta que los cambios en algunas variables son más importantes que en otros
Uso de una base no apropiada: A veces, una compañía selecciona una base que automáticamente conduce a un resultado que refleja sus propios intereses y lo usa para probar su suposición inicial.
Fuentes de datos para números índice: Cuando los administradores aplican números índice a los problemas de la vida diaria, utilizan muchas fuentes para obtener la información necesaria.
Índices Simples
Son simples relaciones o porcentajes entre los valores de un artículo o concepto correspondiente a dos periodos o lugares que desean comparar. 
Es la comparación de una única variable, que toma valores diferentes en períodos (o puntos) distintos
Ejemplo
La superficie de viviendas nuevas autorizadas en Chile (en miles de m2) desde el 2005 son:
	Año	Metros cuadrados (en miles)	Índice simple (año base 2005)
	2005	9294	(9294/9294)*100=100 
	2006	10956	(10956/9294)*100=117.88
	2007	10523	(10523/9294)*100=113.22 
	2008	10195	(10195/9294)*100=109.69
	2009	9303	 
	2010	6520	(6520/9294)*100=70.15
	2011	10432	 
	2012	8979	 
	2013	9416	 
	2014	12500	 
	2015	14678	 
Números Índice Simples
Índice de precios: Compara niveles de precios de un periodo a otro.
Índice de cantidad: Mide el cambio de la cantidad de una variable con el tiempo.
Índice de valor: Mide el cambio del valor en dinero de una variable. El índice de valor combina los cambios en precio y cantidad para presentar un índice con más información
Ejemplo
	Año	2001	2002	2003	2004
	Precio	25	26	24	27
	Cantidad	587	621	605	650
	Índice Precio	100	104	96	108
	Índice Cantidad	100	105.79	103.07	110.73
	Índice Valor	100	110.02	98.94	119.59
El propietario de un viñedo en California (EE.UU), recolectó la siguiente información que describe los precios y cantidades de cosechas para el periodo 1992-1995.
Obtener los índices de precio, cantidad y valor de cada uno de los tipos de uva, usando como tiempo base 1992.
	Año	1992	1993	1994	1995
	Precio	108	109	113	111
	Cantidad	1280	1150	1330	1360
	Índice Precio	100	100.93	104.63	102.78
	Índice Cantidad	100	89.84	103.91	106.25
	Índice Valor	100	90.68	108.72	109.20
Cambio de base
Un problema que se plantea con frecuencia en largas series de números índices es la pérdida de representatividad de éstos al alejarnos del periodo base, y más aún cuando las magnitudes del período corriente se ponderan con valores del periodo base (por ejemplo, en el índice de Laspeyres). Este problema se puede resolver haciendo un cambio de base a un periodo más cercano en el tiempo, es decir, renovando el índice.
Para cambiar la base del periodo 0 a un se divide por el índice del periodo y se multiplica por 100:
Ejemplo
	Año	 (miles)	Índice simple (Base año 2005)
	Índice simple (Base año 2008)
	2005	9294	100 	(100/109.69)*100=91.17
	2006	10956	117.88	(117.88/109.69)*100=107.49
	2007	10523	113.22 	(113.22/109.69)*100=103.22
	2008	10195	109.69	100
	2009	9303	100.09	91.31
	2010	6520	70.15	(70.15/109.69)*100=63.95
	2011	10432	 112.24	102.32
	2012	8979	 96.61	88.07
	2013	9416	101.31 	92.36
	2014	12500	134.5 	122.61
	2015	14678	157.93 	143.97
Ejemplos
El número de turistas extranjeros que visitó Chile los últimos años fue:
	Año	Turistas
	2010	2800637
	2011	3137287
	2012	3554279
	2013	3576204
	2014	3672803
	2015	4478336
Calcule una serie de números índice utilizando como periodo base el año 2012.
Calcule una serie de números índice utilizando como periodo base el año 2013. USE EMPALME DE BASES.
	Año	Turistas	Índice simple (año base 2012)
	Índice simple (Base año 2013)
	2010	2800637	78.8	(78.8/100.6)*100=78.3
	2011	3137287	88.3	(88.3/100.6)*100=87.8
	2012	3554279	100	(100/100.6)*100=99.4
	2013	3576204	100.6	100
	2014	3672803	103.3	(103.3/100.6)*100=102.7
	2015	4478336	126	(126/100.6)*100=125.2
Tasa de variación
La tasa de variación del periodo , viene asignada y determinada por:
TV
Variación absoluta
	Año	Turistas	Índice simple (año base 2012)
	Tasa Variación
	2010	2800637	78.8	
	2011	3137287	88.3	((88.3-78.8)/78.8)*100%=12.05
	2012	3554279	100	((100-88.3)/88.3)*100=13.25
	2013	3576204	100.6	
	2014	3672803	103.3	
	2015	4478336	126	
	Año	Turistas	Índice Simple (año base 2012)
	Índice Cadena (año base 2012)
	2010	2800637	78.8	
	2011	3137287	88.3	112.1
	2012	3554279	100	(100/88.3)*100=113.3
	2013	3576204	100.6	(100.6/100)*100=100.6
	2014	3672803	103.3	
	2015	4478336	126	
Índices Compuestos
Se utilizan cuando el fenómeno que se quiere comparar es más complejo y está compuesto por diferentes elementos, cuando se desea estudiar la evolución de más de una variable en forma conjunta.
Por ejemplo, si se desea ver la evolución en el tiempo de la canasta básica: la misma está compuesta por diferentes bienes y servicios. Por tanto, tendremos una variable por cada bien, que tendrá el precio del mismo en distintos períodos (o lugares).
A partir de allí habrá que construir un valor del índice que sea único para cada período (o lugar). 
Índices Compuestos No Ponderados
Definición: Se define el índice compuesto no ponderado como el índice donde todos los valores considerados tienen la misma importancia. La mayor ventaja de un índice compuesto no ponderado es su sencillez.
	 	
Un índice compuesto no ponderado se calcula de la siguiente manera	
: Índice de cada elemento del compuesto en el año base.
El vicepresidente de ventas de una compañía de computación está examinando la tasa de comisión para los empleados durante los últimos 3 años. A continuación, se listan las ganancias por comisiones (miles de pesos) de los cinco mejores vendedores de la compañía:
Considerando a 2017 como el periodo base, exprese las ganancias por comisiones de 2018 y 2019 en términos de un índice compuesto no ponderado.
		2017	2018	2019
	Vendedor 1	4850055100	63800
	Vendedor 2	41900	46200	60150
	Vendedor 3	38750	43500	46700
	Vendedor 4	36300	45400	39900
	Vendedor 5	33850	38300	50200
		2017	2018		2019	
	Vendedor 1	48500	55100	113.6	63800	131.5
	Vendedor 2	41900	46200	110.3	60150	143.6
	Vendedor 3	38750	43500	112.3	46700	120.5
	Vendedor 4	36300	45400	125.1	39900	109.9
	Vendedor 5	33850	38300	113.1	50200	148.3
Desventaja: No le da un peso o ponderación mayor al cambio de precio de un producto de uso muy común que al de uno de uso poco común.
	Esta deficiencia sugiere el uso de un índice (compuesto) ponderado. Esta ponderación nos permite incluir más información, que sólo el cambio de los precios en el tiempo: nos permite mejorar la precisión de la estimación del nivel general de precios basado en una muestra.
Criterio de la Media Simple
Índice de Media Aritmética: 
Índice de Media Geométrica: 
Índice de Media Armónica:
	Año	Artículos			
		Pan	Vino	Tocino	Aceite
	2011	30	80	200	900
	2012	32	84	220	1100
	2013	35	89	235	1250
	Año	Índice simples de precios			
		Pan	Vino	Tocino	Aceite
	2011	100	100	100	100
	2012	106.7	105	110	122.2
	2013	116.7	111.3	117.5	138.9
	Año	Índice simples de precios				Media
Aritmética	Media
Geométrica	Media Armónica
		Pan	Vino	Tocino	Aceite			
	2011	100	100	100	100	100	100	100
	2012	106.7	105	110	122.2	110.98	110.8	110.6
	2013	116.7	111.3	117.5	138.9	121.1	120.7	120.3
Índices Compuestos Ponderados
Los índices compuestos ponderados, tienen en cuenta la importancia o peso relativo () que puede tener cada una de las magnitudes simples dentro del conjunto de ellas.
	 	
	Periodo base	Periodo t	Índice simple	Ponderación
				
				
				
				
				wn
Existen varias formas de ponderar un índice compuesto ponderado:
Método de Laspeyres	
Método de Paasche
Método de Fisher
.
Método de Laspeyres
Utiliza las cantidades consumidas durante el periodo base, es el más usado debido a que requiere medidas de cantidades para sólo un periodo. La fórmula utilizada para determinar el índice de Laspeyres está dada por:
: Precios en el año actual.
: Precios en el año base.
: Cantidades vendidas en el año base.
=
Ventajas:
El uso de la misma cantidad en el periodo base nos permite hacer comparaciones directas.
El método de Laspeyres utiliza una sola medida de cantidad.
Desventaja: 
No toma en cuenta los cambios en los patrones de consumo, sobreestimando sistemáticamente el aumento de los precios
El tipo de habitación doble reservada por turistas en un hotel los últimos años fue:
	
						
	Habitación doble	AÑOS					
		2016		2017		2018	
		p	q	p	q	p	q
	 Cama matrimonial	45	250	47	320	49	480
	 Dos camas	43	45	43	40	44	32
	 Suite	120	25	145	38	180	63
Ejemplo
Método de Paasche
El índice de Paasche es similar al índice de Laspeyres. La diferencia consiste en que los pesos usados en el método de Paasche son las medidas de cantidad para el periodo actual, en lugar de las del periodo base. La fórmula utilizada para determinar el índice de Paasche está dada por:
: Precios en el año actual.
: Precios en el año base.
: Cantidades del periodo actual.
Ventaja:
El método de Paasche es particularmente útil porque combina los efectos de los cambios de precio.
Desventaja: 
Subestima el aumento de los precios y no pueden compararse índices con otros años que no sea el año base ya que las cantidades son variables.
El tipo de habitación doble reservada por turistas en un hotel los últimos años fue:
	
						
	Habitación doble	AÑOS					
		2016		2017		2018	
		p	q	p	q	p	q
	 Cama matrimonial	45	250	47	320	49	480
	 Dos camas	43	45	43	40	44	32
	 Suite	120	25	145	38	180	63
Ejemplo
Se define como la media geométrica de los índices de precios de Laspeyres y Paasche, es decir:
Este índice tiene como objetivo amortiguar el efecto de sobre o subestimación de ambos índices.
Método de Fisher
Índices cuánticos o de producción
La variable a estudiar, en este caso, es la cantidad (consumida, producida, etc.). Los más utilizados son los índices complejos ponderados, construidos en forma análoga a los índices de precios.
Laspeyres
Paasche
Fisher
=
El tipo de habitación doble reservada por turistas en un hotel los últimos años fue:
	
						
	Habitación doble	AÑOS					
		2016		2017		2018	
		p	q	p	q	p	q
	 Cama matrimonial	45	250	47	320	49	480
	 Dos camas	43	45	43	40	44	32
	 Suite	120	25	145	38	180	63
Ejemplo
Un índice de valor mide cambios generales en el valor total de alguna variable. Como el valor está determinado tanto por el precio como por la cantidad, un índice de valor realmente mide los efectos combinados de los cambios de precio y cantidad. La desventaja principal de un índice de valor es que no produce diferencia alguna entre los efectos de estas dos componentes. Este índice se define como:
Índices compuestos de valor
El tipo de habitación doble reservada por turistas en un hotel los últimos años fue:
	
						
	Habitación doble	AÑOS					
		2016		2017		2018	
		p	q	p	q	p	q
	 Cama matrimonial	45	250	47	320	49	480
	 Dos camas	43	45	43	40	44	32
	 Suite	120	25	145	38	180	63
Ejemplo
Obs:
Cambios de base en índices compuestos
El concepto de período base en los índices de un conjunto de artículos (como ocurre con los índices de Laspeyres y Paasche) no es el mismo que en un índice simple.
El período base en los índices compuestos ponderados, además de ser el tiempo de referencia, es el tiempo en que se deben verificar determinados requisitos respecto a dos características que son: artículos o elementos independientes a los que se refiere el índice y ponderaciones que se van a asignar a cada elemento o artículo.
Los índices compuestos, como los índices simples, pueden elaborarse con un sistema de base fija o con un sistema de base variable o de encadenamientos. Cuando se elige un sistema de base fija, no hay que olvidar que la estructura del gasto está sometida a una constante evolución. En otras palabras, a medida que nos alejamos del período base se van a producir cambios de distinta índole, que responden fundamentalmente a dos características:
Cambios en los bienes o servicios que componen el índice. 
Cambios en los gustos o preferencias de los agentes económicos.
Ejemplo
En la tabla adjunta se presentan los datos de un conjunto de bienes donde los períodos de ponderación son 2000 y 2005:
Deflactación
Los números índices, y en especial los números índices de precios, tienen aplicaciones muy importantes en el mundo real.
Una función importante del dinero es la de pasar de unidades físicas a una unidad de cuenta común, mediante una valoración de los distintos bienes y servicios, generalmente mediante la utilización de un sistema de precios.
Realizada la homogeneización podemos efectuar comparaciones en base a la unidad de cuenta común, siempre que no se hayan producido cambios en los precios de determinados artículos.
El procedimiento que permite transformar una serie expresada en valores corrientes a valores constantes se conoce como deflactación de la serie y al índice elegido para dicha transformación se le llama deflactor. El deflactor no siempre es el mismo, en cada caso habrá que elegir el óptimo para cada alcanzar el objetivo deseado.
Ejemplo: En la tabla se recoge el salario anual de un trabajador europeo en el período 2005‐2010:
	Años	2005	2006	2007	2008	2009	2010
	Salario anual (euros)	6840	7182	7524	8208	8892	9324
	Índice evolución	100	105	110	120	130	135
Para saber si realmente los salarios han aumentado en término de lo que se puede adquirir con ellos, la forma más elemental sería compararlos con las subidas del IPC (que proporciona un indicador general de las variaciones de los precios de los bienes y servicios que adquieren las familias).
La deflactación es el proceso que ha permitido transformar los salarios anuales a salarios reales, eliminando el efecto de la inflación. El índiceelegido como deflactor ha sido el IPC. La serie deflactada se denomina serie a precios constantes.
	Años	2005	2006	2007	2008	2009	2010
	Salario anual (euros)	6840	7102	7524	8208	8892	9234
	Índice evolución	100	105	110	120	130	135
	IPC Base 2005 (deflactor)	100	106	109	119	125	130
	Salario anual real	6840	6700	6902.8	6897.5	7113.6	7103.1
	Índice evolución salario real	100	97.95	100.92	100.84	104	103.85
En un caso general, en donde la serie estadística sea el resultado de un valor, es decir, el resultado de multiplicar cantidades por precios, se tiene la tabla adjunta:
	Periodo	Valor nominal	Valor real
	0		
	1		
	2		
			
			
Si se utiliza como deflactor el índice de Laspeyres, se tiene que no se pasa de valores monetarios corrientes a valores monetarios constantes. A pesar de ello, el índice de Laspeyres se utiliza como deflactor muchas veces, por ser el que se elabora más comúnmente.
Si se utiliza como deflactor el índice de Paasche, se obtiene una relación entre valores monetarios corrientes y valores monetarios constantes. En consecuencia, el índice de Paasche será el deflactor más adecuado siempre que los valores que aparecen en la serie estadística se puedan descomponer en sumas de precios por cantidades.
Subrayar que la elección del deflactor, es decir, del índice de precios adecuado es fundamental: Si lo que se deflacta es una serie sobre la producción de la industria habría que utilizar un índice de precios industriales; si se deflacta una serie sobre el PIB nominal habría que utilizar un índice general de precios; si se deflacta una serie sobre los valores nominales o corrientes de la producción agraria sería conveniente disponer de un índice de precios agrarios; etc...
Costo de vida
El coste de la vida se mide mediante la elaboración de “índices de precios” que es la relación de números que expresa cómo varían los precios de un conjunto (canasta) de productos a lo largo del tiempo. Para su elaboración se toma un año de referencia (año base) para el cual el índice vale 100. El índice para los restantes años se medirá en términos relativos al año base. 
IPC (Índice de Precio al Consumidor )
El IPC se calcula mensualmente por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) y refleja la evolución de los precios para la familia media chilena a lo largo del tiempo
Es un índice de Laspeyres que compara el valor cada mes de un conjunto de artículos con su valor en el período de referencia; éste se denomina Laspeyres encadenado 
El período de referencia se modifica aproximadamente cada 10 años, para tener en cuenta los cambios en la estructura del consumo de la población chilena. 
La distribución de los gastos de las familias (o ponderaciones) se estima realizando una encuesta que se conoce como Encuesta de presupuestos Familiares (EPF) 
El porcentaje de variación o de crecimiento del IPC se puede calcular para cada año, mes, etc., utilizando el índice de precio relativo:
Canasta del IPC
1
)
(
-
-
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t
t
t
k
abs
Y
Y
Y
Y
V
0
0
0
k
k
k
SiYevolucióncreciente
SiYevoluciónestática
SiYevolucióndecreciente
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