Analisis-estadistico-de-correlaciones-para-determinar-el-coeficiente-de-difusiAn-en-silicio--Sistema-Si-Al-y-Si-Cu-

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1 
 
 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA 
E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS 
 
 TESIS 
 
 ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE CORRELACIONES 
PARA DETERMINAR EL COEFICIENTE DE 
DIFUSIÓN EN SILICIO (SISTEMA Si-Al Y Si-Cu) 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
 INGENIERO EN METALURGIA Y MATERIALES 
 
 PRESENTA 
 
 LUIS JESÚS RAMÍREZ RAMÍREZ 
 
 ASESORES: 
 DRA. MARÍA DE LOS ÁNGELES HERNÁNDEZ PÉREZ 
 DR. GABRIEL PLASCENCIA BARRERA 
 
Noviembre- 2019 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5 
Agradecimientos 
 
 
A mi madre, por ser la persona más importante en mi vida y por no dejarme caer jamás. 
A Sandra, Leslie y Jimena, por ser las compañeras de todas mis batallas y el sol de mis días. 
A Daniela, por ser la persona que me hace feliz en el mundo con todo su amor y mi compañera 
para siempre. 
A Kevin, Castell, Hugo, Homero, Carlos, Edú y Álvaro por su entrañable amistad. 
A mis tíos, Raquel, Ana, Javier y Romualdo por apoyarme para cumplir mis sueños. 
A la profesora María Felipa Sánchez Salmerón, por ser la persona que me hizo crecer como 
estudiante y explotar mis capacidades. 
A la profesora Adela González Sandoval por su eterno apoyo desde la secundaria y por la 
dicha de reencontrarla en el nivel superior. 
A la Dra. María de los Ángeles Hernández Pérez, por todo su apoyo, comprensión y fe 
durante mi trayectoria en ESIQIE. 
Al Ing. Alfredo Rodríguez Mendoza, por su amistad en estos años y todo el apoyo que me 
ha brindado para seguir adelante. 
A los miembros integrantes del sínodo: Dr. Ricardo Sánchez, M. en E. Berenice Tierrablanca 
y M.en C. Salvador Meza por su atención al trabajo y apoyo durante mi trayectoria como 
estudiante. 
Al Dr. Gabriel Plascencia Barrera, por ser mi amigo y la persona que me formó como 
ingeniero, por todo su apoyo en estos años, por ayudarme a creer en el potencial que tengo y 
mostrarme el camino que he de seguir para superarme. 
A mi padre, por ser el mejor amigo que tuve en la vida, por cuidarme, por ser mi ejemplo y 
por enseñarme que el amor trasciende la vida y el tiempo. 
 6 
 
Índice general 
 
Agradecimientos ________________________________________________________________ 3 
Índice de tablas _________________________________________________________________ 8 
Índice de figuras ________________________________________________________________ 9 
Resumen _____________________________________________________________________ 10 
Introducción __________________________________________________________________ 11 
I Generalidades ________________________________________________________________ 13 
1.1 Silicio ________________________________________________________________ 13 
1.2 Aplicaciones del Si______________________________________________________ 13 
1.3 Metalurgia del silicio ____________________________________________________ 14 
1.3.1 Purificación del silicio _______________________________________________ 15 
1.4 Difusión ______________________________________________________________ 16 
1.4.1 Coeficiente de difusión ____________________________________________________ 16 
1.4.1.1 Medición del coeficiente de difusión _____________________________________ 17 
1.4.1.1.1 Celda de diafragma _________________________________________________ 17 
1.4.1.1.2 Acoplamiento infinito ________________________________________________ 18 
1.5 Dopantes _____________________________________________________________ 19 
1.5.1 Semiconductores tipo “N” _______________________________________________ 19 
1.5.2 Semiconductores tipo “P” _______________________________________________ 19 
1.6 Difusión del dopante ____________________________________________________ 21 
1.7 Análisis estadístico _____________________________________________________ 22 
1.7.1 Desviación estándar ____________________________________________________ 22 
1.7.2 Parámetro x2 __________________________________________________________ 23 
II Metodología _________________________________________________________________ 24 
2.1Toma de datos (búsqueda bibliográfica) ________________________________________ 24 
2.1.1 Obtención de datos del sistema Si-Al _______________________________________ 24 
2.1.2 Obtención de datos del sistema Si-Cu ______________________________________ 27 
2.2 Procesamiento de datos _____________________________________________________ 29 
III Resultados _________________________________________________________________ 30 
3.1 Gráficas del sistema Si-Al ________________________________________________ 31 
 7 
3.1.1 Gráfica global del sistema Si-Al___________________________________________ 44 
3.2 Sistema Si-Cu ____________________________________________________________ 46 
3.2.1 Gráfica global del sistema Si-Cu __________________________________________ 54 
3.3 Resultados del análisis estadístico ____________________________________________ 56 
3.3.1 Sistema parcial Si- Al ___________________________________________________ 56 
3.3.1.2 Ecuación propuesta ___________________________________________________ 57 
3.3.2 Sistema parcial Si-Cu ___________________________________________________ 58 
3.3.2.2 Ecuación propuesta ___________________________________________________ 59 
Conclusiones __________________________________________________________________ 60 
Referencias ___________________________________________________________________ 61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Índice de tablas 
 
Tabla 1. Parámetros usados para calcular el coeficiente de difusión en los sistemas Si-Al 
y Si-Cu ________________________________________________________________ 30 
Tabla 2. Resultados de coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 450 a 
750°C _________________________________________________________________ 31 
Tabla 3. Resultados de coeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 475 a 
550°C _________________________________________________________________ 32 
Tabla 4 Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 900 a 1100°C en pruebas 
bajo Argón _____________________________________________________________ 33 
Tabla 5. Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 900 a 1100°C en pruebas 
bajo condiciones oxidantes. ________________________________________________ 34 
Tabla 6. Resultados de coeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 850 a 
1290°C ________________________________________________________________ 35 
Tabla 7. Resultados para coeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 1277 a 
1377°C (Difusión masiva) _________________________________________________ 36 
Tabla 8. Resultados del coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 1277 a 
1377°C. ________________________________________________________________ 37 
Tabla 9. Resultados de coeficiente de difusión para temperaturas de 480-620 °C _____ 38 
Tabla 10. Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 1025- 1075°C ______ 39 
Tabla 11. Resultados del coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 1000 a 
1290°C ________________________________________________________________ 40 
Tabla 12. Resultados del coeficiente de difusión para un rango de temperaturas de 1119 
a 1290°C _______________________________________________________________ 41 
Tabla 13. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de 1000 a 1400°C __ 42 
Tabla 14. Resultados del coeficiente de difusión para temperaturas de 1000 a 1415°C 43 
Tabla 15. Resultados del coeficiente de difusión para temperaturas de 1119 a 1390°C 44 
Tabla 16. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de -8 a 900°C _____ 46 
Tabla 17. Resultados del coeficiente de difusiónen temperaturas de 7 a 177°C ______ 46 
Tabla 18. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de -93 a 927 °C ____ 48 
Tabla 19. Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 650 a 950°C _______ 49 
Tabla 20. Resultados de coeficiente de difusión en temperaturas de 12 a 79 °C ______ 54 
 
 
 
 
 9 
Índice de figuras 
 
Figura 1. Proceso metalúrgico de silicio en horno eléctrico _____________________________________ 14 
Figura 2. Esquema del proceso de obtención de silicio grado semiconductor _______________________ 15 
Figura 3. Esquema de la celda de diafragma. a) Contenedor separado por vidrio. b) Contenedor separado 
por membrana porosa ____________________________________________________________________ 17 
Figura 4. Esquema del método de acoplamiento infinito. _______________________________________ 18 
Figura 5. Semiconductor del tipo “N” donde se observan los cuatro enlaces covalentes y el electrón 
disponible que participara en la conducción eléctrica. _________________________________________ 20 
Figura 6. Semiconductor del tipo “P” donde se encuentran tres enlaces covalentes y la generación de 
“agujeros”. ____________________________________________________________________________ 20 
Figura 7. Difusividades de impurezas en silicio [8] ____________________________________________ 21 
Figura 8. Gráfica del sistema Si- Al de acuerdo con los resultados de Qingheng. ___________________ 31 
Figura 9. Gráfica del sistema Si- Al de acuerdo con los resultados de Paccagnella. _________________ 32 
Figura 10. Gráfica del sistema Si- Al en atmósfera de argón de acuerdo con Ortiz. __________________ 33 
Figura 11. Gráfica del sistema Si- Al en atmósfera rica en oxígeno de acuerdo con Ortiz. ____________ 34 
Figura 12. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Krause. _____________________ 35 
Figura 13.Gráfica del sistema Si- Al para difusión masiva de acuerdo con Demireva. _______________ 36 
Figura 14. Gráfica del sistema Si-Al para difusión tubular de acuerdo con Demireva. _______________ 37 
Figura 15. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Fujikawa ____________________ 38 
Figura 16. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Rosnowski. __________________ 39 
Figura 17. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Galvano. ____________________ 40 
Figura 18. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de La Ferla ____________________ 41 
Figura 19. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Fuller ______________________ 42 
Figura 20. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Miller. ______________________ 43 
Figura 21. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Ghostagore. _________________ 44 
Figura 22. Representación del sistema global Si-Al ____________________________________________ 45 
Figura 23. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Istratov. ____________________ 46 
Figura 24. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Zamouche. __________________ 47 
Figura 25. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Heiser. _____________________ 48 
Figura 26. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Keller.______________________ 49 
Figura 27. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Coffa. ______________________ 50 
Figura 28.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Polman. _____________________ 51 
Figura 29.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Weber. ______________________ 52 
Figura 30.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Istratov. _____________________ 53 
Figura 31.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Celebi. ______________________ 54 
Figura 32.Representación del sistema global Si-Cu ____________________________________________ 55 
Figura 33.Sistema parcial ________________________________________________________________ 56 
Figura 34.Ajuste propuesto para el sistema Si- Al _____________________________________________ 57 
Figura 35. Sistema parcial ________________________________________________________________ 58 
Figura 36.Ajuste propuesto para el sistema Si-Cu _____________________________________________ 59 
 
 
 
 10 
Resumen 
 
En la fabricación de dispositivos electrónicos y fotovoltaicos, el silicio es el principal 
material que se utiliza. Debido a que es un elemento que se encuentra abundantemente en la 
corteza terrestre; cuando se refina se encuentra con varias impurezas. Algunas de estas 
impurezas consisten en otros elementos químicos (Al, Cu, B, Ga, In, C, etc.). En su refinación 
y posterior dopaje, es conveniente mantener cierto nivel de estas impurezas en el silicio, sin 
embargo, no siempre esto es deseable. 
 En este trabajo se recopilaron y analizaron casos reportados referentes al estudio del 
coeficiente de difusión de aluminio y cobre en silicio estableciéndose los sistemas Si-Al y 
Si-Cu. Con los datos de cada sistema se construyeron graficas del coeficiente de difusión en 
función del inverso de la temperatura (D vs. 10000 T-1) y se seleccionaron los datos de los 
casos que podían presentar un ajuste eficiente. Se realizó un análisis estadístico mediante la 
desviación estándar y el parámetro x2 para analizar la dispersión de datos en sistemas globales 
y nuevamente en los casos elegidos para tener certeza del ajuste con la disminución del valor 
numérico de ambos parámetros. A partir de esto, se obtuvo la expresión matemática del 
coeficiente de difusión para cada sistema. 
Con base en la discriminación de datos, para el caso del sistema Si-Al se redujo el valor de 
desviación estándar en 67%, el parámetro x2 en 94.6% y la expresión matemática 
característica obtenida es D=8.04E-05 exp (-36510 T-1) [m2s-1] para un intervalo de 
temperaturas de 830 a 1390 °C. 
En el caso del sistema Si-Cu, el valor de desviación estándar disminuye en 4.34%, el valor 
del parámetro x2 en 64% y la expresión matemática característica es D=7.01 E-07 exp (-
5170.8 T-1) [m2s-1] en un intervalo de temperaturas de 7 a 927 °C. 
 
 
 11 
Introducción 
Para satisfacer la demanda energética de una población en constante crecimiento, la 
necesidad de incrementar la producción de energía por medios que no impliquen fuentes 
fósiles, como el viento (eólica) o el sol (fotovoltaica) ha traído en consecuencia un desarrollo 
tecnológico importante en fechas recientes. Como resultado, la generación de energía 
fotovoltaica ha incrementado su producción considerablemente durante los últimos 
20 años. [1] 
Para aumentar la capacidad de utilizar energía solar, es necesario el desarrollo de nuevas 
tecnologías para la producción de celdas solares y la reducción de los costos de producción 
de estas. Ranjan y colaboradores [2] han hecho un análisis de las áreas de oportunidad para 
mejorar la elaboración de celdas encontrando que el factor de mayor relevancia es la 
producción de silicio con grado solar (99.9999% de pureza). 
El silicio es uno de los elementos de mayor abundancia en la corteza terrestre y debido a sus 
características se utiliza para elaborar transistores, celdas solares y semiconductores. En 
conjunto con ciertos elementos se maximizan sus propiedades, fenómeno que es conocido 
como dopaje. Por ejemplo, ha sido probado el uso de sistemas de silicio dopados con 
aluminio [3] para reducir la cantidad de impurezas, especialmente de boro y fósforo, en el 
silicio utilizado para la elaboración de celdas. Trabajos similares han sido efectuados en 
diversos sistemas con resultados similares. 
Para determinar que tanto o que tan fácilmente las impurezas se pueden eliminar del silicio, 
se utiliza el coeficiente de difusión de estas en el silicio. Este coeficiente se estima 
experimentalmente mediante diversas técnicas. Esto ha dado lugar a que existan publicadas 
en la literatura diversas expresionespara calcular el coeficiente de difusión en el silicio sin 
que exista algún criterio técnico o científico que permita establecer cuál de las relaciones 
existentes ofrece la mejor estimación del coeficiente. 
Ante esta realidad, en el presente trabajo, se hace un análisis estadístico sobre los resultados 
que ofrecen los coeficientes de difusión del aluminio y el cobre en el silicio. 
Con base a lo anterior, los objetivos propuestos son los siguientes: 
 12 
 
Objetivo general: 
Proponer una expresión matemática característica a partir de datos publicados en trabajos 
relevantes a la determinación del coeficiente de difusión para los sistemas Si-Al y Si-Cu. 
 
Objetivos específicos: 
1. Realizar una búsqueda bibliográfica de los trabajos realizados sobre la difusión de 
aluminio y cobre en silicio. 
2. Analizar los datos de difusión de cada caso para determinar los parámetros 
estadísticos σ (Desviación estándar) y x2 (Chi cuadrada). 
3. Seleccionar los datos representativos de cada sistema. 
4. Determinar la ecuación del coeficiente de difusión para cada sistema con base en el 
análisis estadístico de los datos seleccionados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
I Generalidades 
1.1 Silicio 
 
El silicio es un elemento químico metaloide, número atómico 14 situado en el grupo 14 de la 
tabla periódica de los elementos de símbolo Si. Es el segundo elemento más abundante en la 
corteza terrestre (25,7 % en peso) después del oxígeno. Se presenta en forma amorfa y 
cristalina; la primera es un polvo parduzco, más activo que la variante cristalina, que se 
presenta en octaedros de color azul grisáceo y brillo metálico. 
Si es semiconductor; su resistividad a la corriente eléctrica a temperatura ambiente varía entre 
la de los metales y la de los aislantes. La conductividad del silicio se puede controlar 
añadiendo pequeñas cantidades de impurezas llamadas “dopantes”. La capacidad de 
controlar las propiedades eléctricas del silicio y su abundancia en la naturaleza han 
posibilitado el desarrollo y aplicación de los transistores y circuitos integrados que se utilizan 
en la industria electrónica. 
1.2 Aplicaciones del Si 
 
Por sus propiedades, el silicio monocristalino es el material base de la industria electrónica y 
microelectrónica para la fabricación de transistores, celdas solares y todo tipo de dispositivos 
semiconductores. 
Existen otros importantes usos del silicio que no requieren de un material de alta cristalinidad 
y pureza. Se utiliza como elemento de aleación en fundiciones, en la preparación de las 
siliconas, en la industria de la cerámica, en la fabricación de vidrio para ventanas y aislantes. 
El dióxido de silicio (arena y arcilla) es un importante constituyente del hormigón y los 
ladrillos y se emplea en la producción de cemento Portland. Se emplea, además, como 
elemento fertilizante en forma de mineral primario rico en silicio para la agricultura. 
El carburo de silicio es uno de los abrasivos más importantes. Se usa en la fabricación de 
láseres para obtener una luz con una longitud de onda de 456 nm. 
 14 
El silicio es el constituyente principal de la silicona. La silicona es un polímero inodoro e 
incoloro que se usa en medicina en implantes de seno y lentes de contacto. Es inerte y estable 
a altas temperaturas, lo que la hace útil en gran variedad de aplicaciones industriales, como 
lubricantes, adhesivos, impermeabilizantes y en aplicaciones médicas, como prótesis 
valvulares cardíacas e implantes de mamas. [4] 
1.3 Metalurgia del silicio 
El silicio metalúrgico se obtiene a partir de sílice de alta pureza reduciendo en hornos de arco 
eléctrico con electrodos a temperaturas superiores a 2000 ° C. En la figura 1 se presenta el 
esquema del proceso de reducción, la reacción [5] que se efectúa es la siguiente: 
2SiO2+ 2C → 2Si + 2CO2 (1) 
El silicio líquido se acumula en el fondo del horno de donde se extrae y se enfría. El silicio 
producido por este proceso se denomina metalúrgico y tiene una pureza del 98%. Para la 
construcción de dispositivos semiconductores, es necesario purificarlo aún más hasta obtener 
“silicio ultra puro” por métodos físicos o químicos. El grado de pureza del Si metalúrgico 
es insuficiente para las aplicaciones electrónicas y solares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.Proceso metalúrgico de silicio en horno eléctrico 
 15 
Si grado semiconductor = 99.9999% pureza
SiHCl3 puro
Descomposición térmica
SiHCl3 + impurezas
Destilación
Silicio grado metalúrgico
Hidrocloración
1.3.1 Purificación del silicio 
Para aplicaciones electrónicas se busca una pureza de hasta cuatro nueves, por lo cual se debe 
efectuar el proceso conocido como “Silicio de grado semiconductor” como se ilustra en la 
figura 2: 
 
 
 
 
 
Figura 2.Esquema del proceso de obtención de silicio grado semiconductor 
 
El silicio en polvo se lleva a reacción con HCl a 300°C en un reactor de lecho fluidizado para 
formar SiHCl3 de acuerdo con la siguiente reacción [6]: 
Si + 3HCl → SiHCl3 + H2 (2) 
Durante esta reacción impurezas como Fe, Al y B reaccionan para formar haluros (por 
ejemplo, FeCl3, AlCl3 y BCl3). El SiHCl3 posee un punto de fusión de 31.8°C y se emplea 
destilación para purificarlo de impurezas de haluros. Como resultado ahora contendrá 
impurezas eléctricamente activas menores a 1 ppb. Finalmente, el SiHCl3 puro reacciona con 
hidrógeno a 1100°C por 200-300 horas para producir silicio de alta pureza de acuerdo con la 
siguiente reacción: 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆3 + 𝑆𝑆2 → Si + 3HCl (3) 
La reacción tiene lugar dentro de cámaras de vacío donde el silicio es depositado. Este 
proceso fue inicialmente desarrollado por Siemens en los años 60. 
 16 
1.4 Difusión 
 
La difusión es un proceso por el cual la materia es transportada de una parte a otra como 
resultado de movimientos moleculares aleatorios que permiten un mezclado completo. 
Puede ser un proceso sumamente lento; en gases, la tasa de difusión ronda alrededor de los 5 
cm min-1; en líquidos es cercano a los 0.05 cm min-1; en sólidos se acerca a los 0.00001 cm 
min-1. En general sufre una menor variación respecto a la temperatura comparado con otros 
fenómenos. [7] 
La forma matemática de expresar el coeficiente de difusión es la siguiente: 
𝐷𝐷 = 𝐷𝐷0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (−
𝑄𝑄
𝑅𝑅𝑅𝑅
) (4) 
Donde D0 (cm2 s-1) es la resistencia que pone el medio a ser traspasado y la energía para 
mover esa molécula en el medio, es una constante para un sistema de difusión dado. Q es la 
energía de activación del proceso de difusión en J mol-1, R es la constante universal de los 
gases en J mol-1 K-1 y T la temperatura en K. 
 
1.4.1 Coeficiente de difusión 
 
También conocido como difusividad, se refiere a la cuantificación de una sustancia que al 
difundirse de una región a otra pasa a través de cada unidad de sección transversal por unidad 
de tiempo a través de los gradientes de concentración volumétrica. [8] 
Es un parámetro de suma importancia que da un indicador de la movilidad en la difusión, 
como tan alta sea la difusividad, difundirá más rápido una especie en otra. Es una constante 
de proporcionalidad ajustable que calcula los valores de flux y perfiles de concentración. 
Para llevar esto a cabo, se necesita conocer los coeficientes de difusión particulares de cada 
especie. Desafortunadamente las mediciones experimentales son difíciles de realizar dando 
una calidad de resultados variable. 
 17 
Barras 
magnéticas 
1.4.1.1 Medición del coeficiente de difusión 
 
La medición del coeficiente de difusión está catalogada como un proceso complejo. 
Típicamente se obtienen resultados con una efectividad del 5 al 10% sin excesivo esfuerzo. 
Se tiene una gran cantidad de tipos de análisis, a continuación, se mencionan los dos estudios 
más representativos en cuanto a líquidos, gases y sólidos. 
 1.4.1.1.1 Celda de diafragma 
 
La celda de diafragma es utilizada para gases, líquidosy sólidos a través de membranas, 
ofrece una eficiencia cercana al 0.2%. La celda consiste en dos compartimientos separados 
uno de otro por un vidrio o por una membrana, como se observa en la figura 3. 
 Ambos compartimientos rotan a 60 rpm con un magneto que gira alrededor [7]. Inicialmente 
se encuentran llenos con soluciones de diferentes concentraciones; cuando el experimento 
termina, los dos compartimientos se vacían y se calculan las concentraciones resultantes 
mediante la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 1
𝛽𝛽𝛽𝛽
 𝑆𝑆𝑙𝑙 [ (𝑐𝑐1,𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓−𝑐𝑐1,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑐𝑐1,𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓−𝑐𝑐1,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑡
] (5) 
Donde 𝛽𝛽(cm-2) es una constante de la celda, t es el tiempo y c es la concentración. 
 
 
 
 
 
Figura 3.Esquema de la celda de diafragma. a) Contenedor separado por vidrio. b) 
Contenedor separado por membrana porosa 
Magneto rotativo 
para agitación 
Separador de 
vidrio 
Abrazadera que 
sostiene al 
diafragma poroso 
a) 
b) 
 18 
Barras 
Barras unidas 
Perfil de composición 
1.4.1.1.2 Acoplamiento infinito 
 
Esta técnica experimental está limitada para sólidos. El dispositivo consiste en dos barras que 
difieren en composición, como se muestra en la figura 4. Al comienzo de la prueba 
experimental, las barras son unidas y rápidamente se llevan a la temperatura a la cual el 
proceso será realizado. Después de un tiempo determinado, las barras son llevadas a un 
enfriamiento rápido y la composición es medida en función de la posición con una 
microsonda electrónica. 
Ya que la difusión en sólidos es un proceso sumamente lento, la composición al final de las 
barras sólidas lejos de la interface no sufre cambios con el tiempo. El perfil de concentración 
obedece la siguiente ecuación: 
𝐶𝐶1−�̃�𝐶1
𝐶𝐶1∞−�̃�𝐶1
= 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( 𝑧𝑧
√4𝐷𝐷𝛽𝛽
) (6) 
Donde 𝑆𝑆1∞ es la concentración al final de la barra, donde z =∞ y �̃�𝑆1 = [
𝐶𝐶1∞+𝐶𝐶1−∞
2
] es la 
concentración promedio en las barras. El perfil de concentración medido es ajustado 
numéricamente para encontrar el coeficiente de difusión. El acoplamiento infinito es un buen 
método para medir la difusión en sólidos, pero es sumamente lento en su ejecución. [7] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.Esquema del método de acoplamiento infinito. 
 19 
1.5 Dopantes 
 
El dopaje es una técnica utilizada para variar el número de electrones y huecos en 
semiconductores. Se crea un material del tipo “N” cuando los materiales semiconductores 
del grupo IV se dopan con los átomos del grupo V. Materiales del tipo “P” se crean cuando 
los materiales semiconductores del grupo IV se dopan con los del grupo III. [7] 
Los materiales del tipo “N” aumentan la conductividad de un semiconductor mediante el 
número de electrones disponibles, materiales del tipo “P” aumentan la conductividad al 
aumentar el número de orificios presentes. [8] 
 
1.5.1 Semiconductores tipo “N” 
 
Los átomos con un electrón de valencia adicional con respecto al silicio se utilizan para 
producir materiales semiconductores de tipo “N”; estos son elementos del grupo V de la tabla 
periódica y por lo tanto sus átomos tienen cinco electrones de valencia que pueden formar 
enlaces covalentes con los cuatro electrones que tiene el silicio, como se observa en la figura 
5. 
Debido a que solo se necesitan cuatro electrones de valencia por cada átomo para formar 
enlaces covalentes alrededor del átomo de silicio, el electrón adicional es libre de participar 
en la conducción cuando los átomos se enlazan. Por lo tanto, se añaden más electrones a la 
banda de conducción y aumenta el número de electrones presente. 
 
1.5.2 Semiconductores tipo “P” 
 
Su nombre proviene del exceso de carga positiva que tienen estos materiales. Los átomos con 
un electrón de valencia menos que el silicio produce dopaje del tipo “P”. Estos átomos son 
elementos del grupo III de la tabla periódica, por lo tanto, tienen solo 3 electrones de valencia 
con los que interactuar con átomos de silicio. El resultado neto es un hueco ya que no hay 
 20 
suficientes electrones para formar los cuatro enlaces covalentes que rodean los átomos de Si, 
como se puede observar en la figura 6. 
En el material del tipo “P”, el número de electrones atrapados en los enlaces es mayor, 
aumentando el número de agujeros. [6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.Semiconductor del tipo “N” donde se observan los cuatro enlaces covalentes y 
el electrón disponible que participara en la conducción eléctrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.Semiconductor del tipo “P” donde se encuentran tres enlaces covalentes y la 
generación de “agujeros”. 
 
 21 
1.6 Difusión del dopante 
 
La difusión de impurezas en silicio es de gran importancia por dos razones; la primera es que 
el estudio de los mecanismos difusivos del silicio en comparación con otros semiconductores 
se encuentra incompleto. La segunda razón es que el silicio es y será el semiconductor más 
importante en el mundo por toda la gama de aplicaciones que ofrece. La figura 7 muestra una 
gráfica de datos experimentales encaminados a determinar el coeficiente de difusión de 
varios dopantes en silicio, cayendo en tres grupos: 
1) Difusores rápidos, como el litio, el cobre y el hidrogeno. 
2) Difusores lentos, como el mismo silicio y el germanio. 
3) Con pocas impurezas, como el carbón, el oxígeno y el oro. 
Todos los difusores rápidos ocupan sitios intersticiales donde no están fuertemente unidos 
con la red. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.Difusividades de impurezas en silicio [8] 
 22 
1.7 Análisis estadístico 
 
Durante la ejecución de diversas pruebas experimentales se puede obtener una gran cantidad 
de datos, por ejemplo, los mostrados en la figura 7, por lo que existe la necesidad de 
cuantificar numéricamente que tan cercanos o alejados están un conjunto de resultados para 
poder realizar ajustes que se acerquen a la descripción del comportamiento de un fenómeno 
y poder establecer correlaciones. 
Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicándolo por 
medio de un número. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor 
sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían 
mucho entre ellos. 
Las medidas de dispersión son números reales no negativos, su valor es igual a cero cuando 
los datos son iguales y este se incrementa a medida que los datos se vuelven más diversos. 
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la 
media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma 
de desviaciones positivas y negativas podría cancelarse entre sí, así que se adoptan dos clases 
de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto 
(por ejemplo, desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (por ejemplo, 
varianza, chi cuadrado, etc.). 
1.7.1 Desviación estándar 
 
La desviación estándar es una medida de dispersión ampliamente utilizada, que indica que 
tan alejados están un conjunto de datos respecto de la media. 
La ecuación general para su cálculo es: 
𝜎𝜎 = �∑ |𝑥𝑥−𝜇𝜇|
2
𝑁𝑁
 (7) 
 
 23 
Donde “x” representa un valor de un conjunto de datos, “µ” es el valor de la media aritmética 
y “N” es el número de datos. Mientras mayor sea el valor obtenido en el cálculo se tendrá 
una mayor dispersión de datos, cuando sea igual a cero significa que no hay diferencia con 
respecto a la media. 
1.7.2 Parámetro x2 
 
El parámetro x2, también conocido como distribución de Pearson, contrasta frecuencias 
observadas de eventos con frecuencias esperadas. Se define como la suma de las diferencias 
cuadráticas relativas entre valores experimentales y valoresteóricos. 
La ecuación para su cálculo es: 
 
𝑒𝑒2 = ∑ (𝑓𝑓𝑡𝑡−𝑓𝑓𝑒𝑒)
2
𝑓𝑓𝑒𝑒
 (8) 
Donde “fo” representa la frecuencia observada y “fe” la frecuencia esperada; valores altos 
reflejan dispersión significativa y valores cercanos a cero se asemejan al valor original. No 
tiene como tal un rango de valores, solo se realiza la comparación numérica en cuanto 
magnitud para determinar la dispersión de datos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
II Metodología 
 
2.1Toma de datos (búsqueda bibliográfica) 
Se realizó la recopilación de trabajos destacados en las últimas décadas entorno al 
comportamiento difusivo de los sistemas mencionados previamente. Debido a la gran 
dispersión que existe entre ellos, se procedió a tomar las ecuaciones de cada uno y calcular 
los resultados de difusividad generando las gráficas características para su posterior 
unificación. 
2.1.1 Obtención de datos del sistema Si-Al 
 
Para este primer sistema se recopilaron doce casos de estudio y a continuación se presenta 
una síntesis de cada uno de ellos: 
1) Qingheng y colaboradores [9] efectuaron pruebas para determinar la difusividad y la 
tasa de crecimiento epitaxial del silicio en fase sólida en aluminio. Utilizando la 
ecuación básica de difusión para una estructura amorfa de tipo sándwich (Si-Al-Si), 
se midió la difusividad para silicio en aluminio entre los 470 y 550 °C derivando la 
transferencia de masa en condiciones de equilibrio en fase sólida en crecimiento 
epitaxial. La energía de activación del proceso fue de 0.80 eV con un coeficiente 
difusivo D0=1.25 E-7 cm2 s-1 utilizando la ecuación (1). 
2) Paccagnella y colaboradores [10] midieron la difusividad en películas delgadas de 
aluminio en silicio que fue medida utilizando la configuración de dos fuentes 
constantes en un espécimen de espesor infinito. Se utilizó una microsonda electrónica 
para medir la distribución de silicio. Se estudió en un rango de temperaturas de 475 a 
550 °C y se interpretó con la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 8.3𝐸𝐸 − 3 exp �−
0.81 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2 𝑠𝑠−1 
 25 
Donde K representa la constante de Boltzmann y T la temperatura en grados Kelvin. 
Los valores obtenidos son mayores que los medidos en aluminio colado. La difusión 
de silicio no encuentra afectación por el tamaño de grano entre 0.3 y 0.8 micrómetros. 
3) Ortiz y colaboradores [11] estudiaron la redistribución de alta energía y bajas dosis 
de aluminio implantado en silicio bajo condiciones inertes y en atmosfera de O2 en 
un rango de temperatura de 900 a 1100 °C. Los perfiles de composición química 
fueron medidos por un espectroscopio iónico de masas y las difusividades efectivas 
fueron extraídas desde el ajuste experimental de los datos obtenidos por la resolución 
numérica de la ley de Fick. Se encontró que la difusión de aluminio es mejorada por 
la oxidación térmica, la difusividad decrece con la temperatura. 
4) Krause y colaboradores [12] hicieron estudios de difusión de aluminio en silicio. El 
aluminio es considerado como el dopante difusor más rápido en silicio y es 
comúnmente utilizado en la fabricación de semiconductores. Este trabajo fue 
realizado para un rango de temperaturas de 850 a 1290 °C fue combinado con 
nitruración y oxidación determinando la difusividad. 
5) Demireva y colaboradores [13] presentan resultados de mediciones de perfiles de 
concentración de átomos de aluminio introducido en silicio por irradiación laser de 
Nd:YaG; se utilizó un D0= 8.0 cm2s-1 para difusión a través del volumen con una 
energía de activación de 3.47 eV, para difusión tubular se utilizó una constante 
D0=140 cm2s-1 y una energía de activación de 3.01 eV. 
6) Fujikawa y colaboradores [14] reportan coeficientes de interdifusión en aleaciones de 
aluminio-silicio determinados por el método de Matano en un rango de temperaturas 
de 753 a 893 K con una pareja que consiste en aluminio puro y una aleación de Al-
Si. La dependencia de la temperatura en los coeficientes de impurezas en difusión de 
Si-Al fue determinado por una extrapolación de la concentración de los coeficientes 
de interdifusión en una fracción cero molar de silicio dada por la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 2.02𝐸𝐸 − 4 exp�−
136 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑐𝑐𝑚𝑚𝑆𝑆
𝑅𝑅𝐾𝐾 �
 𝑐𝑐2𝑠𝑠−1 
7) Rosnowski y colaboradores [15] hicieron estudios por un método de tubo abierto al 
alto vacio para la difusión de aluminio en silicio. Esta técnica es simple pero costosa; 
 26 
este proceso permite dopar con aluminio una superficie de concentración de 10-11 – 
10-19 cm y permite su producción en alto volumen. La difusión fue determinada en 
un rango de temperatura de 1025 a 1175 °C y la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 1.80 exp �−
32 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
8) Galvano et al. [16] estudiaron la difusión de aluminio en un cristal simple de silicio 
para un rango de temperaturas de 1000 a 1290 °C con una implantación baja de 
aluminio (1x1014 Al cm-2) a alta energía, para reducir la influencia de la precipitación 
de aluminio en la superficie. Se utilizó la siguiente ecuación para los cálculos 
correspondientes: 
𝐷𝐷 = 8.88 exp �−
3.44 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
9) La Ferla y colabortadores [17] implantaron iones de aluminio en un rango de energía 
de 50 a 120 MeV en sustratos de silicio. Se obtuvo un perfil de concentraciones por 
espectroscopia iónica de masas; los coeficientes de difusión del aluminio implantado 
fueron extraídos de perfiles eléctricos después de un tratamiento térmico en 
temperaturas de 1000-1290 °C de acuerdo con la siguiente expresión: 
𝐷𝐷 = 7.4 exp �−
3.4 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
10) Miller y colaboradores [18] reestudiaron la difusión de aluminio en silicio debido a 
ciertas discrepancias en los datos actuales de aluminio. Utilizaron constantes de 
difusión del trabajo de Fuller et al. [20] en un orden de magnitudes menor al reportado 
en investigaciones previas. Encontraron solubilidades de aluminio sólido en la 
vecindad de los 1019 átomos cm-3 que han sido encontradas en el rango de 
temperaturas de 1200 a 1400 °C. Las concentraciones fueron mayores a las reportadas 
en trabajos previos. 
11) Fuller y colaboradores [19] estudiaron la difusividad de elementos del grupo III (Al, 
B, Ga, In, Tl) y del grupo V (P, As, Sb, Bi) en silicio en un intervalo de temperaturas 
de 1050 a 1350 °C. Utilizaron un método basado en el cambio de conductividad 
debido a la penetración de los elementos. Los coeficientes de difusión para el caso 
del aluminio están dados por la ecuación: 
 27 
𝐷𝐷 = 8.0 exp �−
80000 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
12) Ghostaghore [20] reporta estudios en aluminio, galio y talio difundidos en silicio en 
una atmosfera de hidrogeno. Se realizaron estudios por encima de los 1120 °C. En el 
caso del aluminio, se obtuvieron los coeficientes utilizando la siguiente expresión: 
𝐷𝐷 = 1.385 exp �−
3.41 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
 
2.1.2 Obtención de datos del sistema Si-Cu 
 
Para este sistema se numeran ocho casos de estudio. En seguida se hace un breve resumen de 
su contenido, así como de los parámetros experimentales utilizados: 
1) Istratov y colaboradores [21] efectuaron estudios de iones transcientes designados 
para la obtención de valores de difusividad de cobre en silicio en un rango de 
temperaturas de -8 hasta 900°C. Para este estudio emplearon la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 3𝐸𝐸 − 4 exp �−
0.18 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
2) Zamouche y colaboradores [22] realizaron estudios de iones transcientes en una 
región de agotamiento con una barrera de Shottcky que ha sido utilizada para 
investigar la difusión de Cu en Si dopado con Al y B para temperaturas de 7 a 177 °C 
de acuerdo con la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 4.5𝐸𝐸 − 3 exp �−
0.39 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
3) Keller y colaboradores [23] detectaron la presencia de átomos de cobre difundidos ensilicio mediante gradientes de campo eléctrico medidos con un receptor radioactivo 
de In-Cd por una técnica correlativa de perturbación angular yy. El cobre forma pares 
con los átomos captados, posteriormente sufren pasivación y se presentan como 
contaminación en las hojuelas de silicio. Utilizaron una energía de activación de 0.15 
eV con datos conocidos de trabajos anteriores. 
 28 
4) Coffa y colaboradores [24] establecieron experimental y teóricamente la transición 
de metales amorfos en silicio para la difusión intersticial que es retardada 
temporalmente por los defectos intrínsecos de la estructura. Los resultados del 
coeficiente difusivo para Cu, Zn, Pd, As, Pt y Au se analizaron mediante 
espectroscopia; para el caso del Cu se realizaron pruebas para temperaturas de 155 a 
323 °C con la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 9.5 𝐸𝐸 − 2 exp �−
1.26 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
5) Polman y colaboradores [25] estudiaron la difusividad y la solubilidad de impurezas 
de Cu en diferentes estructuras de Si amorfo, formado por implantación. Se formaron 
láminas de 2.2 micrometros de espesor que fueron recocidas a 500 °C durante una 
hora. Posteriormente, se implantaron iones de Cu con 220 KeV, dando 300 nm de 
espesor en la superficie implantada. 
Realizaron pruebas en temperaturas de 150 a 270 °C obtenidas por la siguiente 
ecuación: 
𝐷𝐷 = 21.461 exp �−
1.39 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
6) Celebi y colaboradores [26] en su trabajo de tesis doctoral, utiliza temperaturas entre 
los 280 y 390 K en un ambiente al vacío con un sistema de enfriamiento consistente 
en barras de aluminio de media pulgada pasando el cobre desde el centro hasta la base 
de una placa; se basó en la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 1𝐸𝐸 − 3 exp �−
0.33 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
7) Weber [27] reporta la difusividad, solubilidad y actividad eléctrica de los elementos 
3d de transición en Si, especialmente para Cr, Mn, Fe, Co, Ni y Cu que difunden 
intersticialmente. Para el caso de este último elemento se realizaron pruebas para 
temperaturas entre 400 y 900 °C de acuerdo con la siguiente ecuación: 
𝐷𝐷 = 4.7 𝐸𝐸 − 3 exp �−
0.43 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
8) Istratov y colaboradores [28] realizaron una compilación de los procesos más 
recientes referentes al estudio de la difusividad de Cu en Si y las posibles 
 29 
interacciones energéticas que presenta. Los datos del estudio para temperaturas de 
110 a 410 °C obedecen a la siguiente ecuación: 
 
𝐷𝐷 = 3𝐸𝐸 − 4 exp �−
0.18 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝐾𝐾𝐾𝐾 � 𝑐𝑐𝑐𝑐
2𝑠𝑠−1 
 
2.2 Procesamiento de datos 
A partir de los casos de estudio mencionados se realizó el procesamiento de los datos en los 
intervalos de temperatura correspondientes. Para ello se elaboró el grafico D vs. 10000 T-1 
de cada uno de los casos. Posteriormente se graficaron todos los datos en el sistema global 
para Si-Al y Si-Cu respectivamente. A partir de estas gráficas se realizó el ajuste para 
homologar el comportamiento difusivo y reducir la desviación estándar y x2 y proponer una 
ecuación general para cada sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
III Resultados 
Realizando la sustitución de datos por cada caso de estudio, se procedió a calcular los 
coeficientes difusivos empleando la ecuación (1) con los parámetros establecidos en la tabla 
1. Se presentan los gráficos y tablas para los sistemas globales que comprenden el total de 
los datos utilizados donde se incluyen los valores de la energía de activación en Joules y la 
constante D0 en cm2s-1 para cada uno. 
En el eje de las ordenadas se tiene a D [m2s-1] y en el de las abscisas 10000 T-1 [K-1], se da el 
valor de correlación “r2” que se presenta en las gráficas como “R”, así como la ecuación que 
describe el comportamiento para cada caso de estudio y se calcularon los valores de 
desviación estándar y el parámetro x2. 
Una vez analizados todos los casos de estudio, se procedió a la discriminación de datos donde 
se presenta un potencial ajuste, se realizó el cálculo de la expresión matemática característica 
y el cálculo de los mismos parámetros estadísticos utilizados en los sistemas globales con el 
objetivo de realizar la comparación entre los sistemas totales y parciales. 
 
 
Tabla 1.Parámetros usados para calcular el coeficiente de difusión en los sistemas Si-Al 
y Si-Cu 
 
 
 
 
 
 
 
R (Constante universal de los gases) 8.314 [J mol-1 K-1] 
 1 eV 1.60 x 10-19 J 
 31 
Figura 8.Gráfica del sistema Si- Al de acuerdo con los resultados de Qingheng. 
3.1 Gráficas del sistema Si-Al 
A continuación, se presentan en las tablas los datos de cada caso de estudio y posteriormente 
la gráfica que representa tales datos con su respectiva ecuación. 
 
Tabla 2.Resultados de coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 450 a 
750°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H. Qingheng, E.S. Yang, H.Izmirliyan [9] 
 
 
Q 77190.77 J mol-1 
D0 1.25E-07 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
470 743 1.35E-03 13.46 4.68E-17 
490 763 1.31E-03 13.11 6.49E-17 
510 783 1.28E-03 12.77 8.86E-17 
530 803 1.25E-03 12.45 1.19E-16 
550 823 1.22E-03 12.15 1.58E-16 
570 843 1.19E-03 11.86 2.06E-16 
 32 
Figura 9.Gráfica del sistema Si- Al de acuerdo con los resultados de Paccagnella. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A. Paccagnella, G.Ottaviani, P.Fabbri, G.Ferla, G.Queirolo [10] 
Q 78155.65 J mol-1 
D0 8.30E-03 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
475 748 1.34E-03 13.37 2.89E-12 
500 773 1.29E-03 12.94 4.34E-12 
525 798 1.25E-03 12.53 6.36E-12 
550 823 1.22E-03 12.15 9.09E-12 
 
Tabla 3.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 475 a 550°C 
 33 
Figura 10. Gráfica del sistema Si- Al en atmósfera de argón de acuerdo con Ortiz. 
 
Tabla 4.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 900 a 1100°C en pruebas 
bajo Argón 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C.Ortiz, D. Mathiot, C.Dubois, R.Jérisian [11] 
Q 314552.38 J mol-1 
D0 1.57E+00 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
900 1173 8.53E-04 8.53 1.54E-18 
925 1198 8.35E-04 8.35 3.03E-18 
950 1223 8.18E-04 8.18 5.77E-18 
975 1248 8.01E-04 8.01 1.07E-17 
1000 1273 7.86E-04 7.86 1.95E-17 
1025 1298 7.70E-04 7.70 3.45E-17 
1050 1323 7.56E-04 7.56 5.98E-17 
1075 1348 7.42E-04 7.42 1.02E-16 
1100 1373 7.28E-04 7.28 1.70E-16 
 34 
Figura 11.Gráfica del sistema Si- Al en atmósfera rica en oxígeno de acuerdo con Ortiz. 
Tabla 5.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 900 a 1100°C en pruebas 
bajo condiciones oxidantes. 
 
 
 
 
 
 
 
Q 226747.88 J mol-1 
D0 1.40E-03 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
900 1173 8.53E-04 8.53 1.12E-17 
925 1198 8.35E-04 8.35 1.82E-17 
950 1223 8.18E-04 8.18 2.90E-17 
975 1248 8.01E-04 8.01 4.53E-17 
1000 1273 7.86E-04 7.86 6.95E-17 
1025 1298 7.70E-04 7.70 1.05E-16 
1050 1323 7.56E-04 7.56 1.56E-16 
1075 1348 7.42E-04 7.42 2.29E-16 
1100 1373 7.28E-04 7.28 3.31E-16 
 35 
Figura 12.Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de 
Krause. 
Tabla 6.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 850 a 
1290°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Krause, H.Ryssel, P. Pichler [12] 
Q 323236.34 J mol-1 
D0 4.73E+00 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
850 1123 8.90E-04 8.90 4.37E-19 
890 1163 8.60E-04 8.60 1.44E-18 
930 1203 8.31E-04 8.31 4.37E-18 
970 1243 8.05E-04 8.05 1.24E-17 
1010 1283 7.79E-04 7.79 3.27E-17 
1050 1323 7.56E-04 7.56 8.19E-17 
1090 1363 7.34E-04 7.34 1.94E-16 
1130 1403 7.13E-04 7.13 4.37E-16 
1170 1443 6.93E-04 6.93 9.43E-16 
1210 1483 6.74E-04 6.74 1.95E-15 
1250 1523 6.57E-04 6.57 3.88E-15 
1290 1563 6.40E-04 6.40 7.46E-15 
 36 
Figura 13.Gráfica del sistema Si- Al para difusión masiva de acuerdo con Demireva. 
Tabla 7. Resultados paracoeficientes de difusión en un rango de temperaturas de 1277 a 
1377°C (Difusión masiva) 
 
D.Demireva, B. Lämmel [13] 
Q 334814.96 J mol-1 
D0 8 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1277 1550 6.45E-04 6.45 4.17E-15 
1302 1575 6.35E-04 6.35 6.30E-15 
1327 1600 6.25E-04 6.25 9.39E-15 
1352 1625 6.15E-04 6.15 1.38E-14 
1377 1650 6.06E-04 6.06 2.01E-14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.Gráfica del sistema Si-Al para difusión tubular de acuerdo con Demireva. 
 
 
 
Q 290430.26 J mol-1 
D0 1.40E+02 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1277 1550 6.45E-04 6.45 2.28E-12 
1302 1575 6.35E-04 6.35 3.27E-12 
1327 1600 6.25E-04 6.25 4.62E-12 
1352 1625 6.15E-04 6.15 6.46E-12 
1377 1650 6.06E-04 6.06 8.95E-12 
Tabla 8. Resultados del coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 1277 a 
1377°C. 
 38 
Figura 15. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Fujikawa 
Tabla 9. Resultados de coeficiente de difusión para temperaturas de 480-620 °C 
 
Fujikawa, Hirano, Fukushima [14] 
Q 136000 J mol-1 
D0 2.00E-04 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
480 753 1.33E-03 13.28 6.36E-14 
500 773 1.29E-03 12.94 1.28E-13 
520 793 1.26E-03 12.61 2.21E-13 
535 808 1.24E-03 12.38 3.66E-13 
540 813 1.23E-03 12.30 3.78E-13 
550 823 1.22E-03 12.15 4.89E-13 
560 833 1.20E-03 12.00 5.96E-13 
570 843 1.19E-03 11.86 8.16E-13 
580 853 1.17E-03 11.72 9.3E-13 
600 873 1.15E-03 11.45 1.29E-12 
620 893 1.12E-03 11.20 2.07E-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
Figura 16. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Rosnowski. 
Tabla 10.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 1025- 1075°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W. Rosnowski [15] 
Q 308763.07 J mol-1 
D0 1.8 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1025 1298 7.70E-04 7.70 6.76E-17 
1075 1348 7.42E-04 7.42 1.95E-16 
1125 1398 7.15E-04 7.15 5.23E-16 
1175 1448 6.91E-04 6.91 1.31E-15 
 40 
Tabla 11.Resultados del coeficiente de difusión en un rango de temperaturas de 1000 a 
1290°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Galvano, Priolo,La Viat [16] 
Q 331920.3 J mol-1 
D0 8.88 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1000 1273 7.86E-04 7.86 1.08E-15 
1050 1323 7.56E-04 7.56 3.03E-15 
1100 1373 7.28E-04 7.28 7.93E-15 
1150 1423 7.03E-04 7.03 1.94E-14 
1200 1473 6.79E-04 6.79 4.46E-14 
1250 1523 6.57E-04 6.57 9.72E-14 
1290 1563 6.40E-04 6.40 1.75E-13 
Figura 17.Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Galvano. 
 41 
 
Tabla 12. Resultados del coeficiente de difusión para un rango de temperaturas de 1119 
a 1290°C 
 
La Ferla [17] 
Q 329990.53 J mol-1 
D0 7.4 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
1119 1392 7.18E-04 7.18 3.07E-16 
1169 1442 6.93E-04 6.93 8.24E-16 
1219 1492 6.70E-04 6.70 2.07E-15 
1269 1542 6.49E-04 6.49 4.91E-15 
1290 1563 6.40E-04 6.40 6.94E-15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18.Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de La Ferla 
 
 
 42 
Figura 19. Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Fuller 
 
Tabla 13. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de 1000 a 1400°C 
 
Fuller [18] 
Q 481477.42 J mol-1 
D0 8 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1000 1273 7.86E-04 7.86 1.40E-23 
1050 1323 7.56E-04 7.56 7.83E-23 
1100 1373 7.28E-04 7.28 3.85E-22 
1150 1423 7.03E-04 7.03 1.70E-21 
1290 1563 6.40E-04 6.40 6.50E-20 
1340 1613 6.20E-04 6.20 2.05E-19 
1390 1663 6.01E-04 6.01 6.03E-19 
1400 1673 5.98E-04 5.98 7.42E-19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
Tabla 14. Resultados del coeficiente de difusión para temperaturas de 1000 a 1415°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20.Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Miller. 
Miller [19] 
Q 194906.69 J mol-1 
D0 4.8 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1000 1273 7.86E-04 7.86 4.83E-12 
1050 1323 7.56E-04 7.56 9.68E-12 
1100 1373 7.28E-04 7.28 1.85E-11 
1150 1423 7.03E-04 7.03 3.36E-11 
1290 1563 6.40E-04 6.40 1.47E-10 
1340 1613 6.20E-04 6.20 2.34E-10 
1390 1663 6.01E-04 6.01 3.63E-10 
1415 1688 5.92E-04 5.92 4.47E-10 
 44 
Tabla 15.Resultados del coeficiente de difusión para temperaturas de 1119 a 1390°C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21.Gráfica del sistema Si-Al de acuerdo con los resultados de Ghostagore. 
 
 
 
Ghostagore [20] 
Q 329025.65 J mol-1 
D0 1.385 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
1119 1392 7.18E-04 7.18 6.24E-17 
1169 1442 6.93E-04 6.93 1.67E-16 
1219 1492 6.70E-04 6.70 4.19E-16 
1390 1663 6.01E-04 6.01 6.41E-15 
 45 
Figura 22.Representación del sistema global Si-Al 
3.1.1 Gráfica global del sistema Si-Al 
 
Las gráficas de todos los casos de estudio se engloban en la figura 22 con los resultados de 
desviación estándar y chi cuadrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los trabajos llevados a análisis, es decir, en el sistema global, se observa que la mayoría 
de los datos se encuentran en un rango de 800 a 1400°C (6 a 9 en 10000 T-1), mientras que 
son pocos los datos para el rango de temperatura de 440 a 560°C (12 a 14 en 10000 T-1). Los 
valores reportados para el coeficiente de difusión entre 1E-14 y 1E-18 m2s-1, representan la 
zona donde se puede realizar un ajuste. Los casos de estudio pertenecientes a Rosnowski 
[15], Ortiz en O2 y Ar [11], Krause [12], La Ferla [17] y Demireva para el caso de difusión 
masiva [13] pueden conjuntarse ya que las rectas se encuentran en el intervalo mencionado 
y se empatan adecuadamente para su ajuste. Los datos restantes presentan una dispersión 
significativa en la difusión por lo que fueron desestimados. 
x2=61 
σ =2.30 
 46 
Figura 23.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Istratov. 
Tomando los datos de las variables independientes, se calculó el valor de desviación estándar 
empleando el sistema global (Figura 22). Se obtuvo un valor de 2.30, donde se observó la 
dispersión significativa de los valores de temperatura y por ende del coeficiente de difusión. 
En el caso del parámetro x2 se obtiene un valor de 61. 
3.2 Sistema Si-Cu 
Se presentan los datos para los casos de estudio del sistema en las tablas y en las figuras las 
gráficas características a cada uno con la ecuación del cálculo del coeficiente de difusión. 
Tabla 16. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de -8 a 900°C 
A.A. Istratov, C.Flink, H.Hieslmair, E.R.Weber, T.Heiser [21] 
Q 17367.92 J mol-1 
D0 3.00E-04 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
-8 265 0.00377 37.74 1.13E-11 
100 373 0.00268 26.81 1.11E-10 
250 523 0.00191 19.12 5.53E-10 
400 673 0.00149 14.86 1.35E-09 
550 823 0.00122 12.15 2.37E-09 
700 973 0.00103 10.28 3.51E-09 
800 1073 0.00093 9.32 4.28E-09 
900 1173 0.00085 8.53 5.06E-09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
Tabla 17.Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de 7 a 177°C 
 
A. Zamouche, T.Heiser, A.Mesli [22] 
Q 37630.50 J mol-1 
D0 4.50E-03 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
7 280 0.00357 35.71 4.30E-14 
41 314 0.00318 31.85 2.47E-13 
75 348 0.00287 28.74 1.01E-12 
109 382 0.00262 26.18 3.22E-12 
143 416 0.0024 24.04 8.48E-12 
177 450 0.00222 22.22 1.93E-11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Zamouche. 
 
 
 48 
Figura 25. Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Heiser. 
Tabla 18.Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de -93 a 927 °C 
 
T. Heiser,A.Mesli [23] 
Q 37630.50 J mol-1 
D0 4.50E-03 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
107 380 0.00263 26.32 3.02E-12 
207 480 0.00208 20.83 3.62E-11 
307 580 0.0017217.24 1.84E-10 
407 680 0.00147 14.71 5.79E-10 
507 780 0.00128 12.82 1.36E-09 
607 880 0.00114 11.36 2.63E-09 
707 980 0.00102 10.20 4.44E-09 
807 1080 0.00093 9.26 6.81E-09 
907 1180 0.00085 8.47 9.72E-09 
927 1200 0.00083 8.33 1.04E-08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
Tabla 19.Resultados de coeficientes de difusión en un rango de 650 a 950°C 
 
R.Keller, M.Deicher, W.Pfeiffer, H.Skudlik, D.Steiner, T.Wichert [24] 
Q 14473.27 J mol-1 
D0 3.00E-03 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
650 923 0.00108 10.83 4.55E-08 
700 973 0.00103 10.28 5.01E-08 
750 1023 0.00098 9.78 5.47E-08 
800 1073 0.00093 9.32 5.92E-08 
850 1123 0.00089 8.90 6.37E-08 
900 1173 0.00085 8.53 6.80E-08 
950 1223 0.00082 8.18 7.23E-08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Keller. 
 
 
 50 
Figura 27.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Coffa. 
Tabla 20. Resultados del coeficiente de difusión para temperaturas de 155 a 323°C 
 
S.Coffa, J.M.Poate, D.C.Jacobson, W.Frank, W.Gustin [25] 
Q 121575.46 J mol-1 
D0 9.18E-02 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
155 428 0.00234 23.36 1.34E-20 
235 508 0.00197 19.69 2.90E-18 
290 563 0.00178 17.76 4.82E-17 
323 596 0.00168 16.78 2.03E-16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
 
 
 
 
Figura 28.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Polman. 
Tabla 21. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de 150 a 270 °C 
 
A.Polman, D.C.Jacobson, S.Coffa, J.M.Poate, S.Roorda, W.C.Sinke [26] 
Q 134118.96 J mol-1 
D0 21.461 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
150 423 0.00236 23.64 5.89E-20 
170 443 0.00226 22.57 3.29E-19 
200 473 0.00211 21.14 3.32E-18 
220 493 0.00203 20.28 1.32E-17 
240 513 0.00195 19.49 4.74E-17 
270 543 0.00184 18.42 2.69E-16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
 
 
Figura 29.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Weber. 
 
Tabla 22. Resultados del coeficiente de difusión en temperaturas de 400 a 900°C 
 
Weber [27] 
Q 41490.04 J mol-1 
D0 4.70E-03 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
400 673 0.00149 14.86 2.83E-10 
500 773 0.00129 12.94 7.39E-10 
600 873 0.00115 11.45 1.55E-09 
700 973 0.00103 10.28 2.78E-09 
800 1073 0.00093 9.32 4.49E-09 
900 1173 0.00085 8.53 6.68E-09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
 
Figura 30.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Istratov. 
 
Tabla 23. Resultados de coeficiente de difusión en temperaturas de 110 a 410 °C 
 
Istratov [28] 
Q 17367.92 J mol-1 
D0 3.00E-04 cm2s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2s-1] 
110 383 0.00261 26.11 1.28E-10 
160 433 0.00231 23.09 2.41E-10 
210 483 0.00207 20.70 3.97E-10 
260 533 0.00188 18.76 5.96E-10 
310 583 0.00172 17.15 8.34E-10 
360 633 0.00158 15.80 1.11E-09 
410 683 0.00146 14.64 1.41E-09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
 
Figura 31.Gráfica del sistema Si-Cu de acuerdo con los resultados de Celebi. 
 
Tabla 20.Resultados de coeficiente de difusión en temperaturas de 12 a 79 °C 
 
Celebi [29] 
Q 31841.19 J mol-1 
D0 1.00E-03 cm2 s-1 
T [°C] T [K] 1/T 10000/T D [m2 s-1] 
12 285 0.00351 35.09 1.46E-13 
25 298 0.00336 33.56 2.62E-13 
45 318 0.00314 31.45 5.89E-13 
65 338 0.00296 29.59 1.20E-12 
79 352 0.00284 28.41 1.88E-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
Figura 32.Representación del sistema global Si-Cu 
3.2.1 Gráfica global del sistema Si-Cu 
 
En la figura 32 se muestra el grafico global del sistema Si-Cu con los resultados de desviación 
estándar y chi cuadrada calculados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este sistema hay buena congruencia entre los diferentes datos reportados, se observa que 
en la región con valores de difusión entre 1E-13 y 1E-8 m2s-1 y un rango de temperatura de 
7 a 927°C. Estos trabajos son los reportados por Zamouche [22], Heiser [23], Celebi [29] y 
Weber [27] son los que presentan una potencial zona de ajuste. Los demás trabajos tienen 
una dispersión significativa con respecto a los anteriores ubicándose en valores de D entre 
1E-15 y 1E-20 m2s-1. Los trabajos de Istratov [21] y [28] se complementan, sin embargo, 
divergen en forma significativa para el ajuste por lo que tampoco se consideraron. 
Al igual que en el sistema previo, se efectuó el cálculo de los valores de desviación estándar 
y parámetro x2 tomando los valores del sistema global. Se obtuvo un valor de 9.66 y 292.52 
para la desviación estándar y chi cuadrada, respectivamente. Estos valores son mucho 
x2=292.52 
σ =9.66 
 56 
Figura 33.Sistema parcial 
mayores que los obtenidos para el sistema Si-Al, lo que indica una fuerte dispersión entre los 
datos reportados en la literatura para este sistema. 
3.3 Resultados del análisis estadístico 
A continuación, se presentan los resultados de desviación estándar y parámetro x2 para ambos 
sistemas globales y para los sistemas parciales propuestos que representan un ajuste 
aceptable. 
3.3.1 Sistema parcial Si- Al 
Tomando los datos seleccionados de Rosnowski [15], Ortiz [11], Krause [12], La Ferla [17] 
y Demireva en difusión masiva [13] se calcularon los valores de la desviación estándar y chi 
cuadrada obteniéndose valores de 0.75 y 3.26. Como puede observarse, los parámetros 
estadísticos disminuyeron de manera drástica, lo que da validez a la selección realizada de 
los casos de estudio. La gráfica del sistema propuesto se presenta en la figura 33. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2=3.26 
σ =0.75 
 57 
Figura 34.Ajuste propuesto para el sistema Si- Al 
3.3.1.2 Ecuación propuesta 
 
Con base en estos resultados se procedió a graficar los datos del sistema en la figura 34, 
obteniendo la ecuación representativa del sistema propuesto para el rango de temperaturas 
de 830 a 1390 °C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El ajuste exponencial permitió la determinación de la ecuación representativa del sistema la 
cual es D= 8.042E-05 exp (-36510 T-1) [m2s-1] con un valor de correlación de R=0.994 
ofreciendo un comportamiento representativo en el rango de temperaturas de 830 a 1390 °C 
para el sistema Si- Al. 
 
 58 
Figura 35. Sistema parcial 
3.3.2 Sistema parcial Si-Cu 
 
Se procedió a calcular σ y x2 de los datos del sistema propuesto correspondientes a los 
trabajos de Zamouche [23], Heiser [24], Celebi [29] y Weber [27]. La gráfica del sistema 
propuesto se presenta en la figura 35. El valor de x2 para el sistema disminuye hasta 104.43, 
y el valor de desviación estándar baja a 9.24, la disminución de estos parámetros estadísticos 
indica que la selección de los casos de estudio es válida, sin embargo, comparando estos 
valores con los obtenidos para el sistema Si-Al se comprueba que existe menor concordancia 
experimental entre los trabajos reportados sobre la difusión de Cu en silicio que sobre la 
difusión de Al en Si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2=104.43 
σ =9.24 
 59 
Figura 36.Ajuste propuesto para el sistema Si-Cu 
3.3.2.2 Ecuación propuesta 
Realizando un ajuste exponencial se determinó la ecuación representativa y la gráfica de los 
datos del sistema (Figura 36) que es D= 7.01 E-07 exp (-5170.8 T-1) [m2 s-1] con un valor de 
correlación R= 0.9595 ofreciendo un ajuste para temperaturas de 7 a 927°C para el sistema 
Si-Cu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
Conclusiones 
A partir de los resultados de la revisión bibliográfica se obtuvieron expresiones matemáticas 
características del coeficiente de difusión en intervalos de temperatura determinados para los 
sistemas Si-Al y Si-Cu. 
Los trabajos reportados muestran una fuerte dispersión en los valores del coeficiente de 
difusión para los mismos intervalos de temperatura. 
El análisis estadístico de los datos del sistemaSi-Al arrojó valores para el sistema global de 
desviación estándar de 2.30 y 61 en el caso del parámetro x2; para el sistema parcial se 
obtuvieron valores de 0.75 y 3.26, respectivamente, reduciendo la dispersión en 67% en el 
caso de desviación estándar y 94.6% para x2. 
En el caso del sistema Si-Cu, se obtuvieron valores de desviación estándar de 9.66 y 9.24 
para el sistema global y parcial, respectivamente. Los valores de x2 obtenidos son de 292.52 
y 104.43. Para la desviación estándar se observa una reducción del 4.34 %. El parámetro x2 
tiene una reducción del 64%. 
La selección de datos realizada permitió la determinación de las expresiones matemáticas 
para los sistemas propuestos. Para el sistema Si-Al obtuvo la expresión D= 8.042E-05 exp (-
36510 T-1) [m2s-1] para el intervalo de temperaturas de 830 a 1390°C; el sistema Si-Cu está 
representado por la expresión D= 7.01 E-07 exp (-5170.8 T-1) [m2s-1] en el intervalo de 
temperaturas de 7 a 927°C. 
 
 
 
 
 
 
 
 61 
Referencias 
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	Agradecimientos
	Índice de tablas
	Índice de figuras
	Resumen
	Introducción
	I Generalidades
	1.1 Silicio
	1.2 Aplicaciones del Si
	1.3 Metalurgia del silicio
	1.3.1 Purificación del silicio
	1.4 Difusión
	1.4.1 Coeficiente de difusión
	1.4.1.1 Medición del coeficiente de difusión
	1.4.1.1.1 Celda de diafragma
	1.4.1.1.2 Acoplamiento infinito
	1.5 Dopantes
	1.5.1 Semiconductores tipo “N”
	1.5.2 Semiconductores tipo “P”
	1.6 Difusión del dopante
	1.7 Análisis estadístico
	1.7.1 Desviación estándar
	1.7.2 Parámetro x2
	II Metodología
	2.1Toma de datos (búsqueda bibliográfica)
	2.1.1 Obtención de datos del sistema Si-Al
	2.1.2 Obtención de datos del sistema Si-Cu
	2.2 Procesamiento de datos
	III Resultados
	3.1 Gráficas del sistema Si-Al
	3.1.1 Gráfica global del sistema Si-Al
	3.2 Sistema Si-Cu
	3.2.1 Gráfica global del sistema Si-Cu
	3.3 Resultados del análisis estadístico
	3.3.1 Sistema parcial Si- Al
	3.3.1.2 Ecuación propuesta
	3.3.2 Sistema parcial Si-Cu
	3.3.2.2 Ecuación propuesta
	Conclusiones
	Referencias