Simulación Unidad 2 tema 3

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I. S. C. y M. E. María de los Ángeles Gutiérrez García 
 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE IRAPUATO 
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 S I M U L A C I Ó N 
GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS 
 
PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ALEATORIEDAD PARA LOS NÚMEROS 
PSEUDOALEATORIOS: DE MEDIAS, DE VARI ANZA, DE INDEPENDENCIA Y DE 
BONDAD DE AJUSTE 
 
 
Estrictamente hablando, obtener sucesiones de 
números realmente aleatorios implica la utilización de 
algún fenómeno físico de naturaleza estocástica, 
como el arrojar una moneda al aire, el ruido de un 
circuito electrónico, el decaimiento de un material 
radioactivo, el conteo de fotones mediante detectores 
centelladores y, más recientemente, se han propuesto 
métodos menos tradicionales basados en fenómenos 
tales como el flujo turbulento de aire formado por el 
movimiento de los discos duros en una computadora y 
otro tipo de hardware, péndulos caóticos e incluso del 
tipo biométricos, pero debido a las inherentes dificultades que ofrece este enfoque, 
entre las que podemos mencionar los errores sistemáticos introducidos por el arreglo 
experimental, la nula reproducibilidad de la sucesión obtenida, así como la baja 
frecuencia en la generación de números aleatorios, han hecho necesaria la búsqueda de 
otras formas más eficientes para obtener estos números. 
Desde hace ya algunos años, se utilizan computadoras digitales para implementar 
programas a los que llamamos generadores de números pseudoaleatorios o 
simplemente generadores, los cuales mediante reglas deterministas y operaciones 
aritméticas muchas veces sencillas, producen sucesiones de números que se asemejan 
en un sentido limitado, a las obtenidas mediante un experimento aleatorio y que se 
denominan sucesiones de números pseudoaleatorios. 
La actual utilización de series muy grandes de números pseudoaleatorios en muchas 
aplicaciones, así como algunos episodios de resultados dudosos, obtenidos debido a la 
baja calidad de los generadores utilizados, ha fortalecido la necesidad de contar con 
mejores y cada vez más eficientes pruebas de la calidad. El campo de investigación de 
las pruebas de calidad de generadores de números pseudoaleatorios (y por supuesto, 
también de su implementación), es tan activo que prácticamente no hay mes en el que 
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no se reporten en la literatura científica nuevas pruebas de calidad que utilizan una gran 
variedad de criterios y técnicas (teoría de la información, técnicas estadísticas, power 
spectrum, gambling tests, sistemas físicos, entropía, etc.). 
Las pruebas de calidad de los generadores de números pseudoaleatorios se pueden 
dividir en: 
 Pruebas teóricas. Se realizan estudiando los algoritmos generadores de números 
pseudoaleatorios mediante el uso de herramientas como la teoría de números. 
Estos tipos de pruebas son útiles por su generalidad y están basadas en el 
estudio de algunas propiedades tales como la longitud del periodo de la 
secuencia y la uniformidad del algoritmo. 
 Pruebas empíricas. Estas pruebas se concentran en las sucesiones de números 
pseudoaleatorios y sus propiedades. Son usadas para encontrar correlaciones 
locales no triviales presentes en las sucesiones de números pseudoaleatorios y 
mostrar aspectos desapercibidos en las pruebas teóricas. 
 
Pruebas de aleatoriedad 
Para comprobar si los números aleatorios obtenidos cumplen las propiedades deseadas 
de uniformidad e independencia se deben realizar una serie de pruebas. 
 Prueba de frecuencia. 
 Pruebas de series. 
 Prueba de autocorrelación. 
 Prueba de saltos. 
 Prueba de póker. 
 
Cuando se prueba la uniformidad las hipótesis son: 
 H0: Ri ~ U[0,1] 

 H1: Ri ≠ U[0,1] 
La hipótesis nula supone que la secuencia de números obtenidos está distribuida 
uniformemente en el intervalo [0,1]. 
Prueba de frecuencia (Kolmogorov) 
La prueba básica a la que se debiera someter cualquier nuevo generador de números 
aleatorios es la de uniformidad. Existen dos métodos para realizar esta prueba: 
 Prueba de Kolmogorv-Smirnov. 
 Prueba de chi-cuadrado. 
 
Kolmogorov-Smirnov compara la función de distribución acumulada F(x) de la 
distribución uniforme con la empírica, SN(x), de la muestra de N observaciones. Por 
definición: F(x) = x para 0 ≤ x ≤ 1 
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Para una muestra de R1, R2, ...,RN la función de distribución acumulada, SN(x), está 
definida por: SN(x) = (número de R1, R2, ...,RN que son ≤ 1)/N 
D = max |F(x) - SN(x)| 
La forma de obtenerlo es de la siguiente manera: 
 Se ordenan los datos de menor a mayor R(1) ≤ R(2) ≤ ... ≤ R(N) 
 Se calcula: D+ = max 1 ≤ i ≤ N {i/N - R(N)} 
 D- = max 1 ≤ i ≤ N {R(N) - (i-1)/N } 
 Se obtiene D = max(D+,D-) 
 Se compara con el valor de la tabla para un α dado. 
 
 
 
 
 
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PRUEBA DE FRECUENCIA (CHI CUADRADA) 
Se necesita un conjunto mínimo de 50 datos 
generados que se organizarán en un histograma 
que cumpla lo siguiente: 
 La cantidad de aleatorios esperados en cada 
una de las clases del histograma será de cinco 
datos como mínimo. 
 Para aplicar esta prueba se necesita un 
conjunto de (N) aleatorios que sean calculados 
con el generador que se desea probar, y 
ejecutar los siguientes pasos: (N >= 50) 
 
1.- Organizar los datos en un histograma (con n 
clases). 
2.- Calcular el número de datos esperados en cada 
clase del histograma suponiendo aleatorios 
idealmente uniformes. 
3.- Calcular el estadístico Chi-cero cuadrado con 
las diferencias entre las cantidades de aleatorios 
esperados (Ei) y los observados realmente (Oi) en 
cada una de las (n) clases del histograma, según la 
muestra que se inspecciona. 
 
4.- Se establece el nivel máximo de variación del 
estadístico que se calcula (ji-cero) cuando los 
grados de libertad son iguales al número de clases 
menos uno; y la significación de la prueba es alfa. 
Estos valores se encuentran tabulados para la 
prueba de la Chi-cuadrada. 
5.- Se compara el estadístico calculado con el 
máximo permitido que leyó de tablas; si es menor 
entonces se concluye que no hay evidencia 
estadística para afirmar que los aleatorios de la 
muestra no tienen una distribución uniforme. Si es 
mayor no se acepta la hipótesis de uniformidad en 
los aleatorios generados. 
¿CÓMO PUEDO SABER SI MIS 
DATOS SON ALEATORIOS O 
NO? 
 
 
Muchos de nosotros obtenemos 
datos dando por sentado el control 
del proceso, es decir, que los datos 
son aleatorios con respecto a un 
objetivo; o con la sospecha de que 
el proceso estuvo fuera de control, 
es decir, los datos dan cierta 
indicación de no aleatoriedad. 
Haz las pruebas de frecuencia para 
datos aleatorios con los ejercicios 
planteados en clase.