norma y producto punto de vectores en n dimesiones

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Cálculo Diferencial en Varias Variables
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Lázaro R. Dı́az Lievano
Licenciatura en F́ısica
201910145
Febrero 2021
1. Problemas del capitulo 1.5. Norma y producto punto en n di-
mensiones.
1.53. Denotemos la función producto punto b(U, V ) = U ·V . Verifiquemos que el producto punto es distribu-
tivo y conmutativo. Demuestre que es una función bilineal simétrica verificando las siguientes propiedades:
a) b(U, V ) es lineal en la primera entrada.
b(a1U + d1W,V ) = b((a1(u1, ..., un) + d1(w1, ..., wn)), (v1, ..., vn))
= b(((a1u1, ..., a1un) + (d1w1, ..., d1wn)), (v1, ..., vn))
= b((a1u1 + d1w1, ..., a1un + d1wn), (v1, ..., vn))
= (a1u1 + d1w1, ..., a1un + d1wn) · (v1, ..., vn)
= (a1u1 + d1w1)v1, ..., (a1un + d1wn)vn
= a1u1v1 + d1w1v1, ..., a1unvn + d1wnv1
= (a1u1v1, ..., a1unvn) + (d1w1v1, ..., d1wnv1
= a1(u1v1, ..., unvn) + d1(w1v1, ..., wnv1)
= a1(U · V ) + d1(W · V )
= a1b(U, V ) + d1b(W,V )
b(U, V ) es lineal en la segunda entrada �
b(U, aV + dZ) = b((u1, ..., un), (a(v1, ..., vn) + d(z1, ..., zn)))
= b((u1, ..., un), ((av1, ..., avn) + (dz1, ..., dzn)))
= b((u1, ..., un), (av1 + dz1, ..., avn + dzn))
= (u1, ..., un) · (av1 + dz1, ..., avn + dzn)
= u1(av1 + dz1), ..., un(avn + dzn)
= u1av1 + u1dz1, ..., unavn + undzn
= au1v1 + du1z1, ..., aunvn + du1zn
= a(u1v1, ..., unvn) + d(u1z1, ..., unzn)
= a(U · V ) + d(U · Z)
= ab(U, V ) + db(U,Z)
1
∴ el producto punto es bilineal y distributivo �
b) b(U, V ) = b(V,U)
b(U, V ) = b((u1, ..., un), (v1, ..., vn))
= (u1, ..., un) · (v1, ..., vn)
= u1v1, ..., unvn
= v1u1, ..., vnun
= (v1, ..., vn) · (u1, ..., un)
= V · U
= b(V,U)
∴ el producto punto es bilineal simétrico y conmutativo. �
1.54. Sean U , V , W y X los puntos de la caja rectangular en R3 mostrada en Figura 1.16. Encuentra las
siguientes distancias:
Figura 1.16.
a) ||V − U ||
Definamos las componentes de nuestros vectores V = (0, 2, 0) y U = (3, 2, 1), entonces:
||V − U || = ||(0, 2, 0)− (3, 2, 1)|| = ||(−3, 0,−1)||
=
√
(−3, 0,−1) · (−3, 0,−1) =
√
((−3)(−3) + (0)(0) + (−1)(−1))
=
√
9 + 0 + 1 =
√
10
Por lo tanto, la distancia ||V − U || =
√
10.
b) la distancia entre U y el origen
Tenemos los vectores U = (3, 2, 1) y 0 = (0, 0, 0), entonces:
||U − 0|| = ||(3, 2, 1)− (0, 0, 0)|| = ||(3, 2, 1)||
=
√
(3, 2, 1) · (3, 2, 1) =
√
((3)(3) + (2)(2) + (1)(1))
=
√
9 + 4 + 1 =
√
14
Por lo tanto, la distancia de U al origen es
√
14.
2
c) la distancia entre U y V + W
Como V = (0, 2, 0), U = (3, 2, 1) y W = (3, 0, 0), tenemos que la distancia esta definida como:
||U − (V + W )|| = ||(3, 2, 1)− ((0, 2, 0) + (3, 0, 0))|| = ||(3, 2, 1)− (3, 2, 0)||
= ||(0, 0, 1)|| =
√
(0, 0, 1) · (0, 0, 1)
=
√
((0)(0) + (0)(0) + (1)(1)) = 1
Por lo tanto, la distancia entre U y V + W es 1.
d) ||W −X||
Tenemos que los vectores X yW , están definidos como W = (3, 0, 0) y X = (0, 2, 1), entonces:
||W −X|| = ||(3, 0, 0)− (0, 2, 1)||
= ||(3,−2,−1)||
=
√
(3,−2,−1) · (3,−2,−1)
=
√
((3)(3) + (−2)(−2) + (−1)(−1))
=
√
9 + 4 + 1
=
√
14
Por lo tanto, la distancia ||W −X|| =
√
14, además notemos que las distancias ||W −X|| y ||U − 0||
son de la misma magnitud.
1.55. Encuentre un vector W en R5 ortogonal a los tres vectores
(1, 2, 0, 0,−2), (−2, 1, 2, 0, 0), (0,−2, 1, 0, 2).
Sabemos que el producto punto entre dos vectores ortogonales es cero, entonces, sea W = (w1, w2, w3, w4),
tenemos que:
(1, 2, 0, 0,−2) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
w1 + 2w2 + 0w3 + 0w4 − 2w5 = 0
(−2, 1, 2, 0, 0) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
−2w1 + w2 + 2w3 + 0w4 + 0w5 = 0
(0,−2, 1, 0, 2) · (w1, w2, w3, w4, w5) = 0
0w1 − 2w2 + w3 + 0w4 + 2w5 = 0
Entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: w1 + 2w2 − 2w5 = 0−2w1 + w2 + 2w3 = 0−2w2 + w3 + 2w5 = 0
Resolviendo el sistema obtenemos que w1 =
4
7w5, w2 =
5
7w5, w3 =
3
7w5, w4 = w4, w5 = w5
Observamos que w1, w2 y w3 dependen de w5, por lo que asignemos valores a w5 y w4, para encontrar un
vector ortogonal a los tres vectores, sea w5 = 0 y w4 = 1, entonces el vector ortogonal a los tres vectores es
(0, 0, 0, 1, 0).
3
1.56. ¿Cuáles de los siguientes vectores son vectores unitarios?
a) 150 (3, 4, 5)∣∣∣∣∣∣∣∣ 150(3, 4, 5)
∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 450 , 550
)∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 225 , 110
)∣∣∣∣∣∣∣∣
=
√(
3
50
,
2
25
,
1
10
)
·
(
3
50
,
2
25
,
1
10
)
=
√(
3
50
)2
+
(
2
25
)2
+
(
1
10
)2
=
√
32
502
+
22
252
+
1
102
=
√
1
50
=
√
2
10
6= 1
Por lo tanto, 150 (3, 4, 5) no es un vector unitario.
b) −U si U lo es
Si U = (u1, ..., un) es un vector unitario, entonces ||U || =
√
(u1, ..., un) · (u1, ..., un) = 1
|| − U || =
√
(−u1, ...,−un) · (−u1, ...,−un) =
√
u21 + ... + u
2
n = 1.
Por lo tanto, −U es un vector unitario, dado un vector U unitario.
c) (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6), si U = (u1, u2, u3, u4, u5, u6) lo es.
Si U , es un vector unitario, entonces cumple lo siguiente:
||(u1, u2, u3, u4, u5, u6)|| =
√
(u1)2 + u22 + (u3)
2 + u24 + (u5)
2 + u26 = 1.
Entonces (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario, comprobemos que en realidad se cumple,
entonces:
||(−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6)|| =
√
(−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) · (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6)
=
√
(−u1)2 + u22 + (−u3)2 + u24 + (−u5)2 + u26
=
√
u21 + u
2
2 + u
2
3 + u
2
4 + u
2
5 + u
2
6
= 1
Por lo tanto, (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario.
d) 13 (1,−
√
2,
√
3,−
√
3)∣∣∣∣∣∣∣∣13(1,−√2,√3,−√3)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
(
1
3
,
−
√
2
3
,
√
3
3
,
−
√
3
3
)∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
=
√√√√(1
3
)2
+
(
−
√
2
3
)2
+
(√
3
3
)2
+
(
−
√
3
3
)2
=
√
1
9
+
2
9
+
3
9
+
3
9
=
√
1 = 1
Por lo tanto, 13 (1,−
√
2,
√
3,−
√
3) es un vector unitario.
4
1.57. Determina si los siguientes pares de vectores son ortogonales entre śı.
a) (1, 1, 1, 1, 1) y (−1,−1,−1,−1,−1),
(1, 1, 1, 1, 1) · (−1,−1,−1,−1,−1) = (−1)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) + (−1)(1)
= −1− 1− 1− 1− 1
= −5 6= 0
Por lo tanto, no son ortogonales.
b) (1, 1, 1, 1) y (−1,−1,−1, 3),
(1, 1, 1, 1) · (−1,−1,−1, 3) = (−1)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) + (3)(1)
= −1− 1− 1 + 3
= 0
Por lo tanto, śı son ortogonales.
c) (1, 1, 1) y (−1, 2,−1)
(1, 1, 1) · (−1, 2,−1, ) = (−1)(1) + (2)(1) + (−1)(1)
= −1 + 2− 1
= 0
. Por lo tanto, śı son ortogonales.
1.58. Demuestre que si X y Y son ortogonales entre śı en Rn, entonces
||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2
Esto a veces se denomina teorema de Pitágoras en Rn.
Demostración: Sea X y Y vectores en Rn, los cuales son ortogonales entre si, es decir X · Y = 0, entonces:
(X + Y ) · (X + Y ) = X · (X + Y ) + Y · (X + Y )
= X ·X + X · Y + Y ·X + Y · Y
= ||X||2 + 2X · Y + ||Y ||2
Pero como X y Y son ortogonales entre si, tenemos que:
(X + Y ) · (X + Y ) = ||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2
∴ ||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 �
1.59. Sean u y v números. Usa la identidad algebraica
(u− v)2 = u2 − 2uv + v2
n veces para demostrar que para todos los vectores U y V en Rn,
||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2U · V.
Partiendo de la identidad algebraica (u − v)2 = u2 − 2uv + v2, como buscamos la expresión para Rn,
encontramos que esta dada como:
((u1, ..., un)− (v1, ..., vn))2 = (u1, ..., un)2 − 2(u1, ..., un)(v1, ..., vn) + (v1, ..., vn)2
n∑
k=1
(uk − vk)2 =
n∑
k=1
uk
2 −
n∑
k=1
2ukvk +
n∑
k=1
vk
2, para k = 1, ...., n
||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2U · V.
5
�
1.60. Encuentre la norma máxima de X = (x1, x2, ..., x100) en el cubo unitario en R
100,
0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, ..., 0 ≤ x100 ≤ 1.
La norma máxima pertenece al vector mas alejado, como los valores de x van de 0 a 1, por lo que 1 es el
máximo valor que puede tomar x, entonces el vector mas alejado es:
xm = (11, 12, ..., 1100)
Calculemos su norma
||xm|| =
√
xm · xm =
√
(11, 12, ..., 1100) · (11, 12, ..., 1100)
=
√
(11)(11) + (12)(12) + ... + (1100)(1100) =
√
11 + 12 + ... + 1100
=
√
100 = 10
Por lo tanto, la norma máxima es 10, con el vector (11, 12, ..., 1100)
1.61. Imagine un cubo de n dimensiones en Rn con una longitud de arista c > 0, que consta de todos
los puntos X = (x1, x2, ..., xn) con0 ≤ xk ≤ c, k = 1, ..., n
.
a) Encuentra el punto P en el cubo que tiene la norma más grande. Llama a P la esquina más lejana del
cubo.
El punto que tiene la norma de mayor magnitud, es aquel que tiene el valor máximo en todas sus
componentes, como c es el valor máximo que puede tomar x, entonces P = (c, c, ...., c)
b) ¿Para qué valor de c es la esquina más lejana P en la esfera unitaria de Rn, ||X|| = 1?
Sea P = (c, c, ...., c) el punto mas alejado, tenemos que ||X|| = 1, entonces:
||X|| = ||P || = 1√
(c, c, ...., c) · (c, c, ...., c) = 1√
c2 + c2 + .... + c2 = 1
√
nc2 = 1
nc2 = 1
c2 =
1
n
=⇒ c =
√
1
n
.
c) Manteniendo el punto de la esquina lejana en la esfera unitaria, ¿qué sucede con la longitud de la arista
c cuando la dimensión n tiende a infinito?.
Cuando la dimensión n tiende a infinito, el termino 1n tiende a cero, por lo que c también tiende a cero.
1.62. Sea C = (c1, ..., cn) un vector dado en R
n y sea X = (x1, ..., xn). Muestra esa la función
f(X) = x1 + C ·X
6
es lineal, encontrando D = (d1, ..., dn) para expresar f en la forma f(X) = D ·X.
f(X) = x1 + C ·X
= x1 + (c1, ..., cn) · (x1, ..., xn)
= x1 + c1x1 + ... + cnxn
= x1(1 + c1) + ... + cnxn
Ahora bien, encontremos D, para expresar f(X) = D ·X, entonces:
f(X) = x1(1 + c1) + ... + cnxn
= (1 + c1, ..., cn)(x1, ..., xn)
= D ·X
∴ D = (1 + c1, ..., cn)
1.63. Sea W1 = (1, 1, 1, 0) y W2 = (0, 1, 1, 1). Encuentra dos vectores linealmente independientes que son
ortogonales tanto a W1 como a W2.
Para que dos vectores W1,W2 sean ortogonales, su producto punto debe ser igual a 0, es decir, deben ser
linealmente independientes.
Sea U = (u1, u2, u3, u4), entonces:
(u1, u2, u3, u4) · (1, 1, 1, 0) = 0
u1 + u2 + u3 = 0
(u1, u2, u3, u4) · (0, 1, 1, 1) = 0
u2 + u3 + u4 = 0
Quedando el siguiente sistema de ecuaciones:{
u1 + u2 + u3 = 0
u2 + u3 + u4 = 0
Note que tenemos 4 incognitas y 2 ecuaciones, por lo que no podemos obtener valores unicos de los valores
de uj . Resolviendo el sistema tenemos que u1 = u4 = −(u2 + u3), entonces los vectores que cumplen ser
ortogonales a los vectores W1,W2 tienen la forma U = (−u2 − u3, u2, u3,−u2 + u3)
Sea u2 = 0 u3 = 1, entonces U1 = (−1, 0, 1,−1) y sea u2 = 1 u3 = 0, entonces U2 = (−1, 1, 0,−1), observe-
mos que estos dos vectores son linealmente independientes.
∴ U1 = (−1, 0, 1,−1) y U2 = (−1, 1, 0,−1) son vectores linealmente independientes y ortogonales tanto
a W1 como a W2.
1.64. Nuestra prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el teorema 1.12, usó que cuando U es un
vector unitario,
0 ≤ ||V − (U · V )U ||2 = ||V ||2 − (U · V )2.
a) Demuestre que si U es un vector unitario y |U · V | = ||U ||||V ||, entonces V = (U · V )U .
b) Demuestre que la igualdad ocurre en la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos vectores V y W solo
si uno de los vectores es múltiplo del otro vector.
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1.65. El icosaedro regular encaja perfectamente en un cubo, como se muestra en la figura 1,17. Tiene veinte
caras de triángulo equilátero. En el cubo, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, y 0 ≤ z ≤ 2. Los puntos A y B están
situados en la cara del cubo donde x = 2, y están igualmente espaciados desde el centro de esa cara, por lo
que A = (2, 1− h, 1) y B = (2, 1 + h, 1) para algún número h > 0.
Figura 1.17.
a) Halla las coordenadas de los puntos C y D en términos de h.
D y C están situados en la cara del cubo donde z = 2, como están en el centro de la cara, podemos
concluir que y = 1, entonces, tenemos que:
C = (1− h, 1, 2)
D = (1 + h, 1, 2)
b) Expresa la distancia entre A y B en términos de h.
||A−B|| = ||(2, 1− h, 1)− (2, 1 + h, 1)||
= ||(0,−2h, 0)|| =
√
(−2h)2 = 2h.
c) Expresa la distancia entre A y D en términos de h.
||A−D|| = ||(2, 1− h, 1)− (1 + h, 1, 2)||
= ||(1− h,−h,−1)||
=
√
(1− h)2 + (−h)2 + (−1)2 =
√
1− 2h + h2 + h2 + 1
=
√
2h2 − 2h + 2
d) Halla h.
El icosaedro esta formando por triángulos equiláteros, por lo que todos sus lados son iguales, entonces:
||A−B|| = ||A−D||
2h =
√
2h2 − 2h + 2
(2h)2 = 2h2 − 2h + 2
4h2 − 2h2 + 2h− 2 = 0
2h2 + 2h− 2 = 0
h2 + h− 2 = 0 =⇒ h = −1 +
√
5
2
8
1.66.Sea
V1 = (a, b, ..., b), V2 = (b, a, b, ..., b), V3 = (b, b, a, ..., b), ...Vn = (b, ..., b, a)
sean n vectores en Rn, donde n > 1. Encuentra los números a y b para que V1, ..., Vn sea un conjunto
ortonormal.
Solución: Para que el conjunto de vectores V1, V2, ..., Vn sea ortonormal deben de cumplir las siguientes
propiedades:
Vj · Vk = 0 para todo j 6= k.
||Vj || = 1 para todo j
y dado que todos los vectores son del estilo V1 = (a, b, b, ..., b) donde el valor a va avanzando de componente
conforme aumenta j = 1, 2, ..., n, tenemos que para que cumpla la segunda propiedad, a debe ser igual a 1 y
b debe de ser cero, esto porque si imponemos que la normal del vector sea 1:
Vj =
√
12 + b2 + b2 + ... + b2 = 1 =⇒ b = 0, a = 1.
1.67. Utilice la desigualdad del triángulo como sea necesario para demostrar las siguientes desigualdades,
donde a y b son números y X e Y son vectores en Rn.
a) |a| ≤ |a− b|+ |b|
partimos de ||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2U · V ,
||a− b||2 = ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
≥ ||a||2 + ||b||2 − 2||a|| ||b|| = (||a|| − ||b||)2
||a− b|| ≥ ||a|| − ||b|| =⇒ ||a− b||+ ||b|| ≥ ||a||
Ahoraor usamos la igualdad: ||a|| =
√
a2 = |a|. Entonces
|a| ≤ |a− b|+ |b|
b) |a| − |b| ≤ |a− b|
||a− b||2 = ||a||2 + ||b||2 − 2a · b
≥ ||a||2 + ||b||2 − 2||a|| ||b||
||a− b||2 = (||a|| − ||b||)2
|a| − |b| ≤ |a− b|
c) ||a| − |b|| ≤ |a− b|
|| |a| − |b| ||2 = || |a| ||2 + || |b| ||2 − 2|a| |b|
dado que |a| =
√
a2 entonces || |a| || =
√
|a|2 = ||a|| = |a|
| |a| − |b| |2 = |a|2 + |b|2 − 2|a| |b| = (|a| − |b|)2
||a| − |b|| = |a| − |b| y |a| − |b| ≤ |a− b|
||a| − |b|| ≤ |a− b|
d) |||X|| − ||Y ||| ≤ ||X − Y ||
||X − Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2 − 2X · Y
≥ ||X||2 + ||Y ||2 − 2||X|| ||Y || = (||X|| − ||Y ||)2
||X − Y || ≥ ||X|| − ||Y ||
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