tarea_4_fe_funciones_de_bessel

Vista previa del material en texto

Funciones de Bessel
Las funciones de Bessel Jm(x) son soluciones canónicas de de la ecuación diferencial de Bessel:
x2y′′ + xy′ + (x2 −m2)x = 0
Su representación mas elemental es
Jm(x) =
∞∑
k=0
(−1)k
k!(k +m)!
(x
2
)2k+m
y su representación integral es
Jm(x) =
1
π
∫ π
0
cos (x sin θ −mθ)dθ
Algunas propiedades de las funciones de Bessel
J0(0) = 1 (1)
Jm(0) = 0, m > 0 (2)
J−m(x) = (−1)mJm(x) = Jm(−x) (3)
d
dx
[xmJm(x)] = x
mJm−1(x) (4)
Desarrollando la derivada del producto entre xm y Jm(x) tenemos
mxm−1Jm(x) + x
mJ ′m(x) = x
mJm−1(x)
Multiplicando por x−m en ambos lados de la ecuación llegamos a la siguiente relación de
recurrencia
Jm−1(x) =
m
x
Jm(x) + J
′
m(x) (5)
En particular, si m=0, entonces
J−1(x) =
0
x
J0(x) + J
′
0(x) =⇒ J ′0(x) = J−1(x) = (−1)−1J1(x) = −J1(x)
Por lo cual,
J ′0(x) = −J1(x) (6)
d
dx
[x−mJm(x)] = −x−mJm+1(x) (7)
Desarrollando la derivada del producto tenemos
−mx−m−1Jm(x) + x−mJ ′m(x) = −x−mJm−1(x)
y multiplicando por xm ambos lados de la ecuación tenemos
Jm+1(x) =
m
x
Jm(x)− J ′m(x) (8)
∫ ∞
0
e−axJ0(bx)dx =
1√
a2 + b2
(9)
Figura 1. Gráfica de las funciones de Bessel de primera especie de orden 0, 1 y 2.
1.-Probar que si b > 0 y n es un entero no negativo∫ ∞
0
Jn(bx)dx =
1
b
Sugerencias: en el caso de n=0 el problema se relaciona con la tarea anterior y usando las rela-
ciones de recurrencia se puede ver que la proposición es valida en general, sin tener que calcular
directamente las integrales; conviene probar como segundo paso que la relación es valida para n=1.
Solución:
Primero probaremos que la igualdad se cumple para n=0, es decir, J0(bx) para ello usaremos
la ecuación (9) que ya se demostró previamente.∫ ∞
0
e−axJ0(bx)dx =
1√
a2 + b2
Hacemos a muy cercano a cero y por hipótesis b > 0, quedándonos∫ ∞
0
e−axJ0(bx)dx =
∫ ∞
0
1J0(bx)dx
=
∫ ∞
0
J0(bx)dx =
1√
b2
=
1
b
Por lo que para n = 0 se cumple la igualdad.
Ahora veamos para n=1.
En este caso no podemos aplicar la ecuación (9) directamente dado que la ecuación toma a J0(bx)
y nosotros queremos calcular J1(bx).
Usaremos la ecuación (5) haciendo un cambio de variable u = bx, entonces du = bdx
−J1(u) =
d
du
[J0(u)]
J1(bx) = −
d
bdx
[J0(bx)] = −
1
b
d
dx
[J0(bx)]
Entonces, hacemos la integral impropia de J1(bx) y sustituimos∫ ∞
0
J1(bx)dx = −
1
b
∫ ∞
0
d
dx
[J0(bx)]dx = ĺım
c−→∞
[J0(bx)]
c
0 = −
1
b
[0− 1] = 1
b
Por ultimo, para cualquier n
Queremos calcular la integral impropia de Jn(bx) para cualquier n entero no negativo, para ello
vamos a restar la ecuación (8) a la ecuación (5)
Jm−1(x)− Jm+1(x) =
m
x
Jm(x) + J
′
m(x)−
m
x
Jm(x) + J
′
m(x)
Entonces
Jm−1(x)− Jm+1(x) = 2J ′m(x) (10)
Si hacemos un cambio de variable con u = bx y la integral impropia de 0 a infinito, tenemos
2
d
du
Jm(u) = Jm−1(u)− Jm+1(u)∫ ∞
0
2
b
d
dx
Jm(u)dx =
∫ ∞
0
[Jm−1(u)− Jm+1(u)] dx
2
b
ĺım
c−→∞
[Jm(u)]
c
0 =
∫ ∞
0
Jm−1(u)dx−
∫ ∞
0
Jm+1(u)dx
Recordemos que Jm(c) cuando c −→ ∞ es 0 y que Jm(0) = 0, por lo tanto queda∫ ∞
0
Jm−1(u)dx =
∫ ∞
0
Jm+1(u)dx
Ahora, podemos hacer un cambio de notación, haciendo m−1 = n, sabemos que m es un entero no
negativo, por lo tanto n sigue siendo un entero no negativo para valores de m ≥ 1 y sustituyendo
a u por bx nos queda ∫ ∞
0
Jn(bx)dx =
∫ ∞
0
Jn+2(bx)dx (11)
Esta relación es importante porque nos da una relación de recurrencia de las integrales de la
función de Bessel de primera especie de orden n.
Notemos que para n=0 tenemos que la integral impropia de J2(bx) es 1b∫ ∞
0
J2(bx)dx =
∫ ∞
0
J0(bx)dx =
1
b
de igual forma para otros valores de n
Figura 1. Tabla de n, Jn y Jn+2 para n=0,1,2,3 que ejemplifica la dependencia del integrando en
la relación de recurrencia integral (ecuación 11).
Como podemos ver en la tabla, la integral impropia de J4(bx) es igual a la de J2(bx) que es la
misma que la integral de J0(bx), y a su vez, la integral de J3(bx) es la misma que la integral de
J1(bx).
Si n es par llegamos a la integral original de la recurrencia que es J0(bx)
1
b
=
∫ ∞
0
J0(bx)dx =
∫ ∞
0
J2(bx)dx =
∫ ∞
0
J4(bx)dx... =
∫ ∞
0
J2k+2(bx)dx, k = 0, 1, 2, 3...
Y si n es impar llegamos a la integral de J1(bx)
1
b
=
∫ ∞
0
J1(bx)dx =
∫ ∞
0
J3(bx)dx =
∫ ∞
0
J5(bx)dx... =
∫ ∞
0
J(2k+1)+2(bx)dx, k = 0, 1, 2, 3...
Por lo tanto, para todo n entero no negativo y con b > 0, es válido que∫ ∞
0
Jn(bx)dx =
1
b
2.- Probar que para n > 0 ∫ ∞
0
Jn(x)
x
dx =
1
n
Primero hallaremos una expresión para Jn(x)x , para ello es conveniente sumar las ecuaciones (5)
y (8)
Jm−1(x) + Jm+1(x) =
m
x
Jm(x) + J
′
m(x) +
m
x
Jm(x)− J ′m(x)
Entonces
Jm−1(x) + Jm+1(x) =
2m
x
Jm(x) (12)
Usando esta expresión para nuestra integral∫ ∞
0
Jn(x)
x
dx =
1
2n
∫ ∞
0
[Jn−1(x) + Jn+1(x)] dx
=
1
2n
[∫ ∞
0
Jn−1(x)dx+
∫ ∞
0
Jn+1(x)dx
]
Ahora, usaremos la propiedad que se demostró en el ejercicio anterior considerando que b = 1 y
con m un numero entero no negativo ∫ ∞
0
Jm(x)dx = 1
Podemos usar esta expresión dado que nosotros tenemos que n es un entero no negativo distinto
de cero, se sigue que n− 1 tiene como limite inferior a 1− 1 = 0, mientras que n+ 1 sigue siendo
un entero positivo, por lo tanto ambos son iguales a 1.∫ ∞
0
Jn(x)
x
dx =
1
2n
[∫ ∞
0
Jn−1(x)dx+
∫ ∞
0
Jn+1(x)dx
]
=
1
2n
[1 + 1] =
1
n
Por lo tanto, ∫ ∞
0
Jn(x)
x
dx =
1
n