Resolucion parcial 3 y 4 teoria

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Probabilidad y Estadística 3° y 4° parcial de teoría Resuelto 
______________________________________________________________________ 
1°) Si X e Y tienen una distribución conjunta continua con función de densidad conjunta fXY 
(x,y), 
1.1) Indique las propiedades que debe tener la función de densidad conjunta fXY (x,y). 1.2) 
Indique como se determinan las funciones de densidad marginales de X e Y. 1.3) ¿Cuándo se 
dice que X e Y son independientes? 
1.4) Demuestre que si X e Y son independientes entonces E(X · Y) = E(X) · E(Y) 
 
 
 
 
 
2º) Si X1,...Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas 
N(,2),(muestra aleatoria de una población normal) y se definen X = 
X
n
i
i
n


1
 y S
2  
( )X X
n
i
i
n



 2
1
1
Indique a que es igual la esperanza y varianza de X 
 
2.1 Esperanza: Con o sin reposición, E (
 
 
) , esto es E( ̅) = E(X). 
Demostración: 
E( ̅) = (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2°) V( ̅) = 
 
 
 = 
 
 
 pues las variables son X1, X2, … , Xn son independientes por ser el 
muestreo con reposición. 
Demostración: 
V( ̅) = E [ ̅ - E( ̅ 2 = E [ ̅ –  2 = E [
∑ 
 
 
 
 ]
 
 = E [
∑ 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
= E [
∑ 
 
 
 
 
∑ 
 
 ]
 
 
 = 
 
 
 E [∑ 
 
 
 
 
 
 E ∑ 
 
 (∑ 
 
 ) 
 = 
 
 
 E (∑ ∑ 
 
 
 
 ) = 
 
 
 ∑ ∑ [ ( )] 
 
 
 
 
 = 
 
 
 {∑ 
 
 
 ∑ ∑ [ ( )] 
 
 
 
 } 
 iǂj 
 =
 
 
 {∑ 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 } ( ) por ser las 
Xi independientes 
 iǂj 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
3°) 3.1) ¿Qué entiende por Inferencia estadística? 
 
La INFERENCIA ESTADISTICA consiste en aquellos métodos con los cuales se pueden realizar 
inferencias o generalizaciones acerca de una población utilizando datos muestrales 
 
 
3.2) Defina población y muestra de una población. 
 POBLACION es la totalidad de observaciones en las que se está interesado. 
 Una MUESTRA es un subconjunto de la población. 
 
 
3.3) Defina muestreo al azar con reposición 
Con Reemplazamiento: En este tipo de muestreo todas las muestras tienen la misma 
probabilidad de ser seleccionadas y todas las unidades de la población tienen la misma 
probabilidad de ser seleccionadas para formar parte de la muestra. Formalmente coincide con el 
muestreo de poblaciones infinitas, ya que al devolver a la población cada elemento extraído de la 
misma, una vez anotada su característica, la población es inagotable y el resultado de la extracción 
de cada elemento, independiente de los anteriores a él. 
 
3.4) Defina muestreo al azar sin reposición 
Sin Reemplazamiento: En este tipo de muestreo cada una de las 






n
N
 muestras, tiene la 
misma probabilidad de ser escogida. Como en el método anterior todas las unidades de la 
población tienen la misma probabilidad de ser extraídas, pero si la población es finita, la 
probabilidad de que salga un elemento dependerá de los que fueron separados anteriormente para 
formar parte de la muestra y dejaron, por lo tanto, de pertenecer a los seleccionables. Algunas 
veces se designa a este método: muestreo irrestricto aleatorio. Si bien el nombre de muestreo 
aleatorio simple se ha aplicado tanto a este método como al anterior, nosotros lo aplicaremos a 
este último método (muestreo al azar sin reemplazamiento). 
 
 
 
 
 
4º) Cite las siguientes definiciones: 
4.1) Parámetro de una población. 
 
PARÁMETRO 
Es un valor, medida o indicador representativo de la población que se selecciona para ser 
estudiado. 
Función definida sobre valores numéricos de una población. Se llama parámetro a un valor 
representativo de una población, como la media aritmética, una proporción o su desviación típica. 
un parámetro es un número que resume la gran cantidad de datos que pueden derivarse del 
estudio de una variable estadística. El cálculo de este número está bien definido, usualmente 
mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la población 
 
4.2) Estadístico 
Es el elemento que describe una muestra y sirve como una estimación del parámetro de la 
población correspondiente. 
El estadístico sirve como una estimación del parámetro. 
 
 
4.3) Estimación puntual de un parámetro  de una población. 
 ESTIMACIÓN PUNTUAL 
Una estimación puntual de un parámetro es simplemente una selección UNICA del valor del 
parámetro. 
 
4.4)Cuándo se dice que L    U es un intervalo del 100(1 –  ) % de confianza para , ¿Qué es (1 – 
 )? 
 ESTIMACIÓN POR INTERVALO 
Reconociendo a incertidumbre de que la muestra no es la población estimaremos un intervalo 
dentro del cual se esperaría encontrar el parámetro. 
 
 
 
4.5)¿Cuándo se dice que un intervalo del 100(1 –  ) % de confianza para  es más preciso que otro 
intervalo de la misma confianza para ? 
La PRECISION se mide por la longitud (ancho) del intervalo, para el caso analizado, 
Mientras más grande sea el intervalo, será mayor la longitud y menor la precisión. Obviamente un 
intervalo más preciso será el que tenga la menor longitud 
 
4.6) Defina estimador insesgado de un parámetro. 
 
 
 
4.7)¿Cuándo se dice que un estimador insesgado ̂1 de un parámetro  es más eficiente que otro 
estimador insesgado ̂2 del mismo parámetro? 
 
DEF: Si se consideran TODOS los posibles estimadores INSESGADOS de algún parámetro Θ, 
aquel con la varianza más pequeña recibe el nombre de “ESTIMADOR MAS EFICIENTE DE Θ” 
 
5°) 5.1) Si x1 , x2 ,    , xn es una muestra al azar con reposición de una población X. Dado el 
siguiente intervalo del 100(1- )% de confianza 
n
s
tx
n
s
tx
1n,
2
1n,
2



 
 Indique qué 
parámetro estima el intervalo de confianza, en qué casos se usa y qué supuestos deben hacerse 
sobre la distribución de probabilidad de la población X de la cual se selecciona la muestra (si es que 
debe hacerse alguno) 
5.2) Indique qué es cada término y cada factor del intervalo 
 
 
 
 
 
 
6) PRUEBA (o TEST) DE HIPÓTESIS ESTADISTICA 
6.1) ¿Qué es una prueba de hipótesis estadística? 
Una HIPOTESIS ESTADISTICA es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones. 
Específicamente es una afirmación o aseveración 
 característica de una distribución de probabilidad), 
 sobre los valores de varios parámetros o 
 sobre la forma de una distribución de probabilidad completa. 
 
 
6.2) ¿Cuáles son las partes que componen una prueba de hipótesis? 
PROCEDIMIENTO DE PRUEBA DE HIPOTESIS 
1. Establezca las hipótesis nula y alternativa.(H0 y H1) 
2. Elija un nivel de significancia  fijo. 
3. Seleccione un estadístico de prueba adecuado y establezca la región crítica con base en . 
4. Rechace H0 si el estadístico de prueba calculado está en la región crítica. De otra manera, no rechace H0. 
5. Saque conclusiones. 
 
6.3) Complete el cuadro, indicando en cada caso : Decisión Correcta, Error de tipo I ó Error de tipo II. 
 VERDAD 
 H0 verdadera H1 verdadera 
D
ec
is
ió
n Se rechaza H0 Error tipo I Decisión 
correcta 
No se rechaza H0 Decisión 
correcta 
Error Tipo II 
 
6.4)¿Cuál de los dos errores es el que se controla? 
Alfa 
6.5) Defina nivel de significación de la prueba. 
ERROR DE TIPO I 
Dado que la decisión se basa en variables aleatorias, entonces es posible asociar probabilidades 
con los errores tipo I y II de la Tabla. La probabilidad de cometer Error de tipo I se la designa con la 
letra griega α y se denomina nivel de significación de la prueba. Esto es. 
α = P (error tipo I) = P (rechazarH0 / H0 es verdadera) 
 
 
6.6) Defina . 
ERROR DE TIPO II 
 La probabilidad de cometer error de tipo II, la cual se denota con . 
Trabajamos con una muestra de tamaño 4 y las siguientes regiones de rechazo y de aceptación. 
  = P (Error de Tipo II) = P (aceptar H0 / H1 es verdadera) 
 
 
6.7) ¿A qué se llama región crítica o región de rechazo de la prueba? y ¿A qué se llama región de 
aceptación de la prueba? 
Definición: Los posibles valores del estadístico de prueba que nos hacen rechazar la hipótesis nula, constituyen 
la región de rechazo o región crítica (RR). 
 
Valores críticos: fronteras entre las regiones crítica y de aceptación 
Ejemplos 
 
 
6.8) ¿A qué se llama potencia de una prueba? 
 
 
 
7. REGRESION LINEAL - CORRELACION 
7.1)¿Cómo se define el modelo de regresión lineal simple y para que se usa? Escriba el modelo e 
indique cual es la variable independiente ó explicativa y cuál la variable dependiente o “de 
respuesta” 
 
 
 
 
MODELO: 
 E(Y x) =  +  x parámetros  y  desconocidos 
Luego Y =  +  x +  , con E( )= 0, Var( )= 2  (error) 
 
 
 
 
 
 
7.2) ¿Qué mide el coeficiente de correlación muestral de Pearson r? ¿Entre qué valores varía?¿Si 
obtuviera un r = 1 qué concluiría? ¿Si obtuviera un r = 0,1, qué concluiría? ¿Si obtuviera un r = - 
0,98 qué concluiría? 
Mide la asociación lineal entre 2 variables, y sus valores varían -1 ≤ r ≤ 1 
r=1 asociación lineal positiva perfecta 
r= 0,1 asociación lineal muy débil (casi nula) 
r = -0.98 asociación lineal negativa casi perfecta o muy fuerte 
La variable por predecir (ó por modelar) Y , es la variable dependiente (ó de respuesta). 
Las variables que se utilizan para predecir (ó modelar) Y se denominan variables independientes (ó 
explicativas ó regresoras) y se denotan con los símbolos X1, X2, X3,... etc. 
 
El modelo de REGRESION LINEAL SIMPLE utiliza una variable independiente única X, para predecir los valores de 
una variable dependiente (respuesta) Y.