Teoria8_f2_VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Vista previa del material en texto

1 
 
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS- PARTE 2 
EJEMPLO DE APROXIMACION NORMAL DE UNA DISTRIBUCION BINOMIAL 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
5 
 
DISTRIBUCION ERLANG 
Una variable aleatoria exponencial describe el tiempo transcurrido hasta que se obtiene la primera ocurrencia (el primer 
evento) en un proceso de Poisson. Una generalización de la distribución exponencial es el tiempo que transcurre hasta 
que se presentan r eventos en un proceso de Poisson. La variable aleatoria X que es igual al tiempo en el que ocurren r 
eventos de Poisson es una variable aleatoria Erlang. 
PROBLEMA (pág 204 Montgomery): 
Las fallas en las unidades de procesamiento central de los sistemas de cómputo grandes a menudo se modelan como 
eventos de Poisson. 
Lo común es que las fallas no sean causadas por desgaste de los componentes, sino por fallas de naturaleza más 
aleatoria del gran número de circuitos semiconductores que forman las unidades. Supóngase que las unidades que fallan 
se reparan de inmediato, y que el número promedio de fallas por hora es 0,0001. Sea X “el tiempo que transcurre hasta 
que se presentan cuatro fallas en un sistema”. Calcúlese la probabilidad de que X sea mayor que 40.000 horas. 
Sea la variable aleatoria N “el número de fallas en 40.000 hs de operación”. 
 
 
 
 
 
 
 
Por consiguiente P(X > 40.000 hs) = P( N ≤ 3) 
La hipótesis de que las fallas siguen un proceso de Poisson, implica que N tiene una distribución Poisson con 
λ = 0,0001fallas/hora. 
 Luego E(N) = 0,0001 
 
 horas= 4 fallas en las 40.000 horas 
Entonces P(N ≤ 3) = 
 
 
 
 = 0,433 
De este modo P(X > 40.000 hs) = 0,433 
Entonces si X tiene distribución Erlang con parámetros λ y r, entonces 
P(X > x; λ, r) = P(N ≤ r – 1; λ) 
 
 
 
 
 
 
 
Solución II, siguiendo a Kenett-Zack en Estadística Industrial Moderna es calcular la P(X ≤ 40.000 hs) 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X, “Erlang” , puede obtenerse mediante el cálculo de 
F(x) = P(X ≤ x) = 1 - P(X > x). 
 Luego la función de densidad de probabilidad puede obtenerse como f(x) = 
 
 
 y con una gran labor de 
simplificaciones algebraicas. 
 
6 
 
 
 
 
7 
 
 
DISTIRIBUCIONES GAMMA 
 
 
DISTRIBUCIONES DE WEIBULL ( α = 1)