ARITMETICA_19_NUMEROS RACIONALES I - Gabriel Solis

Vista previa del material en texto

EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 1 
ARITMÉTICA 
 
SEMANA 19: NÚMEROS RACIONALES I. 
 
PREGUNTAS TEÓRICAS 
01. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son 
verdaderas? 
I. [(6, 7)] + [(6, 5)] = [(72, 35)] 
II. Si 
a c
b d

   
    
   
, entonces 
a c
b d
   
=   
   
 
III. [(2, 3)] = [(5, 6)] 
IV. 
2 2 0
3 3 1
−     
 =     
     
 
A) II y III B) II y IV C) solo III 
D) I y II E) I y IV 
 
02. Si 
4 2
3 3
a
a
 
 + 
, entonces 
I. 6a = 
II. 
3
4 2
a
a
 
 + 
 
III. 
3
2
a a
a a

−   
 =   +   
 
IV. 
−   
 =    
   
3 2
6
a
a
 
Son falsas 
A) III y IV B) I y II C) II y III 
D) ninguna E) todas 
 
03. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. La gráfica de ( )0; 3   son puntos que se 
ubican sobre una recta horizontal que pasa por 
el origen de coordenadas. 
II. 
0 1 1
1 3 4
     
+ =     
     
 
III. Si (𝑎; 𝑏) ∈ ℕ × ℕ, entonces el conjunto: 
[(𝑎; 𝑏)] = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℕ × ℕ / 𝑥𝑏 = 𝑦𝑎} es la clase 
de equivalencia de (𝑎; 𝑏). 
IV. (6; –15) y (–4; 10) son dos elementos 
diferentes de una misma clase de equivalencia. 
A) VVVF B) FFFV C) VFFV 
D) FFVV E) FFFF 
 
04. Señale la alternativa que presenta la 
secuencia correcta, después de determinar si la 
proposición es verdadera (V) o falsa (F). 
I. EL producto de un número racional por un 
número irracional, ambos distintos de cero, es 
racional. 
II. 
2 3
1 1 1 1
2 3 3 3
= + + + 
III. Si a/b es irreductible, entonces a y b son 
primos entre sí. 
A) VVV B) VFV C) FVV 
D) FVF E) FFF (FINAL 2009 I) 
 
05 Indique la secuencia correcta después de 
determinar si cada proposición es verdadera (V) 
o falsa (F): 
I. Si el volumen de un cilindro circular recto es 
un número irracional, entonces el producto del 
cuadrado del radio por la altura es un número 
racional. 
II. Si p, q son número racionales, entonces p – q 
es un numero irracional. 
III. Si el perímetro de un triángulo equilátero es 
un número racional, entonces su área es un 
número irracional. 
A) VVV B) VFF C) VFV 
D) FFV E) FFF (FINAL 2011 II) 
 
LOS NÚMEROS RACIONALES COMO CLASES DE 
EQUIVALENCIA 
06. El conjunto de los números racionales es un 
conjunto de clases de equivalencia, los cuales 
son obtenidos como consecuencia de definir una 
relación de 
A) orden B) simétrica C) reflexiva 
D) transitiva E) equivalencia 
 
07. Calcular en cada caso: 
I. Si 
3
4
a
b
 
  
 
 y a + b = 119, Calcule el 
representante canónico de la clase 
11
1
a
b a
− 
 − − 
. 
II. Si 
4 2
3 3
a
a
 
 + 
, halle representante 
canónico de 
2
a
a
 
 + 
. 
Dar como resultado la suma de los resultados. 
A) 4/3 B) 2/5 C) 13/4 
D) 1/2 E) 1/3 
 
08. Calcular en cada caso: 
I. Si 
𝑥
𝑦
∈ [
10
16
], además x.y = 1440, calcule el 
representante canónico de la clase [
4𝑥
𝑦−𝑥
]. 
EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 2 
II. Si 
5
4
∈ [
𝑛+9
2𝑛
], halle representante canónico 
de [
3𝑛−2
5𝑛
]. 
Dar como resultado la diferencia positiva de los 
resultados. 
A) 74/13 B) 82/15 C) 73/14 
D) 118/15 E) 81/13 
 
09. Se tiene las clases de equivalencia [
2
3
] y [
−3
2
], 
los cuales contienen los puntos A = (6; 9) y B = 
(12; –8). Calcule el área de la región triangular 
ABO, donde O = (0; 0). 
A) 69 u2 B) 80 u2 C) 90 u2 
D) 53 u2 E) 78 u2 
 
10. La recta L1: 3x–4y+24=0 es paralela a la 
recta que contiene a la clase 
a
b
 
 
 
 y L2: 4x+3y–
18=0 es una recta paralela a la recta que 
contiene a la clase 
c
d
 
 
 
. Calcular 
a c
b d
   
+   
   
. 
A) 
0
1
 
 
 
 B) 
25
12
 
 
 
 C) 
7
12
 
 
 
 
D) 
7
12
− 
 
 
 E) 
25
12
− 
 
 
 
 
11. Se tiene las clases de equivalencia 
1
1
 
 
 
 y 
5
a 
 
 
, 0 5a  ; luego se trazan las rectas L1 y L2 que 
pasan por ellas respectivamente; si los puntos A 
= (15; 15), B = (x0; 15) y O = (0; 0) forman un 
triángulo cuya área es 90u2. Halle “a”. 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
12. Halle un elemento de 
4
7
 
 
 
 y otro de 
2
5
 
 
 
 tal 
que la suma de términos de la primera sea igual 
a la suma de los términos de la segunda. Se sabe 
además que las fracciones son positivas y sus 
términos son menores que 100 (dar como 
respuesta la suma de denominadores) 
A) 101 B) 102 C) 103 
D) 104 E) 105 
 
13. indicar un elemento de las clases [
9
5
] y [
13
5
], 
de tal manera que al calcular una fracción de 
cada una, se observa que la razón aritmética 
positiva de sus términos son iguales. Finalmente 
se observa que la suma de los numeradores y 
denominadores es el menor valor de tres cifras 
que puede tomar. Dar como respuesta la suma 
del numerador de una de las fracciones con el 
denominador de la otra fracción. 
A) 69 B) 46 C) 92 
D) 84 E) 57 
 
14. Sabiendo que 
13
173 5
N
a a
 
 
 
, halle la suma de 
cifras de “N”. 
A) 16 B) 20 C) 21 
D) 24 E) 28 
 
15. Sabiendo que 
6𝑎𝑏1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑥𝑦𝑦𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
∈ [
99
37
], halle el valor de 
a+b+x+y. 
A) 16 B) 20 C) 21 
D) 17 E) 18 
 
FRACCIONES 
16. Calcular el MCD de 20/16; 40/60 y 28/20. 
Dar como respuesta la suma de los factores pesi 
en la definición del MCD. 
A) 115 B) 159 C) 199 
D) 124 E) 169 
 
17. Calcular el MCM de 20/16; 40/60 y 28/20. 
Dar como respuesta la suma de los factores pesi 
en la definición del MCM. 
A) 202 B) 216 C) 205 
D) 211 E) 208 
 
18. Calcular el MCD y el MCM de 25/9; 5/42 y 
10/21. Dar como respuesta la razón geométrica 
entre el mayor factor pesi en la definición de 
MCD con el menor factor pesi en la definición del 
MCM. 
A) 35/3 B) 21/4 C) 20/7 
D) 70/3 E) 35/6 
 
19. La suma de dos fracciones irreductibles es 7, 
además la razón aritmética de los numeradores 
es 18 y la suma de los denominadores es 16. 
Calcular el menor numerador. 
A) 15 B) 18 C) 22 
D) 19 E) 21 
 
20. Si 
17
19
cd
a d
ab
+ = + , calcular a + b + c + d, 
sabiendo que ab no contiene a 17 y cd no 
contiene a 19. 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 17 
EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 3 
21. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles 
existen, cuyo denominador es 200? 
A) 80 B) 60 C) 72 
D) 78 E) 82 
 
22. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles 
existen, cuyo denominador es 441000? Dar 
como respuesta la suma de cifras. 
A) 12 B) 8 C) 10 
D) 13 E) 9 
 
23. Halle la suma de todas las fracciones 
positivas irreductibles propias, cuyo 
denominador es 1991. 
A) 1 B) 100 C) 300 
D) 400 E) 900 
 
24. Determinar la cantidad de fracciones 
propias e irreductibles que están comprendidas 
entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus 
términos sea 90. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 (UNI 2011 II) 
 
25. Determinar la cantidad de fracciones 
propias e irreductibles que están comprendidas 
entre 7/23 y 29/37 tales que la diferencia de sus 
términos sea 20. 
A) 23 B) 26 C) 35 
D) 32 E) 27 
 
31. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles 
existen, cuyo numerador sea un número que 
tenga 3 divisores y cuyo denominador sea 
10000(3)? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 (CEPRE 2010 I) 
 
32. Halle la cantidad de fracciones de todas las 
fracciones impropias e irreductibles, menores 
que 10 cuyo denominador sea 42 y cuyo 
numerador sea un número de tres divisores. 
A) 4 B) 5 C) 3 
D) 6 E) 2 
 
33. Halle la suma de todas la fracciones 
impropias e irreductibles,menores que 5 cuyo 
denominador sea 40 y cuyo numerador sea un 
número cuadrado perfecto. 
A) 3,25 B) 5,5 C) 7,5 
D) 10,5 E) 12 
 
34. La suma de dos fracciones irreductibles y 
positivas es 83/120. Si sus denominadores son 
30 y 24, entonces la suma de sus numeradores 
es 
A) 8 B) 9 C) 12 
D) 18 E) 21 
 
35. La diferencia de dos fracciones irreductibles 
y positivas es 19/150. Si sus denominadores son 
50 y 75. Calcular la suma de los numeradores, si 
estos son los menores posibles y de dos cifras. 
A) 38 B) 29 C) 28 
D) 35 E) 33 
 
36. Encuentre una fracción equivalente a 
231/341, sabiendo que la suma de sus términos 
es múltiplo de 91 y que la diferencia de ellos se 
encuentra entre 200 y 250. 
A) 435/653 B) 421/653 
C) 412/655 D) 451/651 
E) 441/651 
 
37. Halle una fracción equivalente a la fracción 
65/117, sabiendo que la suma de sus términos 
es un múltiplo de 35 y que su diferencia está 
comprendida entre 190 y 210 (dar como 
respuesta el numerador de la fracción) 
A) 100 B) 125 C) 200 
D) 250 E) 300 
 
38. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 
825/1925 existen, tales que su numerador sea 
un número que termine en cifra 7 y su 
denominador sea de 4 cifras? 
A) 148 B) 96 C) 128 
D) 100 E) 120 
 
39. ¿Para cuantos valores naturales de “N” 
menores que 100 la siguiente fracción 
2 82
1
N N
N
+
+
 es irreductible? 
A) 33 B) 69 C) 66 
D) 45 E) 54 
 
40. ¿para cuantos enteros positivos “n”, la 
fracción 
21 4
14 3
n
n
+
+
 es reductible? 
A) ninguno B) 2 C) 4 
D) 6 E) 8 
 
41. Si “n” es un número entero, tal que 
27 5
1
n n
n
−
+
 
es también un entero. Calcule la suma de todos 
los posibles valores de “n”. 
 
EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena; Los Olivos; Ingeniería ; Surco; Carabayllo Página 4 
A) 12 B) 11 C) –12 
D) –11 E) –10 
 
PROBLEMAS DE TEXTO 
42. Un móvil ya avanzó 1/5 de su recorrido. 
¿Qué fracción de lo que le falta debe avanzar 
para llegar a los 8/15 del recorrido? 
A) 1/15 B) 2/15 C) 1/3 
D) 2/3 E) 5/12 
 
43. Un holgazán pasó su vida del modo 
siguiente: los 3/8 durmiendo; 1/16 comiendo y 
bebiendo; 1/4 paseándose; los 3/16 jugando; 
1/16 en su silla poltrona y el resto, que son 2 
años, trabajando. ¿Qué edad tuvo al morir? 
A) 32 B) 33 C) 34 
D) 35 E) 36 
 
44. Después de cobrar mi sueldo, primero gasté 
2 soles por cada 5 que no gasté, y después de lo 
que me quedó por cada 4 soles que perdí en un 
juego no perdí 6 soles. ¿Qué fracción de mi 
sueldo me quedó? 
A) 3/5 B) 1/9 C) 2/9 
D) 3/7 E) 2/5 
 
45. María apuesta en un juego todo su dinero y 
pierde los 3/5 de lo que no pierde, y luego del 
dinero que perdió logra recuperar 3/4 de lo que 
no recupera. Después decide apostar todo lo que 
tiene y pierde 1/8. Luego apuesta todo lo que le 
queda y gana la quinta parte. Si lo que perdió en 
total es excedido en S/.28,20 por lo que perdió 
en su primer juego, ¿Cuánto tenia María antes de 
empezar el juego? 
A) S/.142 B) S/.223 C) S/.161 
D) S/.141 E) S/.140 
 
46. De un depósito que está lleno 1/81 de lo que 
no está lleno, se vacía 1/20 de lo que no se vacía. 
¿Qué fracción del volumen quedará con liquido? 
(dar como respuesta la diferencia positiva de los 
términos de la fracción resultante) 
A) 80 B) 801 C) 85 
D) 851 E) 325 
 
47. Se tiene 3 obreros A, B y C para realizar una 
obra, si B trabaja sólo hace la obra en 3 días 
menos que A, si C trabaja sólo, hace la obra en 5 
días más que A; trabajando los 3 juntos tardan la 
tercera parte de lo que tarda A. ¿Cuántos días 
tarda A en hacer la obra? 
A) 6 B) 9 C) 12 
D) 15 E) 18 
48. Tres tuberías A, B y C trabajando juntas 
pueden llenar un tanque en 8 horas. Si 
trabajando solo A y B pueden llenar todo el 
tanque en 10 horas y si trabajando solo B y C la 
llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la 
tercera parte del tanque trabajando solo la 
tubería “B”? 
A) 6 B) 8 C) 9 
D) 10 E) 12 
 
49. Un caño A puede llenar un reservorio en 4h, 
otro caño B lo haría en 6 h y el desagüe C vaciaría 
todo el reservorio en 8 h. Si los tres funcionaran 
simultáneamente, ¿en cuánto tiempo, 
aproximadamente llenarían el reservorio? 
A) 2,6 h B) 4,2 h C) 3,4 h 
D) 2,9 h E) 2,8 h 
 
50. Un estanque vacío puede ser llenado por un 
caño A en 50 minutos, mientras que otro caño B 
lo llenaría en 40 minutos. Si se coloca un 
desagüe ubicado en la parte inferior del 
estanque que saca 10 L/min y se abren los caños 
A y B simultáneamente, llenaría el estanque 
vacío en 24 minutos. ¿En qué tiempo se llenaría 
la mitad del estanque si solo se abren el caño A 
y el desagüe C? 
A) 36 min B) 45 min C) 30 min 
D) 40 min E) 25 min 
 
PROF. ALEX GAMARRA “ALEX3ITO”